苏科版九年级上 一元二次方程单元复习（区一等奖）

1．2元二次方程的解法（5）教学目标：1．能用b2－4ac的值判别一元二次方程根的情况2．用公式法解一元二次方程的过程中，进一步理解代数式b2－4ac对根的情况的判断作用3．在理解根的判别式的过程中，体会严密的思维过程教学重点．难点：一元二次方程的根的情况与系数的关系；由一元二次方程的根的情况求方程中字母系数的取值教学过程 一、温故知新：1．一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）当时，X1,2=2．运用公式法解下例方程：（1）x2-4x+4=0（2）2x2-3x-4=0(3)x2+3x+5=0二、情境引入：1．引导学生思考：不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？⑴x2＋2x－8=0⑵x2=4x－4⑶x2－3x=－32．思考：一元二次方程根的情况与一元二次方程中二次项系数．一次项系数及常数项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情况呢？三、自主探索：1．尝试：不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？⑴x2＋2x－8=0⑵x2=4x－4⑶x2－3x=－3（答案：（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根）问题：你能得出什么结论？可以发现b2－4ac它的符号决定着方程的解。2．概括总结．由此可以发现一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的根的情况可由b2－4ac来判定：当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根当b2－4ac＜0时，方程没有实数根我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的根的判别式。若已知一个一元二次方程的根的情况，是否能得到判别式的值的符号呢？当一元二次方程有两个不相等的实数根时，b2－4ac＞0当一元二次方程有两个相等的实数根时，b2－4ac=0当一元二次方程没有实数根时，b2－4ac＜0四．例题讲解：例1．不解方程，判断下列方程根的情况：（1）；（2）；（3） （4）x2-2mx+4（m-1）=0分析：先将方程化为ax2＋bx＋c=0（a≠0）的形式，根的情况可由b2－4ac来判定：当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b2－4ac＜0时，方程没有实数根。注意字母系数（4）.例2。m为任意实数，试说明关于x的方程x2-（m-1）x-3（m+3）=0恒有两个不相等的实数根。分析：先计算b2－4ac，再判断当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根。例3．m为何值时，关于x的一元二次方程2x2-（4m+1）x+2m2-1=0：（1）有两个不相等的实数根？（2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？分析：由方程的根的情况也可以得知b2-4ac的符号，进而得出方程中未知字母的取值情况。五、课堂反馈：1．不解方程，判断方程根的情况：（1）x2+3x-1=0;(2)x2-6x+9=0;(3)2y2-3y+4=0；(4)x2+5=x2．k取什么值时，方程x2-kx+4=0有两个相等的实数根？求这时方程的根。3．已知a．b．c分别是三角形的三边，则关于x的一元二次方程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的情况是（）A．没有实数根B．可能有且仅有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根。六、课堂小结：一元二次方程的根的情况与系数的关系？b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式。利用根的判别式可以在不解方程的情况下判断一元二次方程的根的情况；反过来由方程的根的情况也可以得知b2-4ac的符号，进而得出方程中未知字母的取值情况。【课后作业】：【板书设计】【教学反思】1．2一元二次方程的解法（6）教学目标：1．了解因式分解法的解题步骤；2．能用因式分解法解一元二次方程；体会“降次”化归的思想方法。3．能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性；教学重点．难点：应用因式分解法解一元二次方程；选择适当的方法解一元二次方程。教学过程一．温故知新：1．我们已经学习了一元二次方程的哪些解法？2．解下列一元二次方程：（1）（2）（3）（4）二、情境引入：1．式子ab=0说明了什么？2．把下列各式因式分解．（1）x2－x（2）x2－4x（3）x＋3－x（x＋3）（4）（2x－1）2－x2三、自主探索：1．尝试：若在上面的多项式后面添上=0，你怎样来解这些方程？（1）x2－x=0（2）x2－4x=0（3）x＋3－x（x＋3）=0（4）（2x－1）2－x2=02．概括总结：你能用几种方法解方程x2－x=0？本题既可以用配方法解，也可以用公式法来解，但由于公式法比配方法简单，一般选用公式法来解。还有其他方法可以解吗？另解：x2-x＝0，x(x-1)＝0，于是x＝0或x-3＝0．∴x1=0，x2=3这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法可见，能用因式分解法解的一元二次方程须满足什么样的条件？方程的一边为0（2）另一边能分解成两个一次因式的积四、典型例题：例1．用因式分解法解下列方程： （1）=-4x； （2）x+4-x（x+34）=0（3）9x2+6x+1=0（4）x2-6x-16=0例2．