因式分解经典讲义培训讲学

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分因【知识点】．分因概：一________化成几___________的形式这种变形叫做把这个多项分解因。注：分解因式的实质是一种恒等变形，但并非所有的整式都能因式分解。②分解因式的结果中，每个因式必须是整式。③分解因式要分解到不能再分解为止。．解式整乘的系整式乘法是___________________________________________________；分解因式是___________________________________________________；所以，分解因式和整式乘法为_______系。．公式分因公式几个多项式__________因式。步：先确定__________，②后。注：当多项式的某项和公因式相同时，提公因式后该项变为。②当多项式的第一项的系数是负数时，通常先提出“号。．用式分因平差式完平公：注：分解因式还有诸如十字相乘法、分组分解法基本方法，做为补充讲解内容。【考点析】考一利提因法解式其用【1】分解式：（1

mm226

（2

2()（3

x(y)x)

（4）ab)(7b)a)(7a)只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除解）题先提一个“

”号，再提公因式

）题的公因式为

；（3题的公因式为

x)

；（）题的公因式为

a

。答）

(2m2m13)

；（2）

(

；（3

xy(x)

；（4）

ab)

2

。【2）知

xy，求2

2y

的值。（2）已知

b，ab，

22

的值。解）题：

2

2y2

(y)

，所以考虑整体代入求该代数式的值；（2题：

a

2b2

，整体代入求值时注意符号。答）

60

（2）

【堂习1．分解因式：（1

2x

3xxy2

（）

(m)(n)(（3

ya))()

（4

x

3x(2)2x2

．不解方程组

12x

，求

xy)xy2()

的值注1）因式应按“系数大最大公约数，字母同，指数低”的原则来选取。只供学习与交流22442244此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除（2）当多项式某项和公因式相同时，提公因式后该项变为1而不是没有。（3）当多项式的第项的系数是负数时，通常先提出”。（4）利用分解因式整体代入往往用于代数式的求值问题。考二利平差式解式其用【3】分解式：（1

(3xx（）p解）题：原式从整体看符合平方差公式，所以整体套用平方差公式；（2题：

p4p22q22

，所以符合平方差公式，此题注意分解完全。答）

(41)(2

；（2

2

)(p

。【4】计算

111)(1)(1))526272

；（2

2008

2

2007

2

.解）题：原式中每一个因式符合平方差公式，可以借助分解因式简化计算。11原式)(1)(1))(1)65201201201565200（2题：先化简，再使用平方差公式。原式2008(2008

2

2

2

2

999

2

999)(1999)答）

201250

；（2）998000。【5】利用式分解说明：

12

能被

140

整除。解：于符号相反的二项式我们考虑使用平方差公式种题型应先将两项化为底数相同的情况，再利用提取公因式法和平方差公式进行因式分解，最后凑出除数。36

7122)7143511

所以

能被140整除。【堂习只供学习与交流77此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除．分解因式：（1

4

（2

9

2(a)y

利分解因式说明：能整除.注1）方差公式的结构特征是：二项式，两项都是平方项，且两项符号相反；（2）公式中的,b可是具体数，也可以是代数式；（3）在运用平方差式的过程中，有时需要变形。考三利完平公分因及应【6）分解因式：

abx

22（2已知

14

是完全平方式，求

的值。（3）计算：

99999999

.解）题：原式要先提取公因式，再利用完全平方差公式进行分解。（2题：此种题型考察完全平方公式的特征，中间项是首尾两项底数积的2倍或其相反数（3）题：

9999999919999999929999(9999

。答）

(y)

2

；（2）

；（）

8【7四川成）知

1，那x3

2

y

2

的值是_______。解：原式的前三项可以进行因式分解，解为xy，整体代入求值。答：1．

1(xy)2，将x3

变形为【堂习只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除）解因式：

a)a)

2

（2若多项式

a

2k

能运用完全平方差公式进行因式分解，求

的值。（3

1999）知：

a

，

ab

，求代数式

a3b23

。（2当

时，求代数式

st2

的值。注1）全平方公式的结构特征是：三项式，首尾两项分别为两个数的平方，中间项是两个底数积的倍（或其相反数（2）公式中的,b可是具体数，也可以是代数式；考四综利各方分因及应【8】分解式：（1

4722nn

（2

a

2a解1都应先利用完全平方公式，再利用平方差公式进行因式分解。答）

(3)

2m2

；（2

(aa)

。【9福·州）出三个多项式：

11122x222

2

x

，请选择你最喜欢的两个多项式进行加减运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解。解：题是一道开放题只要所得整式可以因式解题可任取两个多项式进行加法运算再因式分解。如：只供学习与交流

