工程测试课后习题解答

绪论

0-1叙述我国法定计量单位的基本内容。

我国的法定计量单位是以国际单位制为基础并选用少数其他单位制的计量单位来组成

的。

1.基本单位

根据国际单位制(SI),七个基本量的单位分别是：长度——米(m),W——千克(kg),

时间——秒(s),力度——开尔文(K),电流——安培(A),发光强度——坎德拉(cd),

物质的量摩尔(mol)。

2.辅助单位

在国际单位制中，平面角的单位——弧度(rad)和立体角的单位一一球面度(sr)未归入

基本单位，称为辅助单位。

3.导出单位

在选定了基本单位和辅助单位后，按物理量之间的关系，由基本单位和辅助单位以相乘

或相除的形式所构成的单位称为导出单位。

0-2如何保证量值的准确和一致？

通过对计量器具实施检定或校准，将国家基准所复现的计量单位量值经过各级计量标准

传递到工作计量器具，以保证被测对象量值的准确和一致。

0-3何谓测量误差？通常测量误差是如何分类、表示的？

测量结果与被测量真值之差就是测量误差。即

测量误差=测量结果-真值

通常根据误差的统计特征，可以将误差分为系统误差、随机误差、粗大误差三种

常用的误差表示方法有下列几种：

(1)绝对误差，就是用测量结果与真值之差来表示。

(2)相对误差，

相对误差=误差/真值，

误差较小时，可采用

相对误差会误差+测量结果

相对误差常用百分比来表示。

(3)引用误差，这种表示方法只用于表示计量器具特性的情况中。工程上采用引用

误差作为判断精度等级的尺度，以允许引用误差值作为精度级别的代号。计量

器具的引用误差就是计量器具的绝对误差与引用值之比。而引用值一般是计量

器具的标称范围的最高值或量程。

(4)分贝误差，单位是db。

分贝误差=20X1g(测量结果+真值)

0-4请将下列诸测量结果中的绝对误差改为相对误差。

(1)1.0182544V+7.8pV

(2)(25.04894+0.00003)g

(3)(5.482±0.026)g/cm2

±7.8〃V士7.8”

解(1)相对误差==±0.00077%

1.0182544x1()6-1.0182544xlO6/zV

±0.00003g0.00003

(2)相对误差=+=±0.00012%

25.04894g—25.04894

±0.026g/c7«20.026

(3)相对误差=+=±0.474%

5.482g/cw2一5.482

0-5何谓测量不确定度？国家计量局于1980年提出的建议《实验不确定度的规定建议书

INC-l(1980)》的要点是什么？

不确定度表示对被测量所处量值范围的评定。或者说，对被测量真值不能肯定的误差范

围的一种评定。不确定度是测量误差量值分散性的指标，它表示对被测量值不能肯定的程度。

测量结果应该带有这样的一个指标。用不确定度来表明测量结果的可信赖程度。不确定度越

小，测量结果可信程度越高，其使用价值越高。

国家计量局于1980年提出的建议《实验不确定度的规定建议书INC-l(1980)»的要点

是：

不确定度一般包含多种分量。按其数值的评定方法可以把它们归为两类：A累分量和B

类分量。A类分量是用统计学的方法算出的。即根据测量结果的统计分布进行估计，并用实

验标准偏差s(即样本标准偏差)来表征。B类分量是根据经验或其他信息来估计的，并用

近似的、假设的“标准偏差”u来表征。

0-6为什么选用电表时，不但要考虑它的准确度，而且要考虑它的量程？为什么使用电表时

应尽可能在电表量程上限的三分之二以上使用？用量程是150V的0.5级电压表和量程为

30V的0.5级电压表分别测量25V电压，请问哪一个测量准确度高？

解：(1)若用0.5级电压表：

其最大引用误差是可0.5%；

可能出现的最大绝对误差为A,n]=±150x0.5%=±0.75V；

最大示值相对误差为£=/xl00%="xl00%=3%

(2)若用1.5级电压表:

