2022年高考一轮复习第28课离散性随机变量与概率分布

2022年高考一轮复习指导第十章概率与统计第28课离散性随机变量与概率分布■陕西省宝鸡市金台高中晁群彦一.考点解析及考纲要求【考点解析】本节课主要考点有：离散型随机变量的概率分布、超几何分布、二项分布、离散型随机变量的均值与方差以及正态分布.其中离散型随机变量的概率分布及其均值与方差是热点，常考考点.【考纲要求】（1）了解有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列刻画随机现象的重要性，会求某些取有限个值的离散型随机变量的分布列.了解超几何分布，并能进行简单的应用.了解条件概率的概念，了解两个事件相互独立的概念；理解次独立重复试验及二项分布，并能解决一些简单问题.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差，并能利用离散型随机变量的均值与方差结局简单问题.借助直观直方图认识正太分布曲线的特点及曲线所表示的意义.二.复习小节【知识点梳理】离散型随机变量及其分布列随机试验中每一个结果如果能够用数一一列举出来，就把这样的变量叫做离散型随机变量.如果随机变量X满足下表：…………把上表称为离散型随机变量X的概率分布，简称分布列，并具有性质：（1）（2）超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取件，其中恰有X件是次品的概率为则称分布列X01……kP……离散型随机变量的均值与方差1.离散型随机变量的均值与方差（1）均值（2）方差2.均值与方差的性质（1）（2）3.二项分布的均值与方差如果那么正态分布1.正态分布的定义及表示若对任何实数随机变量X满足则称随机变量X服从正态分布.记作2.正态曲线在x轴的上方，关于直线对称并且呈现出中间高两头低的态势.【复习指导】学习本节课1.要理解并把握离散型随机变量可能的取值；2.弄清楚随机变量取值时的概率服从那一种类型或服从那一个概率分布，从而正确的算出其概率；3.会用公式和定义求出均值和方差.三.2022年高考考察情况1.考查事件的概率、期望、方差及其应用例1.（1）（2022山东理18）红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘，已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为,,，假设各盘比赛结果相互独立。（Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；（Ⅱ）用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列和数学期望.解：（I）设甲胜A的事件为D，乙胜B的事件为E，丙胜C的事件为F，则分别表示甲不胜A、乙不胜B，丙不胜C的事件。因为所以红队至少两人获胜的概率为（II）由题意知可能的取值为0，1，2，3。又由（I）知是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，所以的分布列为：0123P0．10．350．40．15因此（2）（2022辽宁理19）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙．（I）假设n=4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数学期望；（II）试验时每大块地分成8小块，即n=8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：品种甲403397390404388400412406品种乙419403412418408423400413分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？附：样本数据的的样本方差，其中为样本平均数．解：（I）X可能的取值为0，1，2，3，4，X的分布列为X的数学期望为（II）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙.【命题分析】第（1）以运动比赛为背景，考查事件的概率及其分布列、期望与方差；第（2）以农业生产为依托考查随机变量的分布列、期望、方差，并利用方差进一步选择.2.深入实际考查分布列期望的应用、用样本频率分布估计总体分布求期望、考查数学能力和生活常识.例3.（1）（2022福建理19）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，……，8，其中X≥5为标准A，X≥为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准（I）已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：5678P0．4ab0．1且X1的数字期望EX1=6，求a，b的值；（II）为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：353385563463475348538343447567用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望．（III）在（I）、（II）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．注：（1）产品的“性价比”=；（2）“性价比”大的产品更具可购买性．解：本小题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查函数与方程思想、必然与或然思想、分类与整合思想，满分13分。解：（I）因为又由X1的概率分布列得由（II）由已知得，样本的频率分布表如下：3456780．30．20．20．10．10．1用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的概率分布列如下：345678P0．30．20．20．10．10．1所以即乙厂产品的等级系数的数学期望等于.（III）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：因为甲厂产品的等级系数的期望数学等于6，价格为6元/件，所以其性价比为因为乙厂产吕的等级系数的期望等于，价格为4元/件，所以其性价比为据此，乙厂的产品更具可购买性。（2）（2022陕西理20）如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：时间（分钟）10~2020~3030~4040~5050~60L1的频率0．10．20．30．20．2L2的频率00．10．40．40．1现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站。（Ⅰ）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？（Ⅱ）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（Ⅰ）的选择方案，求X的分布列和数学期望。解（Ⅰ）Ai表示事件“甲选择路径Li时，40分钟内赶到火车站”，Bi表示事件“乙选择路径Li时，50分钟内赶到火车站”，i=1,2．用频率估计相应的概率可得P（A1）=0．1+0．2+0．3=0．6，P（A2）=0．1+0．4=0．5，P（A1）＞P（A2）,甲应选择L1P（B1）=0．1+0．2+0．3+0．2=0．8，P（B2）=0．1+0．4+0．4=0．9，P（B2）＞P（B1）,乙应选择L2．（Ⅱ）A,B分别表示针对（Ⅰ）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由（Ⅰ）知,又由题意知，A,B独立，的分布列为X012P0．040．420．54【命题分析】第（1）以工业生产为背景考查离散型随机变量概率分布的应用、用频率估计概率考查期望与分布列、用性价比考查应用能力.第(2)以人们出行搭车为背景，用频率估计概率考查能力、分布列以及期望.3.以核电事业为背景考查期望与方差的同时考查数学思想、数学能力.例3,（2022安徽理20）工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别，假设互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.（Ⅰ）如果按甲最先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率。若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？（Ⅱ）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为，其中是的一个排列，求所需派出人员数目的分布列和均值（数字期望）；（Ⅲ）假定，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小。 解：（I）无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是，所以任务能被完成的概率与三个被派出的先后顺序无关，并等于 （II）当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为时，随机变量X的分布列为 X123P 所需派出的人员数目的均值（数学期望）EX是 （III）（方法一）由（II）的结论知，当以甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时， 根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值. （i）可将（II）中所求的EX改写为若交换前两人的派出顺序，则变为.由此可见，当时，交换前两人的派出顺序可减小均值. （ii）也可将（II）中所求的EX改写为，或交换后两人的派出顺序，则变为.由此可见，若保持第一个派出的人选不变，当时，交换后两人的派出顺序也可减小均值. 综合（i）（ii）可知，当时，EX达到最小.即完成任务概率大的人优先派出，可减小所需派出人员数目的均值，这一结论是合乎常理的.【命题分析】本题考查相互独立事件的概率计算，考查离散型随机变量及其分布列、均值等基本知识，考查在复杂情境下处理问题的能力以及抽