人教课标实验版八年级　上册第十五章　整式的乘除与因式分解1 因式分解公开课

提公因式法一、教学目标知识目标1．使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念及其与整式乘法的区别和联系．2．使学生理解提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式．能力目标3．树立学生“化零为整”的“化归”的数学思想，培养学生完整地、辩证地看问题的思想．4．树立学生全面分析问题、认识问题的思想，提高学生的观察能力、分析问题及逆向思想的能力．情感目标5．通过本节的学习使学生初步感到因式分解在简化计算和解方程中将会有较大的作用，从而激发学生探究新知识的兴趣与热情．6．通过提公因式法可以将多项式的形式化简或进行简便计算从而达到变形的美，促进创造力的发展。二、教学重点及难点1．教学重点：因式分解的概念及提公因式法．2．教学难点：正确找出多项式各项的公因式及分解因式与整式乘法的区别和联系．三、教学方法理论与实例相结合．四、教学手段设问式、启发式．五、教学媒体投影片六、课时安排3课时七、教学设计思路1．利用类比的办法引入课题，师生问答共同进行．2．利用举例强化因式分解、公因式概念的训练．3．通过举例训练如何正确提取公因式，以免漏提、缺项是否变号等问题．第一课时一、教学过程(一)复习提问1．乘法对加法的分配律．2．添括号法则．(二)新课1．新课引入：用类比的方法引入课题．在学习分数时，我们常常要进行约分与通分，因此常常要把一个数分解因数(即分解约数)．例如，把15分解成3×5，把42分解成2×3×7．在代数里学习分式的时候，也常常要进行约分、通分，因此要常常把一个多项式化成几个整式的乘积．在中学里一元高次(二次以上)方程的求解正是根据在实数域上，实系数多项式总可以分解为一次或二次不可约多项式的乘积，那么相应的一元高次方程可以化为一次或二次方程求解．又如一元高次不等式的解法，也是基于一次、二次不等式的解法．将高次不等式化为一、二次不等式组解．因此从知识内容看，把一个多项式恒等变形成几个因式乘积是十分重要的．这一章就是学习如何把一个多项式化成几个整式的积的方法．2．因式分解的概念：请学生每人写出一个单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘的例子，并计算出其结果．(老师按学生所说在黑板写出几个．)如：m(a+b+c)＝ma+mb+mc2xy(x-2xy+1)=2x2y-4x2y2+2xy(a+b)(a-b)＝a2-b2(a+b)(m+n)＝am+an+bm+bn(x-5)(2-x)＝-x2+7x-10等等．再请学生观察它们有什么共同的特点？特点：左边，整式×整式；右边，是多项式．可见，整式乘以整式结果是多项式，而多项式也可以变形为相应的整式与整式的乘积，我们就把这种多项式的变形叫做因式分解．定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．如：因式分解：ma+mb+mc＝m(a+b+c)．整式乘法：m(a+b+c)＝ma+mb+mc．让学生说出因式分解与整式乘法的联系与区别．联系：同样是由几个相同的整式组成的等式．区别：这几个相同的整式所在的位置不同，上式是因式分解；下式是整式乘法．两者是方向相反的恒等变形．因式分解的特征是和差化积的形式，乘法的特征是积化和差的形式．例1

下列各式从左到右哪些是因式分解？(1)x2-x＝x(x-1)

(√)(2)a(a-b)＝a2-ab

(×)(3)(a+3)(a-3)＝a2-9

(×)(4)a2-2a+1＝a(a-2)+1

(×)(5)x2-4x+4＝(x-2)2

(√)下面我们学习几种常见的因式分解方法．3．提公因式法：我们看多项式：ma+mb+mc请学生指出它的特点：各项都含有一个公共的因式m，这时我们把因式m叫做这个多项式各项的公因式．注意：公因式是各项都含有的公共的因式．又如：a是多项式a2-a各项的公因式．ab是多项式5a2b-ab2各项的公因式．2mn是多项式4m2np-2mn2根据乘法的分配律，可得m(a+b+c)＝ma+mb+mc，逆变形，便得到多项式ma+mb+mc的因式分解形式ma+mb+mc＝m(a+b+c)．这说明，多项式ma+mb+mc各项都含有的公因式可以提到括号外面，将多项式ma+mb+mc写成m(a+b+c)的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．显然，由定义可知，提公因式法的关键是如何正确地寻找公因式．让学生观察上面的公因式的特点，找出确定公因式的万法：(1)公因式的系数应取各项系数的最大公约数：(2)字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取次数例2指出下列各多项式中各项的公因式：(1)ax+ay+a