11(2x2xxx(22此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除【】知

a,,c

分别是三角形ABC的边，试证明

2

2

2)b

2

解：知

a,,c

分别是三角形ABC的边，可以想到利用三角形的三边关系，再由不等式的左边是平方差形式，可想到利用平方差公式分解因式。(a22)b2a22ab)(22ab))(a)()由三角形三边关系可知，上式的前三个因式大于，而最后一个因式小于，则有：

2

2

2

2

b

2

【堂习．分解因式：（1

xy22

（2

a4（，吉）在三整式：

xyxy

中，请你任意选出两个进行加（或减）法运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解。注：分解因式的一般步骤可归纳为一提、二、三查提：先看是否有公因式，如果有公因式，应先提取公因式；套：再考察能否运用公式法分解因式；运用公式法，首先观察项数，若二项式，则考虑用平方差公式；若为三项式，则考虑用完全平方公式。查：分解因式结束后，要检查其结果是否正确，是否分解彻底。【巩固高】一选题．下列从左到右的变形中，是分解因式的有（）只供学习与交流xx此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除①(xx

②

)(3)③b④

aa

⑥

()(

⑦

=

aa

1a

)A个B2

C、

D、．下列多项式能分解因式的是（）A、

x

2

B

x

2

C、

x

2y

、

x

2

．下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（）A、

m

m4

B

2

xy

2

、

2

ab49b

2

D、

n29．

是△的边，且2

，那么ABC的形状是（）A直角三角形

B等腰三角形

C、腰直角三角形

D、边角形．如果

9

是一个完全平方式，那么的是（）A

B、

C、

D、

．已知多项式

2x

2

分解因式为

2(x，,c的为（

）A、

bc

B、

b

C、

b

、

b．已知

2x

2xyy

0(xy

，则

xy

的值是（）A

11B、2C、D、22．若

p)

2

qp

3

qp)

2

，则E是）A1p

B、qp

C、1p

D、

1．知二次三项式

x

2

bx

可分解为两个一次因式的积

(x

，下面说法中错误的是（）若若若

bc，取正号；bc，取负号；bc，号，且负的一个数的绝对值较大；D、

bc

，则

异号，且负的一个数的绝对值较大。．已知

2003

，

2004

，

c2005

，则多项式只供学习与交流yyyy（4a)a此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除a22ab

的值为（）A

B

1

C、

2

D、

3二填题分因式：

5

=.12在括号前面填上“＋”或“－”号，使等式成立：

y)

xy)

213若

x

2

是一个完全平方式，则的值是；14已知：

ab0,ab

，那么

22

的值为____________.15的三边满足

ac4

，则△ABC的状__________.观察图形，根据图形面积的关系，不需要连其他的线，便可以得到一个用来分解因式的公式，这个公式是.17若

x22)

，则

A

=___________.18分解因:

b

2

________________________.第16题)19若

ab

，则

a

___________，

b

___________.20若

x

22xy212，则(2

___________.三解题分解因式：（1

8a

3bab3ab

c

（2

8a)ba)(x)（3

53522（5

4

（）

9()2m)2（7

5(x)(y)3

（8）

2x2

只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除22先分解因式，再求值：已知

，ab

，求

1ab222

的值23设

21

，

222

，

，

(22n2n

（

为大于零的自然数探究a是为8的数，并用文字语言表达你所得到的结论。24对于实数

a,c,d

，定义一种新运算：

c

ad

，分解因式：

xx25阅读下列计算过程：9999+199=992

×99+1=（）=100=10（1计算：999×999+1999=____________=_____________=____________=_____________；。（2猜想9999999999×9999999999+19999999999等多少？写出计算过程。只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除第章

分【知识点】分式的概念及特：

A

、

B

表示两个整式，

A

÷

B

就可以表示成的式果

B中含有字母，式子就叫做分式。．分式有意义、无意义的条件：因

不能做除数，所以在分式中有：

B0

则A有意义；B则无义。B．分式值为零的条件：分式的值为零要同时满足：分母的值不为零，分式的值为零两个条件。即

0则且b.分的符号法则＝＝＝a.分的运算（1同分母分式相加减，分母不变，只把分式相加减，即

abcc（2分母分式相加减通变同分母的分式后再加减

a=bdbd

ad=bdbd注：.无论是探求分式有义、无意的条件，还是分式值等于零的件，都将转化成解程或不等式的问。.分式约分步骤找出分式分子与分母的公因式当分子分母是多项时，要先分式的分子和分母分解因式。约去分子分母的公因式。.最简公分母的定：当几个分的分母是单项式时，分式的最简公分母系数的最公倍数、相同字母的最高次幂所有不同字母的积；如果各分都是多项式，应先把个分母按某一字母幂或升幂列，再分解因式，找出最简公母。只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除【考点析】考一：式意、意、等零条（点【例2009，天）若分式

