基于MATLAB软件的柴油机配气系统凸轮型线函数拟合

本文格式为Word版，下载可任意编辑——基于MATLAB软件的柴油机配气系统凸轮型线函数拟合常用的型线拟合方法有多项式法、样条函数法、N次谐波迫近拟合法等，其中N次谐波迫近拟合法以2π为周期，利用有限项的傅里叶级数拟合型线函数，不仅能保持高阶倒数的连续性，而且拟合精度高。

本文以柴油机配气系统进气凸轮作为研究对象，采用N次谐波曲线迫近拟合的方式对凸轮型线进行拟合，利用MATLAB软件编程建立N次谐波曲线迫近拟合求解模型。对两种不同型线的凸轮进行升程曲线测量，得出每种凸轮相对应的升程曲线数据表，利用上述模型对各凸轮升程曲线进行N次谐波迫近函数拟合，得到每个凸轮的升程函数拟合方程，比对拟合方程与测量数据点的差异性状况，验证拟合函数的确凿性。

2N次谐波曲线迫近拟合凸轮型线的原理

寻常状况下，在得到一个柴油机配气凸轮之后，可通过使用平面测量头以凸轮对称中线点为零点向两侧延伸的方式进行测量。每次间隔一度进行测量，便可以测绘出配气凸轮的升程数据表[4-5]。通過将平面测量头所测得的凸轮升程数据进行光顺之后，便得到一系列的点阵，即凸轮的转角及其相对于的升程[6]。假设凸轮转动角度由到这些节点构成，那么相对应的凸轮升程便由到构成。所谓的拟合简单来说，就是要得到一条具有显示方程的曲线能够尽最大程度的通过或者靠近这个相当于平面上一一对应的n+1个点。鉴于凸轮旋转一周的角度为，因此可以确定凸轮的升程函数也是以为运动周期的。在数值分析上可以知道，傅里叶级数可以展开具有一定光滑性且以为周期的函数，因此，利用傅里叶级数展开式可以得出以下式子：

但是就实际而言，要想通过式（2）、（3）、（4）求得参数、、是有一定困难的，由于我们无法确定的表达式，而正是我们所要拟合得出函数，因此便陷入了矛盾之中。从实际状况上来分析，我们虽然不知道的表达式，但却知道各个所对应的的值，因此可以通过这些点采用数值积分的方法求得、、的近似值。

虽然理论上我们所拟合的区间是，但是就真实状况而言，我们只需要拟合上的一段区间即可，由于在凸轮基圆上函数恒为零。通过已知的凸轮升程数据表，然后采用数值积分的方法通过这有限个节点去近似无限个节点求解、、等参数，然后用这些参数去构造有限项凸轮升程曲线函数形式。因此，其实我们是在使用有限项函数去迫近凸轮升程曲线的真实表达式，所以，该方法称为“N次谐波曲线迫近法〞。

采用N次谐波曲线迫近法所得到的函数具有无限阶可导性，从而保证了曲线良好的光滑性，且迫近的阶数N也可以根据设计需要自己选择。通过迫近所得函数是一个整体函数表达式，这样对于求解其他运动学和动力学问题便显得十分便捷，只需将该函数方程直接代入便可轻松求解。

3N次谐波曲线迫近拟合法的MATLAB软件实现

在MATLAB中可以通过FFT（快速傅里叶变换）工具指令来实现DFT（离散傅里叶变换）。这种方法是通过利用复数形式的离散傅里叶变换来计算实数形式的离散傅里叶变换。那么其具体转换过程如下：

（1）定义FFT拟合的参数。FFT指令需要我们给出拟合的角度范围、拟合的位移大小以及拟合的项数N（也可以说是输入信号的周期）。关于拟合项数的选取可根据凸轮转角的范围进行选取，如凸轮转角80°，那么拟合的项数N可选择为80及以上。在参数定义完成之后，通过FFT运算可以得到一系列复数形式的点阵，该点阵具有一定的对称性，一般状况会以N/2+1这个点为对称点。其所得结果的一般形式为：

（2）将FFT拟合结果进行DFT转换。在已知输入信号周期N的状况下，对于FFT到DFT的转换，我们只需要提取FFT结果的前N/2+1项的值便可以正确的复原原来的位移。FFT变换为DFT之后的形式以及两种变换之间的关系如下面式子所示：

其中：

（3）完成转换。将转换之后所得的系数结果全部代入到DFT合成式子（7）里面便可以得到拟合后的凸轮型线函数表达式。利用该函数表达式便可以进行配气系统的动力学计算。

4试验及结果分析

本文选用两种不同型线的配气凸轮作为研究对象，分别标记为凸轮1、凸轮2。利用上述拟合方法分别对这两种凸轮进行凸轮型线函数拟合，其拟合结果如图1所示。

从上述拟合图中可以看出，通过采用N次谐波迫近拟合法完全可以得出进行动力学计算的升程函数，其中关于凸轮1、凸轮2的拟合参数如表1所示，剩余标准差显示了拟合函数与真实值之间的确凿程度，越小代表拟合程度越高，从表1中可以看出两者标准差均在10的负6次方以下，可见上述两个凸轮升程数据表通过N次谐波拟合之后所得型线方程特性良好。

通过N次谐波拟合之后，得出了凸轮升程函数，对升程函数进行求导可以得到速度、加速度图形，其结果如图2所示。从图形中可以看出拟合后的函数连续可导，并且曲线具有良好的光滑性。

5结语

本文利用MATLAB软件对两种不同型