其最大引用误差6,““2=L5%；

可能出现的最大绝对误差为Am2=±30x0.5%=±0.45V；

o45

最大示值相对误差为九=IA,|X100%=TX100%=1.8%o

x25

显然，使用L5级电压表示值相对误差反而小，而示值相对误差是衡量电压表精度的指

标，所以使用量程为30V的1.5级电压表测量25V电压准确度高。所以说选用电表时不仅要

考虑其准确度，也要考虑其量程，使用电表时尽可能在电表量程上限的三分之二以上使用，

这样相对误差小，测量准确度高。

0-7如何表达测量结果？对某量进行8次测量，测得值分别是：802.40、802.50、802.38、

802.48、802.42、802.46、802.45、802.43.求其测量结果。

解：测量结果用下式表达：

测量结果=样本平均值土不确定度

8

8次测量的样本平均值：x=旦一=802.44

8

通标准偏差的估计值：屋一二。.。⑷

丐\8(8-1)

这样测量结果为:

x=x±CT-=802.44±0.0143

X

0-8用米尺逐段丈量一段10m的距离，设丈量1m的标准差为0.2mm。如何表示此项间接测

量的函数式？求测此10m距离的标准差。

解：设R是分析结果，A为测量值，则R=10A

SR~=10”/,SR=10,S4=100.2=2mm,

所以测量10m距离的标准差为2mm。

0-9直圆柱体的直径及高的相对标准差均为0.5%,求其体积的相对标准差为多少?

解：设体积、直径和高分别为V、D、h,则有

V=Tir'h--D'h

4

相对标准差为

22

=4-(0.5%)2+(0.5%)2=1.25xl0-4

&=1.12%

V

即体积的相对标准差为1.12%。

第一章信号及其描述

I.求周期方波(见图1-4)的傅里叶级数(复指数函数形式)，画出0和%-0图，并

与表1-1对比。

解：周期方波用时域函数描述为：

'x(t)=x(t+nT0)

'T

A,0<f<为

\x(f)=\9

II2

Co=劭=J6x(f)力=0

c“=J仔初"”如力Wf五(-A)e-

jn<ao，jno)

dt+—J1Ae-°'dt

，021。2T.

o%

AA2A加例)日

=+=j---(—l+e2+e2-1)

"-jng_?o"—j〃40〃*

2

A.、.A小入、.2A.2〃万

-1)=-j-----(2-2COSM^)=-j——sin~——

"①°T°n7r2

c12A/

1I2A.n兀—,(刀=±1,±3,±5,...)

%二一sm^2—=\n7r9

2

[0,(〃=0,±2,±4,...)

2.求正弦信号x(t)=x0sinco的t绝对均值和均方根X〃“so

解：

11禹।,2fi-一cos初12

2

/k"忖=我[k°sinwdt--1x0sincotdt=2x0--------=----(cos=--

70707Q7；)(f)27C兀

si

YTo2

X=______________

=*sin2&J=lv

_1一人

,°-V2

\2T02@0N2K

3.求指数函数x(t)=Ae-a'(a>0,t>0)的频谱。

解：根据傅里叶变换，有：

X(/)=£x(.t)e-j2^'dt=£Ae-a'e-j2^dt=A^e-{a+i2^)'dt

=A—

-s)oa+jlKf-

\x(f)\=--A---

加+(2步

,八2寸

夕(/)=-arctg----

a

4.求符号函数(见图l-25a)和单位阶跃函数(见图l-25b)的频谱。

立tk>°

解(1)sgnt=77=〈

\t\l-l,r<0

由于符号函数不满足绝对可积条件，因此需乘以一个衰减因子e-喇(a〉0)令其在(-00,+8)的积

分收敛。

F(sgn(f))=limPe~a^sgn(t)e-j2^dt=limea,{-Y)e-j2^dt+Pe-a,e-}1^dt

a.。a—>0J-8a—>0①

<u72<),(a+j2v

=lim|°-e-J/+lime~^dt=lim(—―'~r+——?：)

a-。Loa-»0J)a-0々——j2万a+j2港

212

=-------=------=-----z(cow0)

