二次函数与关系

关于二次函数与关系第一页，共三十九页，编辑于2023年，星期日知识点一：抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：开口向上a>0开口向下a<0（2）C的符号：由抛物线与y轴的交点位置确定与y轴的正半轴相交c>0与y轴的负半轴相交c<0经过坐标原点c=0（1）a的符号：由抛物线的开口方向确定第二页，共三十九页，编辑于2023年，星期日（4）b2-4ac的符号：由抛物线与x轴的交点个数确定（3）b的符号：由对称轴的位置确定对称轴在y轴左侧a、b同号对称轴在y轴右侧a、b异号对称轴是y轴b=0与x轴有两个交点b2-4ac>0与x轴有一个交点b2-4ac=0与x轴无交点b2-4ac<0第三页，共三十九页，编辑于2023年，星期日如果y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点为A(x1,0),B(x2,0);那么AB=|x1-x2|=xyoCx1x2第四页，共三十九页，编辑于2023年，星期日1.抛物线y=ax2+bx+c在x轴上方的条件是什么？x变式：不论x取何值时，函数y=ax2+bx+c（a≠0）的值永远是正值的条件是什么？你知道吗？不论x取何值时，函数y=ax2+bx+c（a≠0）的值永远是非负数的条件是什么？知识点二：a＞0b2-4ac＜0a>0,b2-4ac≤0

第五页，共三十九页，编辑于2023年，星期日x知识点二：2、抛物线y=ax2+bx+c在x轴下方的条件是什么？＜变式：不论x取何值时，函数y=ax2+bx+c（a≠0）的值永远是负值的条件是什么？你知道吗？不论x取何值时，函数y=ax2+bx+c（a≠0）的值永远是非正数的条件是什么？第六页，共三十九页，编辑于2023年，星期日知识点三：抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：（5）a+b+c的符号：由x=1时抛物线上的点的位置确定点在x轴上方点在x轴下方点在x轴上a+b+c>0a+b+c<0a+b+c=0（6）a-b+c的符号：由x=-1时抛物线上的点的位置确定点在x轴上方点在x轴下方点在x轴上a-b+c>0a-b+c<0a-b+c=0第七页，共三十九页，编辑于2023年，星期日1、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的符号：xyoa>0,b<0,c>0,△>0.练习第八页，共三十九页，编辑于2023年，星期日2、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的符号：xyoa>0,b>0,c=0,△>0.练习第九页，共三十九页，编辑于2023年，星期日3、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的符号：xyoa<0,b<0,c>0,△>0.练习第十页，共三十九页，编辑于2023年，星期日4、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的符号：xyoa>0,b=0,c>0,△=0.练习第十一页，共三十九页，编辑于2023年，星期日5、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的符号：xyoa>0,b=0,c=0,△=0.练习第十二页，共三十九页，编辑于2023年，星期日6、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的符号：xyoa<0,b>0,c<0,△<0.练习第十三页，共三十九页，编辑于2023年，星期日7、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点M（，a）在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限xoya<0,b>0,c>0,D练习第十四页，共三十九页，编辑于2023年，星期日8、已知：一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c，它们在同一坐标系中的大致图象是图中的（）xyoxyoxyoxyo（A）（B）（C）（D）C练习第十五页，共三十九页，编辑于2023年，星期日9、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②b=2a；③a+b+c＜0；④a+b-c＞0;⑤a-b+c＞0正确的个数是（）A、2个B、3个C、4个D、5个xoy-11C练习第十六页，共三十九页，编辑于2023年，星期日10、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中：①b＞0；②c<0；③4a+2b+c＞0；④（a+c）2＜b2，其中正确的个数是（）A、4个B、3个C、2个D、1个xoyx=1B练习因为a+b+c>0所以b>-a-c两边同时平方第十七页，共三十九页，编辑于2023年，星期日11、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中下不正确的是（）A、abc＞0B、b2-4ac＞0C、2a+b＞0D、4a-2b+c＜0xoy-11D练习-b\2a<1,b>-2a,2a+b>0第十八页，共三十九页，编辑于2023年，星期日1、抛物线y=x2-8x+m的顶点在x轴上则m=.2、抛物线y=x2+bx+1的顶点在y轴上则b=________3、抛物线y=x2+bx+1对称轴是直线x=2则b=________160-4第十九页，共三十九页，编辑于2023年，星期日练一练：1、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②b=2a；③a+b+c＜0；④a+b-c＞0;⑤a-b+c＞0正确的个数是（）A、2个B、3个C、4个D、5个xoy-11C4错第二十页，共三十九页，编辑于2023年，星期日练一练：2、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中下正确的是（）A、abc＞0B、b2-4ac＞0C、2a+b＞0D、4a-2b+c＜0xoy-11D第二十一页，共三十九页，编辑于2023年，星期日1.(天津)已知二次函数y=ax2+bx+c，且a＜0,a-b+c＞0,则一定有()A.b2-4ac＞0B.b2-4ac=0C.b2-4ac＜0D.b2-4ac≤0二、典型例题分析A2.(重庆)二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则点M（b,c/a)在

()A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限D-1a<0,b>0,c>0第二十二页，共三十九页，编辑于2023年，星期日3.(河北省)在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图像大致为()B4.(山西省)二次函数y=x2+bx+c