(a)(2)3mx-6mx2

(3mx)(3)4a2+10ah

(2a)(4)x2y+xy2

(xy)(5)12xyz-9x2y2

(3xy)例3

把8a3b2-12ab3c分析：分两步：第一步，找出公因式；第二步，提公因式．先引导学生按确定公因式的方法找出多项式的公因式4ab2．解：8a3b2-12ab3c=4ab2·2a2-4ab2·=4ab2(2a2-3bc)．说明：(1)应特别强调确定公因式的两个条件以免漏取．(2)开始讲提公因式法时，最好把公因式单独写出．①以显提醒；③强调提公因式；③强调因式分解．例4

把3x2-6xy+x分解因式．分析：先引导学生找出公因式x，强调多项式中x=x·1．解：3x2-6xy+x=x·3x-x·6y+x·1＝x(3x-6y+1)．说明：当多项式的某一项恰好是公因式时，这项应看成它与1的乘积，提公因式后剩下的应是1，1作为项的系数通常可以省略，但如果单独成一项时，它在因式分解时不能漏掉，这类题常常有些学生犯下面的错误，3x2-6xy+x=x(3x-6y)，这一点可让学生利用恒等变形分析错误原因．还应提醒学生注意：提公因式后的因式的项数应与原多项式的项数一样，这样可以检查是否漏项．课堂练习：把下列各式分解因式：(l)2πR+2πr；(3)3x3+6x2；(4)21a2+7a；(5)15a2+25ab2；(6)x2y+xy2-xy．例5

把-4m3+16m分析：此多项式第一项的系数是负数，与前面两例不同，应先把它转化为前面的情形便可以因式分解了，所以应先提负号转化，然后再提公因式，提“-”号时，注意添括号法则．解：-4m3+＝-(4m3-16m2＝-2m(2m2说明：通过此例可以看出应用提公因式法分解因式时，应先观察第一项系数的正负，负号时，运用添括号法则提出负号，此时一定要把每一项都变号；然后再提公因式．课堂练习：把下列各式分解因式：(1)-15ax-20a；(2)-25x8+125x16；(3)-a3b2+a2b3；(4)-x3y3-x2y2-xy；(5)-3ma3+6ma2-12ma；(三)小结1．因式分解的意义及其概念．2．因式分解与整式乘法的联系与区别．3．公因式及提公因式法．4．提公因式法因式分解中应注意的问题．二、作业课本p196练习三、板书设计第二课时一、教学过程(一)复习提问1．什么是因式分解？它与整式乘法有何联系？2．什么是多项式的公因式？如何确定公因式？怎样的方法叫做提公因式法？3．提公因式法因式分解应注意哪些问题？4．代数式中的字母表示什么？(二)新课1．引入及教学内容：我们知道对于式子ma+mb+mc中的m来讲，根据代数式中字母的意义，m不仅可以代表一个数，而且还可以表示一个式子：单项式或多项式．让学生观察下面的多项式并指出每个多项式的特点及这类多项式的共同之处，同时说明与多项式ma+mb+mc的联系．(1)2a(x+y)+3b(x+y)；(2)x(a+b+1)-2y(a+b+l)；(3)7g(P-g)-2P(P-g)；(4)a(x-y)-b(x-y)-c(x-y)．(由学生总结出)每个多项式中的每一项都有一个相同多项式因式，即公因式是多项式．当我们把这“多项式”看成整体m时，就可以按ma+mb+mc进行因式分解．例1

把2a(b+c)-3(b+c)分解因式．分析：先引导学生把各项中都有的(b+c)看成m，则原式可转化为2am-3m的形式，因为m是2am和-3m的公因式，所以(b+c)是原式各项的公因式．解：2a(b+c)-3(b+c)说明：分解因式之前应审清多项式中每项中的“字母”，并注意引入换元思想．课堂练习：把下列各式分解因式：(1)a(x-y)+b(x-y)-(x-y)；(2)6(x+y)-12z(x+y)；(3)(2x+1)y2+(2x+1)2y；(4)p(a2+b2)+q(a2+b2)-l(a2+b2)．例2

把6(x-2)+x(2-x)分解因式．分析：先指出多项式各项中没有明显的公因式，让学生看清这个多项式与上题中的多项式有何不同，使学生发现(x-2)与(2-x)的不同，然后再引导学生发现：2-x与x-2只是符号不同，即2-x＝-(x-2)，原多项式可变形为6(x-2)-x(x-2)，转化为例6情况，可以用提公因式法分解因式．解：6(x-2)+x(2-x)＝6(x-2)-x(x-2)=(x-2)(6-x)．说明：有时原多项式中各大项无明显的公因式，但某些因式经改变符号或交换因式中某些项的位置后成为因式，应提醒学生注意观察发现．课堂练习：把下列各式分解因式：(1)m(a-b)-n(b-a)；(2)2a(x+y-z)-3b(x+y-z)+5c(z-x-y)；(3)m(m-n)2-n(n-m)2；(4)2(x-y)(a-2b+3c)-3(x+y)(2b-a-3c)．例3