J2mJ7VfJCD

F(sgn(r))=lim(-—4--)=0(69=0)

aa

⑵单位阶跃函数可以写成如下表达式：

〃«)=g+；sgn(r),由此，可得其傅里叶变换为：

u（/）=5（/）+1

鬲

5.求被截断的余弦函数C0S6V（见图1-26）的傅里叶变换。

cosey0/,|/|<T

X。）=<

o，M”

解：X。）可以看做矩形窗函数为⑺和余弦函数COS6V的乘积。即

111

-ww-w

x(t)=x](ocosgf=xlQ)・-(e4-e)=~^i(0^+5王⑺/%

1，卜<T①

其中，X]«）=<,,,X|3)=2Tsinc(——2T)=2Tsinc(0T)

0,r>T2

根据傅里叶变换的频移性质，有

X(6?)=；X](0>+0o)+gX1(fy-0o)=Tsinc((6y+00)T)+Tsinc((0-g)T)

6.求指数衰减振荡信号x(f)="“sin(y0/(a>Oj>0)的频谱。

解：xQ)=e"sina)ot=e"-jg①一"""«-(“一次")

=J—(£+'""+"3-与加力)

00oo

]«一(。+八&+%))1一(a+j(©-g))r

+()

44'%+j(e+例))一研)))

00

1

J+)

4万a+，(。+例))a+j(co-coo)

也可这样做:

当/(t)=Ae-a'(a>O,t>0)时，其傅里叶变换

]

X")=

a+j2力

因此，X,(ty)=---X,(/)=-------；—

2TI2"〃+jo)

所以，E(e-("+/”)=--------!------,/(e/+w。")=----------!------

2万〃+/(G+4)2)Q+/(G-G)

F{e~a,singf)=—(-----1-----+-----1-----)

4"a+j(a)+a)0)a+j(a)-a)0)

7.设有一时间函数/(f)及其频谱如图1-27所示，现乘以余弦函数cos6V(g>0)在这个关

系中，函数/⑺叫做调制信号，余弦型振荡cosg/叫做载波，试求调幅信号/(f)cos6V的

傅里叶变换，示意画出调幅信号及其频谱。又问：若％<?”时会出现什么情况？

解：设/⑺的傅里叶变换记为F(3),则调幅信号的傅里叶变换为:

F(7(Ocos(y0/)=F(f⑴；(e^+e^))=；F(/(f)e3)+；F(f⑴*尔)

=*F((y+«0)+*F((y-«y0)

从以上计算结果可以看出，时间信号经调制后的频谱等于将源信号的频谱进行频移，使得原信号

频谱的一半位于-4处，另一半位于％处，并且幅值降低为原来的一半。

8.求正弦信号x(f)=XoSin(m+/)的均值〃、.、均方值和概率密度函数p(x)。

解：(1)〃r=fx(t)dt=0

22(，22

px(t)dt=—£x0sin(初+(p)dt

(2)

22

sin2(初+夕))sin2(coT()+(p))-sin2(px0

---------------------------------------------------------)=-----------/0

2co24°~2

o

⑶求p(x)。

因为初相位为。的正弦信号x«)是各态历经信号，所以取任意样本函数均可求其概率密度函数,

下面取8=0的样本函数为例求解。

由于X。)是周期信号，取观测时间为一个周期T.

在一个周期内，信号幅值落在指定区间(x,x+Ax)的时间为T*.=2△/,则

L.

