2022-2023学年福建省漳州市九年级（上）期末数学试卷（华师大版B卷）（含解析）

2022-2023学年福建省漳州市九年级（上）期末数学试卷（华师大版B卷）一、选择题（本大题共10小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列各式中，属于最简二次根式的是(

)A.3 B.4 C.12 D.2.一元二次方程x(x−1)=0的解是(

)A.x=0 B.x=1

C.x1=0，x2=1 3.若△ABC∽△DEF，相似比为1：2，△ABC的周长为10，则△DEF的周长是(

)A.5 B.10 C.20 D.404.一元二次方程x2−x−1=0的根的情况是(

)A.有两个相等的实数根 B.两个不相等的实数根

C.只有一个实数根 D.没有实数根5.已知抛物线y=(x−1)2+2，下列结论中正确的是A.抛物线的开口向上 B.抛物线的对称轴为直线x=−1

C.抛物线的顶点坐标为(−1,2) D.当x>1时，y随x的增大而减小6.一个布袋里放着4个黑球和2个白球，它们除了颜色以外没有任何其他区别.把布袋中的球搅匀后，从中任取3个球，则下列事件中属于必然事件的是(

)A.3个都是黑球 B.2个黑球1个白球 C.2个白球1个黑球 D.至少有1个黑球7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2BC，则sinB的值为(

)A.55

B.12

C.258.为做好疫情常态化防疫工作，某校2020年投入疫情防控专项资金28万元，预计到2022年底三年累计共投入140万元.设每年投入的专项资金的年平均增长率为x，则下列方程中正确的是(

)A.28(1+x)2=140 B.28+28(1+x)+28(1+x)2=1409.如图，在菱形ABCD中，E为边CD上一点，AE、BD交于点O.若S△DOE：S△BOA=4：9，则CE：AD等于(

)A.4：9

B.1：3

C.2：3

D.3：210.如图，抛物线y=x2−bx+c与x轴交于C、D两点(点C在点D的左侧)，顶点在线段AB上运动，AB//x轴，B(1,−1)，AB=3，有下面五个结论：

①−4≤b≤2；

②−1≤c≤3；

③当x>0时，一定有y随x的增大而增大；

④若点C的坐标为(m,0)，则点D的坐标为(m+2,0)；

⑤若抛物线经过原点，此时抛物线的顶点坐标一定为(1,−1)．

其中正确的是A.①②③ B.②③⑤ C.①④⑤ D.①②④二、填空题（本大题共6小题，共24分）11.若二次根式x−1有意义，则x的取值范围是______．12.在描掷一枚质地均匀的硬币的实验中，第10次抛掷时，正面朝上的概率是

．13.若关于x的一元二次方程mx2−nx+1=0的一个解是x=1，则m−n的值是

14.如图，线段AB两个端点的坐标分别为A(3,3)、B(4,1)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB放大到原来的2倍后得到线段CD，则端点C的坐标为

．15.对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Max{a,b}表示a、b中的较大值，如：Max{1,3}=3，按照这个规定，方程Max{1,x}=x2−6的解为

16.如图，在△ABC中，D、E、F分别为边AB、AC、BC上的点，DE//BC，BF=CF，AF分别交DE、CD于点G、H，且CG⊥DE，CD=6，AE=3，有下面四个结论：

①DG=EG；

②△ACD∽△ACF；

③AG=23AH；

④S△ABF=9S△AGE．

三、计算题（本大题共1小题，共8分）17.解方程：x2+2x−1=0．四、解答题（本大题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18.(本小题分)

计算：6×219.(本小题分)

古算趣题：“笨伯执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭，有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足，借问竿长多少数，谁人算出我佩服.“其大意是：笨伯拿竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门宽4尺，竖着比门高2尺.他的邻居教他沿着门的对角线斜着拿竿，笨伯一试，刚好进去.问：竹竿有多少尺？20.(本小题分)

一企业有A、B、C三辆商务车供出行使用，它们随机发车.某日该企业张经理和李经理准备用车，张经理要早点出发，坐第一辆出发的车，李经理由于需处理一些事务，坐第三辆出发的车.请用所学概率知识判断张经理和李经理能乘坐到A车的可能性大？并说明理由．21.(本小题分)

小明和他的学习小组开展“测量樟树的高度”的实践活动，他们按拟定的测量方案进行实地测量，完成如下的测量报告：课题测量樟树的高度测量工具测角仪和皮尺测量示意图及说明说明：BC为水平地面，樟树AB垂直于地面，斜坡CD的坡度i=3：4，在斜坡CD上的点E处测樟树顶端A的仰角∠1的度数．测量数据BC=8米，CE=5米，∠1=48°．参考数据Sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11．请你根据以上测量报告中的数据，求樟树AB的高度.(结果精确到0.1米)22.(本小题分)