22

x

的值为零，则

的值等于。答案：

评析由

x

2

可(2)(x解x或因

时，x

2

x时x

2

。所以要使分式的值为零，x的只能等2。【堂习.若式

的值为0则的值等于。.若式

x2x2

的值为零，则x的值等于。考二式约【2，吉林）化简

x

的结果是（）A

xyyBC.D.答案：Ｄ评析：观察题中所给分式，分子、分母都为多项式，且都能分解，因此应先将分子分母分解因式，再约去公因式。如

x注：1.在应用分式的基本性质时要分理解＂都＂和＂同＂这字的含义。约分的结果最简分式或整式。【堂习只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除（2008，太）化简

m22m2

的结果是（）

mmmC.2m．化简

1(y)x

1

)

的结果是（）

yxxy考三分的减算重）【3，长沙）分式

11aa

的计算结果是（）

1a1D.aa答案：评析：先通分化为同分母分式，再进行加法运算。11+=a(a

a1a+=a(aa(

1a注：1.同分母分式加减运算中的“把分子相加减”是指把各个式的“分的繁体相加减，故当子是多项时，应加括号。通分和约分两种截然不同的变形，约是针对一个分式而言，通是针对多个分式而；约分是将个分式简化，通分是一个分式化繁。【堂习（，杭州）化简

22y

的结果是（）

y

C.

x

y考四分的除算只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除【例2009，天）已知

b0

，计算

a2ababba2评析：因为

b0

，所以

且

即

ab原式=

a(a)b2

a()a=,时原=(ab

49注：先化再求值，运算更简便分式的乘除运算要行到分式分母不再有公因式为止。【堂习化

1

xy

xx

考五式混运【例2010，常）化简：

(1

)y2

2评析：原式=

y(x)()

=

y注：1.正确运用运算则；2.灵活运运算规律；3.运算结果要最简化【堂习（2010泸州）化简：

(1

3a)a只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除考六件式值常技（点【例】已知

11xxy，分式的值为xxy3答案:5评析:由已知条件不能直接求出

x,y

的值，所以考虑将已知条件向着所求代数式的方向进行变形转化，通过整体代换解决问题。由

11

,可得

yxy

,所以

x

,所以原式

)2()3==(xy)5注：条件式求值主要方法有：

参数法：已知条件形如

yab

所要求值代数式是一个含

x,y,

而又不易简的分式时，常设

y（k就是我们所说的参数然后将其变形为ab

xka,,的形式，代入所求代数式，约即可。整体代换法若由已知条件不能直接求式中字母的值，可考虑把知条件和所求代数进行适当的变形然后整体代换，可使题得到解决【堂习

．

已知

x

，求代数式

(x2

的值

若

a22，则的a只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除【巩固提一选题1，荆门）计算：

()a2

2

的结果是（）

C.

1

2威海）化简

1(y)x

1

)

的结果是（）

yxC.xy3．若

aab2，则等于（）a2

4C.5

24河北）化简

a2ba

的结果是（）

a

22

a

C.

a

5陕西）化简

(

b)a

的结果是（）

a

a

C.

11aa二填题．计算：

2

2009漳州）若分式

1

无意义，则实数

x2010黄冈）当时代数式

2

的值为．在下列三个不为零的式子：

x

2x2x2

中，任选两个组成一个分式是

把这个分式化简所得结果是三解题只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除(2010,台)先化简再求值：

yxxyy

其

x．贵)先简：

a2abaa

2

，当

，从pa

的范围选取一个合适的整数

a

代入求值。格信息题）按下图的程序计算，把答案写在表格内：n

→平方→（）→）答案（1）填写表格输入

3

1

输出答案

211（2请将题中的计算程序用代数式表达出来，并化简。件开放题）请从下列三个代数式中任选两个构造一个分式，并化该分式：a2ab,b只供学习与交流2121此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除第章相三形【知识点】．相似三角形对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。注：（）两个全等三角一定相似两个直角三角形不一定相似。两个等腰直角三角形一定相似。两个等腰三角形不一定相似。两个等边三角形一定相似。．相似比相似三角形对应边的比叫做相似比。面积比等于相似比的平方。注：相似比要注意顺序：如A'B'C'的似比

ABAB'

，而B''

A'B'∽△ABC的似比k，这时。AB2．相似三角形的识别如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。只供学习与交流，可知∥，此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除【考点析】考一相三形判【例1】如，∠＝∠＝∠3图中相似三角形有（）。A解析：由平行线的性质，

1DEBCDEDEBEBC

，答：4对【随堂习】

，再由相似三角形判定定理一，可得有四组三角形相似。．如图已知：ABC△，其中∠＝50°∠B＝°∠＝°，∠＝°＝60°，F＝80°，能否分别将两个三角形割成两个小三角形，eq\o\ac(△,使)ABC所成的每个三形与所分成的每个三角形，分别对应相似？如果可能，请设计一种分割方案；若不能，说明理由。AD考二相三形识、征解中应【例（·广东省）图所示，四边A是行四边形，点在的长线上，连结CF交于E。求证：∽△；当是的中点，且BC＝2CD时求证：F＝∠BCF。只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除DFAB解析：由∥：∠＝∠DCE∠EAF＝∠D∴△∽