,、、.亍12加212121

p(x)=lim—=lim---------lim--=-------------------

-Ax-AxTTA—。AxTx'(t)T%coscot

△t

71ylxj-x„sin2cot71&

第二章测试装置的基本特性

1.进行某动态压力测量时，所采用的压电式力传感器的灵敏度为90.9C/Mpa,将它与增益为

0.005V/nC的电荷放大器相连，而电荷放大器的输出接到一台笔式记录仪上，记录仪的灵敏度为

20mm/V。试计算这个系统的总的灵敏度。当压力变化为3.5Mpa时，记录笔在记录纸上的偏移量

是多少？

解：系统总的灵敏度是各环节灵敏度的乘积，即

S=S1•§2•S3=90.9C/Mpa-0.005V/nC-20mm/V=9.09mm/MPa

当压力变化为3.5Mpa时，记录笔在记录纸上的偏移量为：

A/=△〃♦S=3.5Mpa-9.09mm/MPa=31.815mm

2.用一个时间常数为0.35s的一阶系统去测量周期分别为Is、2s和5s的正弦信号，问幅值误差是

多少？

解：幅值误差为

A(4y)-A(0)1

xl00%=|A(fi))-l)|xl00%=-1xlOO%

40)Vl+<z>2r2

27r

汇=0.35s,当周期为IsH寸，助=1-=2%

-1X100%=58.6%；

3.求周期信号x(t)=0.5cos10r+0.2cos(lOOr-45H)通过传递函数为

H(s)="0nMe的装置后得到的稳态响应。

解：设X[Q)=0.5coslOf,x2(r)=0.2cos(100r-45°)

则

X(f)=X](f)+X2(f)

根据线性系统的叠加性和频率保持性，可知系统的输出可以看做是为⑺和々(f)单独作用于系统

时所对应的输出)，|⑴和y2(t)之和，并且必(/)和x,⑺的频率相同，y2(t)和x2(t)的频率相同。

先求系统的频响函数:

1+jO.OO5a>

其幅频、相频特性分别为：

A(ty)=/1/(⑼=-arcfgO.OO5(y

J1+(0.0050)2

当。=10时，A3)=/1=0.999,9((«)=-arcrg0.005(t>--2.866"；

71+(0.005<y)2

当3=100时，A((y)=/1=0.894,0((y)=-arctg0.005(v=-26.5790。

J1+(0.0050)2

所以，

%(t)=0.999-0.5cos(10r-2.866")=0.4995cos(lOf-2.866")

y2(t)=0.894-0.2cos(lOOr-450-26.579°)=0.1788cos(l00,—71.579")

故周期信号x«)作用于系统后得到的稳态响应为：

y(t)=必(f)+y2(t)=0.4995cos(10r-2.866")+0.1788cos(lOOr-71.579°)

4.气象气球携带一种时间常数为15s的一阶温度计，以5m/s的上升速度通过大气层。设温度按每

升高30m下降0.15℃的规律而变化，气球将温度和高度的数据用无线电送回地面。在3000m处

所记录的温度为-1℃。试问实际出现-1℃的真实高度是多少？

解：设输入信号为

/、015八…一、0.025a

x(j)=—/t+a=-0.025/+a,X(s)=--------1—

3%ss

测试装置的传递函数为

则输出的传递函数为:

v/、V,、W、,0.025。、1-0.025+05bed

y(s)=X(s)•H(s)=(----+-)------=—.........=丁+_+------

s1s155+152(15.V+1)52s15.V+1

Z?(15s+l)+cs(15s+l)+ds2®+15C)/+(15b+c)s+b

52(15.?+1)52(15.V+1)

