2022江苏南京高三数学二轮复习专题讲座6函数与导数二轮复习建议

函数与导数二轮复习建议六合高级中学周德建函数是高中数学主线，在高考中，该部分内容是考试的重点和热点，不仅独立地考查该部分内容，还常常与其它内容相综合进行考查．在江苏高考文理共用卷前160分试题中，函数的填空题通常2～3题（08年为3题、09年2题、10年3题）；函数解答题每年各考1道，通常是压轴题．基本题型一：考查函数基本性质例1（2022安徽）若集合A＝｛x︱logeq\o(\s\up7(),\s\do5())x≥eq\f(1,2)｝，则∁RA＝________________．【解析】A＝｛x︱0≤x≤eq\f(1,2)｝得∁RA＝(－∞，0]∪(eq\f(eq\r(2),2)，＋∞)．说明：本题考查对数函数的性质与集合相关运算．例2（2022年江苏）设函数f(x)=x(ex＋ae－x)（x∈R）是偶函数，则实数a＝_______．【解析】可以由g(x)=ex+ae－x为奇函数，得g(0)=0，从而解得a=－1；或者由奇函数定义解得．说明：本题考查函数的奇偶性的知识．在解决函数奇偶性问题时，应灵活地运用函数奇偶性相关性质来解题．如：①若奇函数定义域包含0，则f(0)＝0；②函数具有奇偶性的前提是其定义域关于原点对称．例3（2022年江苏）已知a＝eq\f(eq\r(5)－1,2)，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系为．【解析】a＝eq\f(eq\r(5)－1,2)∈(0，1)，函数f(x)＝ax在R上递减．由f(m)>f(n)，得m<n．说明：本题考查指数函数的单调性，“指（对）数函数的图像和性质”是B级要求，高考中考查可能性较大．例4（2022年江苏卷）已知函数f（x）＝eq\b\lc\{(\a\al(x2＋1，x≥0，,1，x<0，))则满足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的范围是．【解析】x∈(－1，eq\r(2)－1)说明：分段函数是高考经常考的内容之一．在解决分段函数问题时，要注意数形结合、分类讨论思想的运用．例5（2022全国Ⅰ卷）直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围_______．【解析】先由函数y＝x2－|x|＋a是偶函数，然后作图可得a∈(1，eq\f(5,4))说明：本题考查利用“数形结合思想”来解决问题．例6（2022年江苏卷）将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S＝eq\f((梯形的周长)2,梯形的面积)，则S的最小值是．【解析】设剪成的小正三角形的边长为x，则S＝eq\f(4(3－x)2,eq\r(3)(1－x2))（0<x<1），（方法一）利用导数求函数最小值．S′(x)＝eq\f(4,eq\r(3))×eq\f(－2(3x－1)(x－3),(1－x2)2)，令S′(x)＝0，得x＝eq\f(1,3)，当x∈(0，eq\f(1,3))时，S′(x)<0，所以函数S(x)递减；当x∈(eq\f(1,3)，1)时，S′(x)>0，所以函数S(x)递增；故当x＝eq\f(1,3)时，S的最小值是eq\f(32eq\r(3),3)．（方法二）本题也可以借用y＝x＋eq\f(a,x)性质求最小值．【说明】（1）“函数模型及其应用”为B级要求，在填空题中经常考1道函数模型的应用题．（2）本题考察函数的建模、求其值域问题．对于“eq\f(f(x),g(x))”型(其中函数f(x)，g(x)一个为1次、一个为2次）求值域问题，要能够熟练地、多角度地求解．基本策略：1、“函数与基本初等函数”共有6个B级点，应加强对这些B级点研究（这些B级点在历年高考试题中通常考2～3小题）．2、在研究函数性质时既要注意通性通法又要注意有关性质的灵活运用．如单调性证明可以通过定义、求导来解决；对于函数的奇偶性，不仅要掌握奇偶性判断的基本步骤，还能够利用奇偶性的性质灵活地解题；对于函数的值域，要能够熟练地掌握基本方法（如配方法求二次函数值域、利用函数的图像、单调性、导数、基本不等式、换元法等方法求值域）．3、函数各种性质的综合常常是命制高考数学试题的重要出发点和落脚点，比如奇偶性与单调性联系、对称性与单调性联系，利用函数的图象研究函数性质，利用性质作图研究方程的根和不等式解集等问题，是历年高考的热点之一．4、注意到数形结合思想、分类讨论、由特殊到一般（由一般到特殊）等数学思想方法的灵活运用．5、建议进一步加强对基本概念、基础知识、基本方法的理解和训练．基本题型二：考查导数的概念及其运用例7（2022年江苏）函数f(x)＝x3―15x2―33x＋6单调减区间为．