如图，在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O．

(1)在CD边上求作一点E，使得∠CEB=∠BCA；(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)

(2)在(1)的条件下，设BE交AC于点F，若DE=BE，求证：OC2=AB23.(本小题分)

已知二次函数y=x2+bx+c(b、c为常数)的图象经过点(0,3)、(1,−2)．

(1)求b、c的值；

(2)当0≤x≤m时，若y的最大值与最小值之和为1，求m24.(本小题分)

已知在正方形ABCD中，点E是边AD的中点，EF//CD，EF交对角线AC于点F．

(1)如图1，取CF的中点C，连结DG、EG、BG，求证：EG=BG；

(2)如图2，△A1E1F1是由△AEF沿射线CA平移得到的，点F与点A重合，点M是A1C的中点，连结DM、E1M，E1M交AD于点H．

25.(本小题分)

已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)经过A(−1,0)、B(m,0)两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，OB=3OA，tan∠ABC=1．

(1)如图1，求此抛物线的表达式；

(2)如图2，直线y=kx+n(0<k<1)经过点B，交AC于点D，点P为线段BD的中点，过点D作DE⊥x轴于点E，作DF⊥BC于点F，连结PE、PF．

①求证：△PEF是等腰直角三角形；

②当△PEF的周长最小时，求直线BD的表达式．

答案和解析1.【答案】A

解：A、3属于最简二次根式，故本选项符合题意；

B、4=2不属于最简二次根式，故本选项不符合题意；

C、12=22不属于最简二次根式，故本选项不符合题意；

D、8=22不属于最简二次根式，故本选项不符合题意．

故选：A．

根据最简二次根式的概念：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可．2.【答案】C

解：x(x−1)=0，

x=0或x−1=0，

所以x1=0，x2=1．

故选：C．

利用因式分解法把方程转化为x=0或x−1=0，然后解两个一次方程即可．

3.【答案】C

解：设△DEF的周长为x，

∵△ABC∽△DEF，相似比为1：2，

∴10：x=1：2，

解得，x=20．

故选：C．

根据相似三角形面积的比等于相似比求解即可．

本题考查了相似三角形的性质，熟记性质是解题的关键．

4.【答案】B

解：∵Δ=(−1)2−4×1×(−1)=5>0，

∴方程有两个不相等的实数根．

故选：B．

先计算根的判别式的值得到Δ>0，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断．

本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b25.【答案】A

解：抛物线y=(x−1)2+2中，a>0，抛物线开口向上，因此A选项正确，符合题意；

由解析式得，对称轴为直线x=1，因此B选项不正确，不符合题意；

由解析式得，当x=1时，y取最小值，最小值为2，所以抛物线的顶点坐标为(1,2)，因此C选项不正确，不符合题意；

因为抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，因此当x>1时，y随x的增大而增大，因此D选项错误，不符合题意．

故选：A．

根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性对各选项分析判断即可得解．

本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a(x−h)2+k6.【答案】D

解：A、3个都是黑球，是随机事件，故该选项不符合题意；

B、2个黑球1个白球，是随机事件，故该选项不符合题意；

C、2个白球1个黑球，是随机事件，故该选项不符合题意；

D、至少有1个黑球，是必然事件，故该选项符合题意；

故选：D．

必然事件就是一定发生的事件，根据定义即可判断．

本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，掌握必然事件、不可能事件、随机事件的概念是关键．

7.【答案】C

解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2BC，

∴设BC=x，则AC=2x，故AB=5x，

则sinB=ACAB=2x5x=2558.【答案】B

解：设每年投入的专项资金的年平均增长百分率为x，

由题意得，28+28(1+x)+28(1+x)2=140．

故选：B．

设每年投入每年投入的专项资金的年平均增长百分率为x，根据题意可得，2020年投入专项资金+2020年投入专项资金×(1+增长率)+2020年投入专项资金×(1+增长率)29.【答案】B

解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB//CD，AB=AD=CD=BC，

∴∠EAB=∠DEA，∠AOB=∠EOD，∠EDB=∠ABD，

∴△DOE∽△BOA，

∵S△DOE：S△BOA=4：9，

∴DE：BA=2：3，

∴CE：AD=1：3，

故选：B．

先根据菱形的性质及相似三角形的判定定理得出△DOE∽△BOA，再根据S△DOE：S△BOA=4：9即可得出相似比，由相似三角形的性质即可求出DE：10.【答案】D