用因式分解法解方程：（1）（2x－1）2－4x2=0 （2）（2x-5）2-2x+5=0分析：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）通过移项把一元二次方程右边化为0（2）将方程左边分解为两个一次因式的积（3）令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解例3．用适当方法解下列方程（1）4（2x-1）2-9（x+4）2=0（2）x2-4x-5=0(3)(x-1)2=3(4)x2-2x=4分析：首选因式分解法和直接开平方，其次选公式法，最后选配方法观察与思考：小明解方程时，在方程两边都除已（x+2），得x+2=4，于是解得x=2。小明的解法正确吗？为什么？五、课堂反馈：1．用因式分解法解下列方程：（1）（x+2）（x-1）=0； （2）（2y+1）（y-3）=0； （3）-3x=0；（4）3=x； （5）2（x-1）+x（x-1）=0； （6）4x（2x-1）=3（2x-1）2．用因式分解法解下列方程：（1）-9=0； （2）3．已知一个数的平方等于这个数的5倍，求这个数。六、归纳总结：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）通过移项把一元二次方程右边化为0（2）将方程左边分解为两个一次因式的积（3）令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解解一元二次方程有哪几种方法?如何选用？【课后作业】：【板书设计】【教学反思】补充：4．2一元二次方程的解法（7）十字相乘法【教学目标】能利用十字相乘法解一元二次方程【教学重点．难点】用十字相乘法解一元二次方程【教学过程】【温故知新】1．计算：(1)=，(2)=。(3)=，(4)=。观察与发现：多项式的乘法中,有。反过来可得：【新知导学】上面（*）式的左边是二次三项式,右边是两个一次二项式相乘,这个过程将和的形式转化成积的形式,也就是对多项式进行因式分解。(Ⅰ)若多项式的常数项可以分成两个因数的积，即，而（一次系数）那么可分解为，这个过程可以通过下面的十字交叉图体现:例如：x2+4x+3x2+4x+3=（x+1）(x+3)这种利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。如何分解2x2-7x+3呢？【例题教学】*例1将下列各式用十字相乘法进行因式分解：(1)x2－7x+12；(2)x2－11x－12；**例2．用十字相乘法把下列各式因式分解：（1）2x2-7x+3（2）6x2-7x-5例3．用因式分解法解下列方程：*（1）**（2）(x－1)(x+2)=10*（3）-2y2+5y-2=0【课堂检测】*1．把下列各式分解因式（填空）：⑴⑵⑶⑷*2．若取任何实数时都有，则．*3解方程*（1）x（x+5）=24*（2）13x-6x2+5=0小结【课后作业】：【板书设计】【教学反思】1．3一元二次方程的根与系数的关系教学目标：1．一元二次方程根与系数的关系，并能进行简单的应用；2．与系数关系的探索，提高代数推理的能力与意识．教学重点：解一元二次方程根与系数的关系，并能进行简单的应用．教学难点：能通过对根与系数关系的探索，提高代数推理的能力与意识．教学过程 探索发现观察下表，你能发现下列一元二次方程的根与系数有什么关系吗？x1x212－1－223－2－303 解释规律你能解释刚才的发现吗？一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），如果b2－4ac≥0，它的两个根分别是x1．x2． ．．总结发现一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），如果b2－4ac≥0，它的两个根分别是x1．x2．，． 师生共同完成．例题精讲例求下列方程两根的和与两根的积：（1）x2＋2x－5＝0；（2）2x2＋x＝1．需要解方程吗？ 师生共同完成． 引导学生直接用公式求解．尝试与交流小明在一本课外读物中读到如下一段文字：“一元二次方程x2－x＝0的两根是和”，你能写出这个方程中被墨迹污染的一次项系数和常数项吗？ 师生共同完成． 通过这个环节的教学，使学生更熟练地用根与系数的关系解决问题．达标练习课本练习P23练习1．2． 学生课内完成． 通过练习，熟练根与系数的关系的应用．总结1．一元二次方程根与系数的关系是什么？2．应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把方程化成一般形式；3．应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即当且仅当b2－4ac≥0时，才能应用根与系数的关系．【课后作业】：【板书设计】【教学反思】 1．4用一元二次方程解决问题（1）教学目标经历和体验用一元二次方程解决实际问题的过程，进一步体会一元二次方程是刻画现实世界数量关系的有效模型；会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，培养学生的数学应用能力；能检验所得的问题的结果是否符合实际意义，进一步提高学生逻辑思维能力．分析和解决问题的能力．教学重点分析和解决问题．教学难点 根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程．教学过程 回顾解应用题的一般步骤． 第一步：设未知数（单位名称）；第二步：列出方程；第三步：解这个方程，求出未知数的值；第四步：验(1)值是否符合实际意义；(2)值是否使所列方程左右相等．第五步：答题完整（单位名称）．问题1：用一根长22cm的铁丝：(1)能否围成面积是30cm2的矩形？(2)能否围成面积是32cm2的矩形？ 解：设这根铁丝围成的矩形的长是xcm，则矩形的宽是（11－x）cm．(1)根据题意，得。即．解这个方程，得，．当时，；当时，；答：用一根长22cm的铁丝能围成面积是30cm2的矩形。(2)根据题意，得。即x2－11x＋32＝0．因为。所以此方程没有实数解．答：用一根长22cm的铁丝不能围成面积是32cm2的矩形．问题2：某商店6月份的利润是2500元，要使8月份的利润达到3600元，平均每月增长的百分率是多少？ 分析：如果设平均每个月增长