【解析】f′(x)＝3(x－11)(x+1)，由f′(x)<0可知：函数f(x)的单调减区间为（－1，11）．说明：本题考查利用导数求函数的单调区间．例8（2022年江苏）在平面直角坐标系中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为.【解析】y′＝3x2－10＝2，得x＝2，－2，又因为点P在第二象限内，点P的坐标为（－2，15）．说明：本题考查导数的几何意义——运用导数求切线，求曲线的切线又包括由切点求切线、由经过的点求切线．例9（2022年江苏）函数y＝x2(x＞0)的图像在点(ak，ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1，k为正整数，a1=16，则a1＋a3＋a5=．【解析】在点(ak,ak2)处的切线方程为y－ak2＝2ak(x－ak)，当y＝0时，解得x＝eq\f(ak,2)，所以ak+1＝eq\f(ak,2)，所以，a1＋a3＋a5=21．说明：本题考查利用导数求曲线的切线与数列的综合运用．例10（2022年江苏）f(x)＝ax3―3x＋1对于x∈[－1，1]总有f(x)≥0成立，则a＝．说明：本题考查导数在函数求值域中运用．基本策略：1、关注导数的4个B级点，加强对这些B级点研究；2、让学生理解利用导数研究函数的基本方法，特别要让学生厘清以下两个问题：一是函数f(x)在区间(a，b)是单调增函数eq\o(\d\fo0()\s\up1())f′(x)≥0，但f′(x)≥0eq\o(/,\d\fo0()\s\up1())函数f(x)在区间(a，b)是单调增函数；二是x＝a为f(x)极值点eq\o(\d\fo0()\s\up1())f′(x)＝0但f′(x)＝0eq\o(/,\d\fo0()\s\up1())函数f(x)在x＝a取极值．3、利用导数求曲线的切线方程一般解题步骤是：①设切点；②由切点求出切线方程；③由相关条件求出参数．4、导数问题的几种常见题型为：求曲线的切线、求函数的单调区间、求函数值域、以及通过直接对参数讨论的方法或分离变量的方法把恒成立、存在性的问题转化为上述问题．在二轮复习中应加强对各种题型的总结、梳理．基本题型三：函数综合运用．例11(2022年广东卷文)已知二次函数y＝g(x)的导函数的图像与直线y＝2x平行，且y＝g(x)在x＝－1处取得最小值m－1(m≠0).设函数f(x)＝eq\f(g(x),x)．(1)若曲线y＝f(x)上的点P到点Q(0，2)的距离的最小值为eq\r(2)，求m的值；(2)k(∈R)如何取值时，函数y＝f(x)－kx存在零点，并求出零点．【解析】（1）设g(x)＝ax2＋bx＋c＝0，则g‘(x)＝2ax＋b；又g‘(x)的图像与直线y＝2x平行，所以2a＝2，a＝1，g(x)在x＝－1－eq\f(b,2)＝－1，得b＝2，所以g(－1)＝a－b＋c＝1－2＋c＝m－1，得c＝m；f(x)＝eq\f(g(x),x)＝x＋eq\f(m,x)＋2，设P(x0，y0)，则︱PQ︳2＝x20＋(y0－2)2＝x20＋(x0＋eq\f(m,x0))2＝2x20＋eq\f(m2,x20)＋2≥2eq\r(2m2)＋2，所以2eq\r(2m2)＋2＝4，m＝eq\f(eq\r(2),2)，－eq\f(eq\r(2),2)；（2）由y＝f(x)－kx＝(1－k)x＋eq\f(m,x)＋2＝0，得(1－k)x2＋2x＋m＝0(＊)(Ⅰ)当k＝1时，方程(＊)有一解x＝－eq\f(m,2)，函数y＝f(x)－kx有一零点x＝－eq\f(m,2)；(Ⅱ)当k≠1时，方程(＊)有二解时，Δ＝4－4m(1－k)>0，若m>0，k>1－eq\f(1,m)，函数y＝f(x)－kx有两个零点x＝eq\f(1＋eq\r(1－m(1－k)),k－1)，eq\f(1－eq\r(1－m(1－k)),k－1)；若m<0，K<1－eq\f(1,m)，函数y＝f(x)－kx有两个零点x＝eq\f(1＋eq\r(1－m(1－k)),k－1)，eq\f(1－eq\r(1－m(1－k)),k－1)；(Ⅲ)当k≠1时，方程有一解时，Δ＝4－4m(1－k)＝0即k＝1－eq\f(1,m)，函数y＝f(x)－kx有一零点x＝eq\f(1,k－1)．说明：本题考查了函数、不等式、含参方程求解等问题综合．例12（2022年江苏）设f(x)是定义在区间(1，＋∞)上的函数，其导函数为f′(x)．如果存在实数a和函数h(x)，其中h(x)对任意的x∈(1，＋∞)都有h(x)>0，使得f′(x)=h(x)(x2―ax＋1)，则称函数f(x)具有性质P(a)．(1)设函数f(x)＝lnx＋eq\f(b＋2,x＋1)(x>1)，其中b为实数．(i)求证：函数f(x)具有性质P(b)；(ii)求函数f(x)的单调区间．