按照待定系数法，有

b=-0.025a=0.375+c

所以，L=-0.025

=15/?+c

Q=d+\5cd=-i5c

则

y(f)=-0.025,+c-ce

根据题意，当"3000/5=600sB寸，y(f)=—l,

也就是

-0.025x600+c-c”=-1

可得c=-16

a-0.375+c——15.625

x«)=-0.025/+a=-0.025/-15.625

当x«)=—1时，f=585s,此时对应的高度应该为：

/?=585x5=2925加

所以，出现-1"C的真实高度是2925m。

5.想用•个一阶系统做100Hz正弦信号的测量，如要求限制振幅误差在5%以内，那么时间常数

应该取多少？若用该系统测量50Hz的正弦信号，问此时的振幅误差和相角差是多少？

解：一阶系统的幅频，相频特性为：

A((o)--/,叭a))--arctgTCD,

Jl+(ny)2

当<y=100时，振幅误差为

£=|A⑷-x100%=(1--7=1==0x100%=(1--y=i==^)x100%<5%

Jl+(ny)2Jl+(1007)2

此时，r<0.0033

取T=O.OO33,当。=50时、振幅误差为：

£=1[x100%=(1--,1)x100%=1.334%

Ji+(T(t)y

相角差为：

9(。)=-arctgTCD--9.3740

6.试说明二阶装置阻尼比，多用0.6-0.8的原因。

二阶系统的影响在很大程度上决定于阻尼比4和固有频率以。系统固有频率为系统的主要

结构参数所决定。4越高，系统响应越快。阻尼比，直接影响超调量和振荡次数。，=0时超调

量最大，为100%,且持续不惜振荡，达不到稳态。，421时，系统转化为两个一阶系统的串联，

此时虽然不发生振荡，但也需经超长时间才能达到稳态。如果阻尼比：选在0.6~0.8之间，则系

统以较短时间(大约(5~7)/七)，进入稳态值相差±(2%~5%)的范围内。同时相频特性以助

也接近于直线，因而产生的相位失真也很小。所以，阻尼比在0.6~0.8范围内时，系统可以获得

较为合适的综合特性。

7.将信号cos由输入一个传递函数为"(s)=—1—的一阶装置后，试求其包括瞬态过程在内的输

窗+1

出y(t)的表达式。

解：x(t)=coscot,X(s)=------

S+G

1as+hc

------------y+----

窗+1s+G窝+1

先求c：

1

")3+1)匕=丁)=一事

T~

再求a、b：

as+b\,=Y(s)-(s2+co2

x()s=-j(o

即，

.s-jet)_Ct)2V.co

b—jcoa=--------—2~2J\2~2

TS+\s=-jco1-JCOT14-69T1+69T

所以,

1.d)2r

a-------------h------------

1+〃/'l+^y2r2

ICD^TT

--VH

y(S)=[+02」2-------l+----------------------口272

52+a)2TIV+l

所以

I/、I

y(f)=cos((y/-^)--———

Jl+疗dl+(yr

其中，(p-arctgcoT

1.54。2

9.试求传递函数分别为“（s）=和772（5）=y的两环节串

3.5s+0.5S~+1.4&>"S+CDn

联后组成的系统的总的灵敏度。

解：一阶系统的灵敏度可以这样求:

1.5

1.50.53

MG)3.5s+0.53.5s7s+1

----------r1

0.5

所以，此系统灵敏度为S1=3；

二阶系统的灵敏度可以这样求:

410,：

“2($)，根据分子上例：的系数，得

s2+1.4qs+(y“2

此系统灵敏度为S2=41

所以，串联系统的总的灵敏度为S=S「§2=3X41=123.

10.设某力传感器可作为二阶系统处理。已知传感器的固有频率为。“=800Hz,阻尼比为

4=0.14。间使用该传感器做频率为400Hz的正弦测试时，其幅值比&助和相角差0（。）各

为多少？若该装置的阻尼比改为4=0.7,问其幅值比4（口）和相角差夕（0）如何变化?

2]

解：二阶系统的传递函数为"（s）=r——%-----?

s+2Q〃s+a）s2…s,

n—+2<—+1

]

频率响应函数为："（。）=

1CD1,、/CO

叫叫

幅频特性和相频特性为:

2,色

]

A⑷,<p(co)=-arctg--------Y

’(1—耳)2+%2(0)2

12

①“0

当正弦测试的频率为口=400〃z时，代入以上幅频相频特性式，可得,

A(0)=1.311,以助=—10.57°

当该装置的阻尼比改为，=0.7时，A3）=0.975,叭a））=-43.03°

11.对一个可视为二阶系统的装置输入一单位阶跃函数后，测得其响应的第一个超调量峰值为

1.5,振荡周期为6.23s,设已知该装置的静态增益为3,求该装置的传递函数和该装置在无阻

尼固有频率处的频率响应。

产

解：最大超调量M=e卡=1.5-1=0.5,由此得，：=0.215

1

振荡周期T=」一=-----J=6.23,则G)n=—.--0.165(〃z)

3d%JYBY

3-ty0.0817

故传递函数为:H(i)=--------——

52+0.0709.v+0.027

s+2^a)ns+con

0.0817

频率响应函数为:

0.027-1+/0.07090

在0=以处，幅频特性为A3)=/=6.983,也就是谐振峰值,

7(0.027-6y2)2+(0.0709ty)2

相频特性为：例。)=-90"

第三章常用传感器与敏感元件

3-1在机械式传感器中，影响线性度的主要因素是什么？试举例说明。

机械式传感器的敏感元件是弹性体。它的输入量可以是力、压力、温度等物理量，儿输出则为弹

性元件本身的弹性变形（或应变）。这种变形能转换为其他形式的变量。弹性元件的变形不宜过

大，以减小线性误差。弹性元件具有蠕变、弹性后效等现象。这些现象最终会影响输出与输入的

线性关系。

3-2试举出你所熟悉的5种传感器，并说明它们的变换原理。

1）金属电阻应变片，变换原理是金属导体的电阻应变效应

2）半导体应变片，变换原理是半导体材料的压阻效应。

3）涡电流传感器，变换原理是金属导体在交流磁场中的涡电流效应

4）压电式传感器，变换原理是利用某些物质的压电效应

6）热电偶，变换原理是基于金属的热电效应。

5）电容传声器，变换原理是利用电容俩极板间距的变化能够引起电容量的改变。

3-4有一金属电阻应变片，其灵敏度Sg=2,R=120Q,设工作时其应变为lOOOu£,

问AR是多少？若将此应变片接成图示的电路，试求：1）无应变时电流指示值；2）有应变

时电流指示值；3）电流表示值相对变化量；4）试分析这个变量能否从表中读出？

解：由电阻应变片灵敏度公式可知，

——=S,£dR==120x2x1000x10-6=024Q

R**

所以AR为0.24Q。

1)无应变i(t)=—=—=l2.5xlO-3A=l2.5mA

R120

U

2）有应变i(f)=---=12.475x1CT，A=12.475"滔

R+\R120+0.24

12.475-12.5

3)△==-0.2%

12.5

4）这个变量不能从电流表读出,因为电流表的分辨力没这么小。

3-7有一电容测微仪，其传感器的圆形板极半径r=4mm,开始初始间隙6=0.3mm，问

（1）工作时，如果传感器与工件的间隙变化量A3=±1〃〃，电容变化量是多少？

（2）若测量电路灵敏度S1=100mv/PF,读数仪表的灵敏度S2=5格/mv,上述情况下,

仪表的指示值变化多少格？

解：dC=~£eo^-d3对空气£=1

lx8.85xl0-'2(F/ffl)x^x(0.004)2(ffl2)

所以:\C=x(±lxl0-6)(m)

(0.3xl0-3)2(m2)

=±4.94xIO*尸

IP=1012所以八。=±4.94x1()-3p产

(2)4.94xlO^(PF)x100(/71^/^)x5(^-./mv)=2.47格

3-11一压电式传感器的灵敏度S=90pC/MPa,把它和一台灵敏度调到0.05V/pC

的电荷放大器连接，放大器的输出又接到一灵敏度已调到2O"2"2/AZ的光线示波器

上记录，试绘出这个测试系统的框图，并计算其总的灵敏度。

解：系统框图为

压电式传感器-----------►电荷放大器------------►光线示波器

5总=S1•S2•S3=90pC/MPa-0.05V/pC-20mm/V=9V/MPa

第四章信号的调理

4-1以阻值R=120Q、灵敏度为鼠=2的电阻丝应变片与阻值为120Q的固定电阻组成电桥，供

桥电压为3V,并假定负载为无穷大。当应变片的应变为2〃£和2000时，分别求出单臂、双臂

电桥的输出电压，并比较两种情况下的电桥灵敏度。

解：1、单臂电桥的输出电压为：

(1)当应变为时，

U.=力.竺=.£=322x10-6=3x10-6=0003〃/

4R4&4

(2)当应变为2000时，

U,=.£=3.2.2000xl(T6=3x10-3=3mV

2、双臂电桥的输出电压为：

(1)当应变为2〃£时一，

U,=上当=•£=』2