二重积分的概念

关于二重积分的概念第一页，共二十五页，编辑于2023年，星期日一.二重积分的概念1．引例——曲顶柱体的体积

曲顶柱体：

△

柱体的底是xoy面上的一有界闭区域D；

△侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面；

△顶是曲面z=f(x,y)(f(x,y)≥0),f在D

上连续。

区域的直径：闭区域上任意两点间距离的最大值，称为闭区域的直径。第二页，共二十五页，编辑于2023年，星期日平顶(z=f(x,y)=常数)柱体的体积：

体积=高（z=常数）×底面积（区域D的面积）

（请回忆在§6—1解决计算曲边梯形面积的思想分析方法：……）oxyzDz=f(x,y)yxzz=f(x,y)oD(i,i)△i·第三页，共二十五页，编辑于2023年，星期日曲顶柱体的体积V:①分割：D=△1∪△2∪…∪△nV=△V1∪△V2∪…∪△Vn

(△i为△Vi窄条曲顶柱体的底；di为△i的直径。)②近似：近似地将小曲顶视为平顶（满足条件：z=f(x,y)

连续，小区域△i的直径di很小），以点(i,i)

△i的竖坐标f(i,i)为高，则得每个小窄条曲顶柱体的体积近似值△Vi≈f(i,i)△i(i=1,2,…,n)③求和：④取极限：

其中d=max｛d1,d2,…,dn｝,用△i也示小区域的面积。第四页，共二十五页，编辑于2023年，星期日2．引例——平面薄片的质量

有一个平面薄片,在xoy

平面上占有区域

D,计算该薄片的质量M.度为设D的面积为,则若非常数,仍可用其面密

“分割,,近似和,求极限”解决.1)“分割”用任意曲线网分D为n个小区域相应把薄片也分为小区域.第五页，共二十五页，编辑于2023年，星期日2)“近似”中任取一点3)“近似和”4)“取极限”则第

k小块的质量第六页，共二十五页，编辑于2023年，星期日两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同“分割,近似和,取极限”曲顶柱体体积:平面薄片的质量:第七页，共二十五页，编辑于2023年，星期日2.定义（二重积分）：设z=f(x,y)在区域D上有界，则①分割：用平面曲线网将D分成n个小区域△1,△2,…,△n

各个小区域的面积是△1,△2,…,△n

各个小区域的直径是d1,d2,…,dn②近似：在各个小区域上任取一点(i,i)△i

，作乘积

f(i,i)△i(i=1,2,…,n)③求和：第八页，共二十五页，编辑于2023年，星期日④取极限：当n→∞且l=max｛d1,d2,…,dn｝→0时，

极限

存在，则称此极限值为z=f(x,y)在D上的

二重积分，记为即

f(x,y)——

被积函数

f(x,y)d——

被积表达式

d——

面积元素

x,y——

积分变量

D——

积分区域

——

积分和式第九页，共二十五页，编辑于2023年，星期日[注记]：①

在直角坐标系中，i≈(xi)(yi)面积元素

d=dxdy,故二重积分又有形式②

由于二重积分的定义，曲顶柱体的体积是③二重积分的几何意义：

△当f(x,y)≥0时，二重积分的几何意义是：曲顶柱体的体积；

△当f(x,y)≤0时，二重积分的几何意义是：曲顶柱体的体积的负值；△当f(x,y)在D上既有在若干分区域上取正值，也有在其余区域上取负值时，二重积分的几何意义是：xoy面上方的柱体体积为正、下方的为负时的柱体体积的代数和。第十页，共二十五页，编辑于2023年，星期日

③函数f(x,y)在闭区域D上连续，则f(x,y)在D上的二重积分必定存在。

⑤

n→∞(l→0)时，积分和式极限存在，与对D

区域的分法无关，与(i,i)△i的取法无关，仅与D和f(x,y)有关。

⑥“△i的直径很小”与“△i的面积很小”对于“近似”有根本的区别，因此极限过程用

l→0，而不能仅用n→∞来描述。第十一页，共二十五页，编辑于2023年，星期日二．二重积分的性质⑴⑵⑶⑷（为D的面积）（D=D1+D2）第十二页，共二十五页，编辑于2023年，星期日⑸在D上,若恒有f(x,y)≤g(x,y)，则特别地，在D上若f(x,y)≤0(≥0)

恒成立，则⑹⑺

在D上若m≤f(x,y)≤M，为D的面积，则(≥0)第十三页，共二十五页，编辑于2023年，星期日⑻

二重积分中值定理：

设f(x,y)∈C(D)，D为有界闭区域，为D的面积，则至少(,)∈D，使第十四页，共二十五页，编辑于2023年，星期日[例题解析]例1设利用二重积分的几何意义说明I1和I2之间的关系第十五页，共二十五页，编辑于2023年，星期日解：由二重积分的几何意义知，I1表示底为D1，顶为曲面z=（x2+y2）3的曲顶柱体M1的体积；I2表示底为D2，顶为曲面z=（x2+y2）3的曲顶柱体M2的体积；由于位于D1上方的曲面z=（x2+y2）3关于yox面和zox面均对称，故yoz面和zox面将M1分成四个等积的部分，其中位于第一卦限的部分即为M2。由此可知xy1-1-22第十六页，共二十五页，编辑于2023年，星期日例2利用二重积分的几何意义确定二重积分的值，其中解：曲顶柱体的底部为圆盘其顶是下半圆锥面故曲顶柱体为一圆锥体，它的底面半径及高均为3，所以第十七页，共二十五页，编辑于2023年，星期日例3利用二重积分的几何意义说明：（1）当积分区域D关于y轴对称，f（x，y）为x的奇函数，即f（-x，y）=-f（x，y）时有（2）当积分区域D关于y轴对称，f（x，y）为x的偶函数，即f（-x，y）=f（x，y）时有（D1为D在x≥0的部分）第十八页，共二十五页，编辑于2023年，星期日第十九页，共二十五页，编辑于2023年，星期日[注记]：结论的推广（1）当积分区域D关于x轴对称，f（x，y）为y的奇函数，即f（x，-y）=-f（x，y）时有（2）当积分区域D关于x轴对称，f（x，y）为y的偶函数，即f（x，-y）=f（x，y）时有（D1为D在y≥0的部分）第二十页，共二十五页，编辑于2023年，星期日例4比较分析：主要考虑第二十一页，共二十五页，编辑于2023年，星期日【附注】比较和的大小先令得曲线在