(2)已知函数g(x)具有性质P(2)．给定x1，x2∈(1，＋∞)，设m为实数，α＝mx1＋(1－m)x2，β＝(1－m)x1＋mx2，且α>1，β>1，若|g(α)－g(β)|<|g(x1)－g(x2)|，求的取值范围．【解析】本题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力．（1）(i)f′(x)＝eq\f(1,x)－eq\f(b＋2,（x＋1）2)＝eq\f(x2－bx＋1,x（x＋1）2)，∵x>1时，h(x)＝eq\f(1,x（x＋1）2)＞0恒成立，∴函数f(x)具有性质P(b)；(ii)当b≤2时，由于x>1，令φ(x)＝x2－bx＋1≥x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，所以f′(x)>0，故此时f(x)在区间(1，＋∞)上递增；当b>2时，φ(x)图像开口向上，对称轴x＝eq\f(b,2)>1，方程φ(x)＝0的两根分别为x1＝eq\f(b－eq\r(b2－4),2)，x2＝eq\f(b＋eq\r(b2－4),2)，其中eq\f(b＋eq\r(b2－4),2)>1，0<eq\f(b－eq\r(b2－4),2)<1，所以当x∈（1，eq\f(b＋eq\r(b2－4),2)）时，φ′(x)<0，f′(x)＜0，所以，此时f(x)在区间(1，eq\f(b＋eq\r(b2－4),2))上递减；同理，得f（x）在区间(eq\f(b＋eq\r(b2－4),2)，＋∞)上递增．综上所述，当b≤2时，f(x)在区间(1，＋∞)上递增；当b>2时，f(x)在(1，eq\f(b＋eq\r(b2－4),2))上递减；f(x)在(eq\f(b＋eq\r(b2－4),2)，＋∞)上递增．(2)由题设知，g(x)的导函数g′(x)＝h(x)(x2－2x＋1)，其中函数h(x)>0对于任意的x∈(1，＋∞)都成立．所以，当x>1时，g′(x)=h(x)(x－1)2，从而g(x)在区间(1，＋∞)上单调递增．①当m∈(0，1)时，有α＝mx1＋(1－m)x2>mx1＋(1－m)x1＝x1，α＝mx1＋(1－m)x2<mx2＋(1－m)x2＝x2，得α∈(x1，x2)，同理可得β∈(x1，x2)，所以由g(x)的单调性知g(α)，g(β)∈(g(x1)，g(x2))，从而有|g(α)－g(β)|<|g(x1)－g(x2)|，符合题设．②当m≤0时，α＝mx1＋(1－m)x2>mx2＋(1－m)x2＝x2，β＝(1－m)x1＋mx2≤(1－m)x1＋mx1＝x1，于是由α>1，β>1及g(x)的单调性知g(β)≤g(x1)<g(x2)≤g(α)，|g(α)－g(β)|≥|g(x1)－g(x2)|，与题设不符,舍去．③当m≥1时，同理可得α<x1，β>x2，得|g(α)－g(β)|≥|g(x1)－g(x2)|，与题设不符，舍去．综合①、②、③得，的取值范围是(0，1)．例13（2022年江苏）设a为实数，函数f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a|．(1)若f(0)≥1，求a的取值范围；(2)求f(x)的最小值；(3)设函数h(x)＝f(x)，x∈(a,+∞)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)≥1的解集．【解析】本题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力．（1）因为f(0)＝－a|－a|≥1，所以，－a＞0，即a＜0．由a2≥1，得a≤－1．（2）记f(x)的最小值为g(a)，f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a|＝eq\b\lc\{(\a\al(3(x－eq\f(a,3))2＋eq\f(2a2,3)，x＞a，①,(x＋a)2－2a2，x≤a，②))（ⅰ）当a≥0时，f(－a)＝－2a2，由①②知f(x)≥－2a2，此时，g(a)＝－2（ⅱ）当a＜0时，f(eq\f(a,3))＝eq\f(2,3)a2．若x＞a，则由①知f(x)≥eq\f(2,3)a2；若x≤a，则x＋a≤2a＜0，由②知f(x)≥2a2＞eq\f(2,3)a2．此时，g(a)＝eq\f(2,3)a2．所以，g(a)＝eq\b\lc\{(\a\al(－2a2，a≥0，,eq\f(2,3)a2，a<0．))（3）（ⅰ）当a∈(－∞，－eq\f(eq\r(6),2)]∪[eq\f(eq\r(2),2)，＋∞)时，解集为(a,＋∞)；（ⅱ）当a∈[－eq\f(eq\r(2),2),eq\f(eq\r(2),2))时，解集为[eq\f(a＋eq\r(3－2a2),3)，