解：①抛物线的对称轴x=−−b2×1=b2，

∵顶点在线段AB上运动，AB//x轴，B(1,−1)，AB=3，

∴A(−2,1)，

∴−2≤b2≤1，

∴−4≤b≤2；

故选项①正确；

②当顶点为(−2,−1)时，抛物线的解析式为：y=(x+2)2−1，

当x=0时，y=c=3，

当顶点为(0,−1)时，c=−1，

∴−1≤c≤3；

故选项②正确；

③∵抛物线开口向上，顶点的纵坐标为−1，且横坐标在−2与1之间，

∴当对称轴在y轴右边，x>0时，不是y随x的增大而增大，

故选项③错误；

④∵抛物线的对称轴是直线x=b2，点C在点D的左侧，

且4ac−b24a=4c−(−b)24×1=−1，

∴c=b24−1，

∴抛物线y=x2−bx+c为y=x2−bx+b24−1，

当y=0时，x2−bx+b24−1=0，

解得x=b2±1，

∴点C的坐标为(b2−1,0)，D(b2+1,0)，

若点C坐标为(m,0)，则b2−1=m，

∴b2+1=m+2，

∴点D坐标为(m+2,0)，

故④正确．

⑤若抛物线y=x2−bx+c经过原点，则c=0，

∵抛物线顶点在线段AB上运动，AB//x轴，B(1,−1)，AB=3，

∴A(−2,−1)，

∴抛物线顶点的纵坐标为−1，且横坐标在−2与1之间，

∴4ac−b24a=−(−b)24=−1，

∴b=±2．

∴对称轴是：x=−±22×1=±1，

∴抛物线顶点坐标为(1,−1)或(−1,−1)，

故选项⑤错误；

本题正确的结论有：①②④；

故选：D．11.【答案】x≥1

解：根据二次根式有意义的条件，x−1≥0，

∴x≥1．

故答案为：x≥1．

根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围．

此题考查了二次根式有意义的条件，只要保证被开方数为非负数即可．

12.【答案】12解：∵一枚硬币只有两个面，正面朝上的概率是12，反面朝上的概率也是12，

故第10次抛掷这枚硬币正面朝上的概率为：12，

故答案为：12．

根据实际可知一枚硬币只有两个面，正面朝上的概率是12，反面朝上的概率也是13.【答案】−1

解：∵关于x的一元二次方程mx2−nx+1=0的一个解是x=1，

∴m−n+1=0，

∴m−n=−1，

故答案为：−1．

将x=1代入mx14.【答案】(6,6)

解：∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB放大到原来的2倍后得到线段CD，

∴A点的对应点是C点，

∵A(3,3)，位似比为1：2，

∴C(6,6)，

故答案为：(6,6)．

由以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB放大到原来的2倍后得到线段CD得出A点的对应点是C点，且位似比为1：2，再根据点A的坐标即可得出点C的坐标．

本题考查了位似变换的性质，熟练掌握位似比与对应点坐标的关系是解题的关键．

15.【答案】x=3或x=−7解：当x>1时，方程为：x2−6=x，

即x2−x−6=0，

解得：x1=−2(舍去)，x2=3；

∴此时x=3，

当x<1时，方程为：x2−6=1，

解得：x1=7(舍去)，x2=−716.【答案】①③④

解：∵DE//BC，

∴△AGD∽△AFB，△AFC∽△AGE，

∴DGBF=AGAF，GEFC=AGAF，

∴DGBF=GEFC，

∵BF=CF，

∴DG=EG；故①正确；

∵CG⊥DE，DG=GE，

∴CD=CE=6，

∴AC=AE+CE=9，

∵DE//BC，

∴△AGE∽△AFC，

∴AEAC=AGAF=GEFC=39=13，

∴AF=3AG，FC=3GE，

∴FC=3DG，

∵DE//BC，

∴△FCH∽△GDH，

∴FCDG=FHHG=31=3，

∴FH=3HG，

设AG=x，则AF=3x，FG=2x，

∴HG=12x，

∴AH=32x，

∴AGAH=x32x=23，

∴AG=23AH，故③正确；

∵△AGD∽△AFB，

∴17.【答案】解：方程变形得：x2+2x=1，

配方得：x2+2x+1=2，即(x+1)2=2，

开方得：x+1=±2【解析】方程常数项移到右边，两边加上1变形后，开方即可求出解．

此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

18.【答案】解：原式=12−3+2×32

【解析】根据二次根式的乘除法计算法则，特殊角三角函数值的计算法则求解即可．

本题主要考查了二次根式的混合计算，特殊角三角函数值，熟知相关计算法则是解题的关键．

19.【答案】解：设竿长为x尺，

由题意得，(x−2)2+(x−4)2=x2．

解这个方程，得x1=2，x2=10，

当x=2时，x−2=0，【解析】设竿长为x尺，根据题意可得，则房门的宽为(x−4)尺，高为(x−2)尺，对角线长为x尺，然后根据勾股定理列出方程．

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是根据题意表示出各个边的长度以及勾股定理的应用．

20.【答案】解：画树状图为：

∴P(张经理坐到A车)=13，P(李经理坐到A车)=26=13．【解析】利用树状图表示出所有可能出现的结果情况，再分别求出张经理和李经理能乘坐到A车的概率，即可得出结论．