的图像如图所示，则函数值

y＜0时，对应的x取值范围是

.-3＜x＜1.-3-3１第二十三页，共三十九页，编辑于2023年，星期日5、已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，下列结论：①a+b+c＜0，②a-b+c＞0；③abc＞0；④b=2a

中正确个数为()A.4个B.3个

C.2个D.1个A6、无论m为任何实数，二次函数y=x2-(2-m)x+m

的图像总是过点()A.(1，3)B.(1，0)C.(-1，3)D.(-1，0)C当x=1时,y=a+b+c当x=-1时,y=a-b+ca<0,b<0,c>0x=-b/2a=-1第二十四页，共三十九页，编辑于2023年，星期日D7.(安徽)二次函数y=ax2+bx+c

的图像如图，则下列a、b、

c间的关系判断正确的是()A.ab<0B.bc<0C.a+b+c>0D.a-b+c<0

8.(绵阳)二次函数y=ax2+bx+c的图像如图，则不等式bx+a>0的解为()A.x>a/bB.x>-a/bC.x<a/bD.x<-a/bDa<0,b<0,c<0a<0,b<0第二十五页，共三十九页，编辑于2023年，星期日9.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，那么下列判断不正确的有()A.abc＞0B.b2-4ac＞0C.2a+b＞0D.4a-2b+c＜0DX=-b/2a<1∴-b<2a∴2a+b＞0当x=-2时,y=4a-2b+c＞0第二十六页，共三十九页，编辑于2023年，星期日D10、若抛物线y=ax2+3x+1与x轴有两个交点，则a的取值范围是()A.a＞0B.a＞-4/9C.a＞9/4D.a＜9/4且a≠0第二十七页，共三十九页，编辑于2023年，星期日11.某幢建筑物，从10米高的窗口A用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状(抛物线所在平面与墙面垂直，如图所示).如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面40/3米，则水流落地点B离墙的距离OB是()A.2米B.3米

C.4米D.5米BO①抛物线顶点M（1,40/3)

与y轴交点A(0.10)②求得抛物线解析式;③求出抛物线与x轴的交点;第二十八页，共三十九页，编辑于2023年，星期日1、(青海省)如图所示，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A(x1,0)，

B(x2，0)，且x1+x2=4，x1x2=3，(1)求此抛物线的解析式；(2)设此抛物线与y轴的交点为C，过点B、C作直线，求此直线的解析式；(3)求△ABC的面积.(1)y=-x2+4x-3

(2)y=x-3

(3)3

三、综合应用能力提升第二十九页，共三十九页，编辑于2023年，星期日2、已知;二次函数y=2x2-(m+1)x+(m-1).(1)求证:不论m为何值时,函数的图像与x轴总有交点,并指出m为何值时,只有一个交点；(2)当m为何值时,函数图像过原点,并指出此时函数图像与x轴的另一个交点；(3)若函数图像的顶点在第四象限,求m的取值范围.(2)另一个交点坐标为(1，0)

(3)当m＞-1且m≠3时,抛物线的顶点在第四象限

第三十页，共三十九页，编辑于2023年，星期日确定二次函数解析式第三十一页，共三十九页，编辑于2023年，星期日用待定系数法求二次函数解析式，要根据给定条件的特点选择合适的方法来求解一般地，在所给条件中已知顶点坐标时，可设顶点式y=a(x-h)2+k，在所给条件中已知抛物线与x轴两交点坐标或已知抛物线与x轴一交点坐标与对称轴，可设交点式y=a(x-x1)(x-x2);在所给的三个条件是任意三点时，可设一般式y=ax2+bx+c;然后组成三元一次方程组来求解。第三十二页，共三十九页，编辑于2023年，星期日例:已知关于x的二次函数,当x=－1时,函数值为10,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7,求这个二次函数的解析试.｛待定系数法第三十三页，共三十九页，编辑于2023年，星期日例：根据下列条件，分别求出对应的二次函数解析式（1）已知抛物线的顶点是（1，2）且过点（2，3)（2）已知抛物线与x轴两交点横坐标为1，3且图像过（0，-3）已知顶点坐标设顶点式y=a(x-h)2+k∵顶点是（1，2）∴设y=a(x-1)2+2，又过点（2，3）∴a(2-1)2+2=3，∴a=1∴y=(x-1)2+2，即y=x2-2x+3已知与x轴两交点横坐标，设交点式y=a(x-x1)(x-x2)由抛物线与x轴两交点横坐标为1，3，∴设y=a(x-1)(x-3),过（0，-3），∴a(0-1)(0-3)=-3,∴a=-1∴y=-(x-1)(x-3),即y=-x2+4x-3第三十四页，共三十九页，编辑于2023年，星期日(3)已知二次函数的图像过（-1，2），（0，1），（2，-7）已知普通三点设一般式y=ax2+bx+c,设y=ax2+bx+c过（-1，2），（0，1），（2，-7）三点∴a-b+c=0c=14a+2b+c=-7a=-1b=-2c=1y=-x2-2x+1第三十五页，共三十九页，编辑于2023年，星期日例：已知一抛物线与x轴的交点A（-2，0），B（1，0）且经过点C（2，8）（1）求该抛物线的解析式（2）求该抛物线的顶点坐标解：设这个抛物线的表达式为Y=ax2+bx+c由已知，抛物线过点（-2，0），B（1，0），C（2，8）三点，得4a-2b+c=0