先因式分解，再求值．7a(b+2)+3a(b+2)，其中a＝2，b＝-1．解：原式=a(b+2)(7+3)＝10a(b+2)．当a=2，b=-1时，原式=10×2×(-1+2)＝20．说明：这类问题先因式分解，再求值，比较容易计算．(这一点通过练习使学生体会出来．)课堂练习：把下列各式先因式分解，再求值：(1)4a2(x+7)-3a2(x+7)，其中a＝-5，x＝3．(2)5x(m-2)+4x(2-m)，其中x=，m＝．(3)x(a+b-3c)-(3c-a-b)，其中x=-1，a＝296，b=-307，c＝2022．(三)小结1．公因式可以是单项式，也可是多项式．2．注意多项式中含有不明显公因式(a-b)和(b-a)时，要先把多项式变形，再提公因式．一个多项式作不同的变形，可能得到不同的公因式，但它们仅仅是符号的差别而已．3．提公因式法的应用．二、作业1．把下列各式分解因式：(1)x(a+b)-y(a+b)；(2)5x(x-y)+2y(x-y)；(3)6q(p+q)-4p(p+q)；(4)(m+n)(p+q)-(m+n)(p-q)；(5)p(x-y)-q(y-x)；(6)m(a-3)+2(3-a)；(7)(a+b)(a-b)+(b+a)；(8)a(x-a)+b(a-x)-c(x-a)．2．利用因式分解计算：(1)21×+62×+17×；(2)×已知公式V＝IR1+IR2+IR3，当R1=，R2＝，R3＝，I＝时，利用因式分解求V的值．4．已知a-b-c＝5，求a(a-b-c)+b(c-a+b)+c(b+c-a)的值．三、板书设计第三课时

一、教学过程(一)复习提问1．运用提公因式法分解式应注意哪些问题？2．a-b与b-a有何关系？3．把多项式x(x-y)2-y(x-y)分解因式．(二)新课1．引入：我们知道代数式里的字母可以表示一个数、一个单项式，也可表示一个多项式．而它们又可以是一个数的乘方、一个单项式的乘方及一个多项式的乘方．请学生观察下面的多项式．(1)x(a+b)+y(a+b)；(2)(m+n)2+P(m+n)；(3)(y-x)3-y(y-x)2．这三个多项式有何区别？(让学生讨论说明，以开阔学生的思路，把学生的各种想法引导到提公因式法因式分解上来，主要说明公因式形式上有何不同．)总结出：公因式可以是一个多项式，如(1)(2)中的(a+b)·(m+n)，也可以是一个多项式的乘方，如(3)中(y-x)2．下面我们学习公因式是多项式乘方的这类多项式的因式分解．2．新课：首先看例子．例1

把18b(a-b)2-12(a-b)3分解因式．分析：引导学生观察多项式各项式的公因式为6(a-b)2．解：18b(a-b)2-12(a-b)3＝6(a-b)2·3b-6(a-b)2·2(a-b)＝6(a-b)2[3b-2(a-b)]＝6(a-b)2(3b-2a+2b)＝6(a-b)2(5b-2a)．说明：提公因式分解因式后，每个因式中需要合并同类项，化为最简形式，每个因式要求只能含有一层括号．练习：把下列各式因式分解：(1)b(a-b)2-(a-b)3；(2)2x(x+y)3+(x+y)4；(3)a2(x-y)2+2a(x-y)3．例2

把(3a+b)(3a-b)3-(a+5b)(b-3a)3分解因式．分析：∵(b-3a)3＝[-(3a-b)]3＝-(3a-b)3，解：(3a+b)(3a-b)3-(a+5b)(b-3a)3=(3a+b)(3a-b)3+(a+5b)(3a-b)3=(3a-b)3[(3a+b)+(a+5b)]=(3a-b)3(4a+6b)＝2(3a-b)3(2a+3b)．说明：应注意因式的变形和因式分解的结果应满足的条件．例3

把5(x-y)3+10(y-x)2分解因式．分析：让学生说出5(x-y)3与10(y-x)2的公因式；因为(y-x)2＝[-(x-y)]2＝(x-y)2，所以公因式为5(x-y)2．解：5(x-y)3+10(y-x)2=5(x-y)3+10(x-y)2=5(x-y)2[(x-y)+2]＝5(x-y)2(x-y+2)．说明：此题也可让学生把x-y变形为y-x，比较两种方法的结果有何不同，t(x-y)3+10(y-x)2＝5［-(y-x)]3+10(y-x)2=-5(y-x)3+10(y-x)2＝[5(y-x)3-10(y-x