DEFAAE

，又E为点∴＝，从而CD＝FA，结合已知条件，易证BFBC∠F∠BCF（1∵四边形ABCD是行四边形∴AB∴∠＝∠，EAF＝∠D∴△∽△FAE（2∵是中点，＝由（）得：

DEAF∴CD＝AF∵四边形是行边形∴AB∴ABCD＝AF∴＝2CD，又＝2CD∴BC＝BF∴∠注平行往证个角相的要件用例段可明线相。【随堂习】．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥，对角线交于O点过OEF∥BC分交，DC于EF。求证：(1)OE=OF;(2)只供学习与交流

1ADBCEF

;(3)若此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除为形中位线，求证AF。考三未数设应【例3梯形中A＝90°AD∥BC点P线段从A向B动，（1）是否存在一个时刻ADP△BCP（2）若AD4BC＝6AB10使∽BCP，则AP的度为多少？ADBC解析：（）存在ADPBC（2）若△∽△，P设

4x460只供学习与交流AEAE；BC:AC,此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除APBP或4xx6

或

x6

或

P6∴AP长为46【随堂习】．如图，有一批形状大小相同的不锈钢片，呈直角三角形，已知＝90，AB＝5cm＝，设一种方案，用这批不锈钢片裁出面积达最大的正方形不锈钢片，并求出这种正方形不锈钢片的边长。考四直三形似比关【例】已知：如图，ΔABC中∠°CD⊥ABD，DEAC于，DFBC于。求证：(1)

CD

322

:EA

;

BC:AC3AE解析（1掌握基本图形RtΔABC，C=90CD于D”的常用结论。①勾股定理：

2BCAB2②面积公式：AC·BC=AB·CD③三个比例中项：

AC

2

④

两个等积式子：

由图中相似三角形得）只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除⑤

ACBC（2灵运用以上结论并掌握恒等变形的种方法解决此类问题的基本途径，如等式两边都乘或除以某项，都平方、立方，或两等式相乘等。（3学三类问题的常见的思考方法熟常用的恒等变形方法及中间等量代换。第（）题：证法一∵

CD

∴

CD

4AD2

AE))AC)AE)AB证法二∵

CD

AB∴

CD

ADABAB第（）题：证法一∵

AE2BDBDACADAD

，利用Δ∽ΔDAE证得DFCEEA

，命得证。证法二由

BC得AC

22

DEAECE2AE证法三∵

BCD

∽

CAD

，∴

DF

相似三角形对应高的比等于对应边的比∵∥BC∴

BCDEBC∴AC

22

DFDEDFCEDEAE第（）题：证法一∵只供学习与交流

2DBACADAD

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BCBFBF，AC证法二：∵Δ∽Δ，

DF∴证法三：∵∴【随堂习】

3DFDF2DFACDE2DEDFBCBF，ACAEACDFBCBCBCDFBFACAC．如，已知直角梯形ABCD中A＝∠B＝90，设

a，

，BCba)

，作DEDC，DE交AB于，连结EC。试判断△与ADE、△BCE是分别一定相似？若相似，请加以证明。如果不一定相似，请指出、足什么关系时，它们就能相似？FADEB【巩固高】如图，已知DEBCCD相于，

：

9：16

，则：＝____________。只供学习与交流223223此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除如图，ABC中，CEEB1：2∥，若△ABC的面积为S，eq\o\ac(△,则)ADE的积为。若正方形的4个点分别在直角三形的条上，直角三形的两直角边的长分别为和则此正方形的边长____________。（2000年汉市中考题）阅读下面的短文，并解答下列问题：我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体。如图甲乙两个不同的正方正体都是相似体它们的一切对应线段之比都等于相似比：a：，设S：甲

乙

分别表示这两个正方体的表面积，则

，2又设

V、甲乙

分别表示这两个正方体的体积，则

VV

33

。（1）下列几何体中，一属于相似体的是（）两球体两个圆锥体C.两个圆柱体两个长方体（2）请归纳出相似体的3条要性质：相似体的一切对应线段（或弧）长的比等____________；相似体表面积的比等_；相似体体积的比等。（2001年江苏省泰州市考题）如图，铁道口的栏杆短臂长，长臂长，当短臂端点下降m时长臂端点升高（）只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除11.25mB.6.6C.8mD.m如图，D为ABC的AC上的一点，DBC∠，已知

2

，△BCD与ABC的面积的比：3，则CD的是（）

C.

如图，在正三角形ABC，D分在AC上且（）

AC

，AE＝，则有△AED∽