本题考查了列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是求出相应概率的关键．

21.【答案】解：如图，过点E作EG⊥BC于点G，

则四边形EFBG是矩形，

∴EF=GB，EG=FB，

在Rt△EGC中，斜坡CD的坡度i=EGCG=34，CE=5米，

设EG=3x米，则CG=4x米，

∴CE=EG2+CG2=(3x)2+(4x)2=5x(米)，

∴5x=5，

∴x=1，

∴EG=3米，CG=4米，

∴BG=BC+CG=8+4=12(米)，BF=EG=3米，

∴EF=BG=12米，

在Rt△AEF中，tan【解析】过点E作EG⊥BC于点G，则四边形EFBG是矩形，得EF=GB，EG=FB，由坡度的概念和勾股定理得EG=3米，CG=4米，则BF=EG=3米，EF=BG=12米，再由锐角三角函数定义求出AF的长，即可解决问题．

本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数定义，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．

22.【答案】(1)解：如图，过点B作BE⊥AC，交CD于点E，

点E就是所求的点，

理由：设BE交AC于点F，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BCD=90°，

∴∠CEB+∠CBE=90°，

∵BE⊥AC于点F，

∴∠BFC=90°，

∴∠BCA+∠CBE=90°，

∴∠CEB=∠BCA，

∴点E就是所求的点．

(2)证明：∵OB=OD，∠BCD=90°，

∴OC=OB=OD=12BD，

∴∠OCD=∠ODC，

∵DE=BE，

∴∠ODC=∠DBE，

∵∠CBE=90°−∠BCA=∠OCD=∠ODC，

∴∠CBE+∠DBE+∠ODC=3∠ODC=90°，

∴∠CBE=∠DBE=∠ODC=30°，

∴∠CBD=∠CBE+∠DBE=60°，

∴△BOC是等边三角形，

∵∠CBE=∠CDB=30°，∠ECB=∠BCD，

∴△CBE∽△CDB，

∴CECB=CBCD，

∴CB2=CD【解析】(1)过点B作BE⊥AC，交CD于点E，则∠CEB=∠BCA=90°−∠CBE，可知点E就是符合要求的点；

(2)由矩形的性质得OC=OB=OD，所以∠OCD=∠ODC，由DE=BE，得∠ODC=∠DBE，而∠CBE=∠ODC，即可推导出3∠ODC=90°，则∠CBE=∠DBE=∠ODC=30°，所以∠CBD=60°，则△BOC是等边三角形，再证明△CBE∽△CDB，得CECB=CBCD，则CB2=CD⋅CE，即可证明23.【答案】解：(1)∵二次函数y=x2+bx+c(b、c为常数)的图象经过点(0,3)、(1,−2)，

∴c=31+b+c=−2

解得：b=−6c=3；

(2)由(1)得，y=x2−6x+3=(x−3)2−6．

∴当x≤3时，y随x的增大而减小，当x>3时，y随x的增大而增大，

①当0≤m<3时，

当x=0时，y取最大值，最大值是3，当x=m时，y取最小值，最小值是(m−3)2−6，

∴3+(m−3)2−6=1，

解得m1=1，m2=5(舍去)．

②当3≤m<6时，

当x=6时，y取最大值，y的最大值是3，

当x=3时，y取最小值，y的最小值是−6．

∵−6+3=−3≠1，

∴不符合题意．

③当m≥6时，

当x=m时，y取最大值，y的最大值是(m−3)2−6，

当x=3时，y【解析】(1)把点(0,3)、(1,−2)代入二次函数解析式，即可求解；

(2)分三种情况讨论：当0≤m<3时，当3≤m<6时，当m≥6时，结合二次函数的性质即可求解．

本题主要考查的是二次函数的最值，涉及到二次函数的图象和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．

24.【答案】(1)证明：如图1中，过点G作GH⊥AD于点H．

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ADC=90°，

∵GH⊥AD，

∴∠AHG=∠ADC=90°，

∴GH//CD，

∵EF//CD，

∴EF//GH/