1等腰三角形创新题举例

等腰三角形创新题举例兴化高俊元近年来中考试题中出现了不少于等腰三角形有关的创新题，这类题不仅有效考查了学生的动手操作能力，而且可以培养学生的综合运用知识解决问题的能力和创新意识，体现了新课标的要求，现将这类题加以归类，供同学们欣赏．图136图1360AC360B36036036072010801080720例1.已知，如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，仿照图（1），请你再设计两种不同的分法，将△ABC分割成3个三角形，使得每个三角形都是等腰三角形，（图（2）、图（3）供画图用，作图工具不限，不要求写出画法，不要求证明；要求标出所分得的每个等腰三角形三个内角的度数）思路1：由于该三角形底角是顶角的两倍，因此作底角的角平分线即可分分成两个等腰三角形：一个是顶角为36°的等腰三角形，又可用上述方法分割，得两种分割方案（如图2、3）；另一个是顶角为108°的等腰三角形，可将顶角分成36°和72°，有两种分法（如图4、5）图3图2图5图4说明：这种分法可以将顶角为36°的等腰三角形分成任意个等腰三角形．图3图2图5图4图6思路2：根据“三角形三边垂直平分线相交于一点，且这点到三个顶点距离相等”这一性质，可作出任意两边的垂直平分线，设交点为Ｏ，连接OA、OB、CO（如图6）图6说明：这种方法可以将任意三角形分成三个等腰三角形．评注：这是一道有代表性的操作题，旨在考查学生的综合运用所学知识解决问题的能力．，请读者思考你能用几种不同的方法把该三角形分成四个等腰三角形吗？二、寻找等腰三角形．图7例2.如图7，在四个正方形拼接成的图形中，以这十个点中任意三点为顶点，共能组成___________个等腰直角三角形．你愿意把得到上述结论的探究方法与他交流吗？若愿意，请在下方简要写出你的探究过程．图7分析：在解题时，若不注意题目中的关键词：“在……图形中”，很容易错误地把以下6个三角形也计算在内：△、、、、、，即得到错解：30，所以审清题意是解题的第一关键步骤．再接下来利用轴对称图形的对称性，可使“工作量”减少了一半，其中，以A3为直角顶点的4个等腰直角三角形分别是、、、；以为直角顶点的5个等腰直角三角形分别是、、、、．解：以为直角顶点有个等腰直角三角形，再据轴对称性质，知在整个图形中共可组成个等腰直角三角形．评注：计数问题一般采用分类的方法，但要注意分类十，必须满足“不重复，不遗漏”的原则．本题也可按斜边的三种长度，2，来分类计数，请读者思考．三、构造格阵中的等腰三角形例3、在下面网格中，每个小正方形的边长均为1，请你画出以格点为顶点，面积为10个平方单位的等腰三角形，在给出的网格中画出两个符合条件且不全等的三角形(所画的两个三角形若全等视为1个).分析：根据面积公式，结合网格的特殊性质，可知符合条件的三角形有①底边为10，高为2；②底边为2，高为10；③底边为4，高为5；④底边为20，高为1等等（如图8）图8图8评注：本题依托格点画面积一定的等腰三角形，有较强的开放性，可以很好地展示考生的思维过程和思维个性．这里提供了几种边长为整数的等腰三角形，等学习了后面的知识后，我们还能画出更多的符合条件的三角形四、组合等腰三角形例4.在平面上有且只有四个点，这四个点有一个独特的性质：每两点之间的距离有且只有两种长度．例如：正方形ABCD（如图9），有AB=BC=CD=DA≠AC=BD．请画出具有这种独特性质的另外四种不同的图形，并标明相等的线段．分析：根据题意，显然4点中不存在3点在同一条直线上的情况，则连接平面上不同位置的线段有6条，不妨设可取的两个距离为a、b，且a＜b，其长度有以下几种情况：（1）5条为a，1条为b；如图10，AB=BC=CD=DA=BD≠AC（2）4条为a，2条为b；（如图11，OA=OB=OC=BC，AB=AC（3）3条为a，3条为b；如图12，AB=AD=DC，BC=BD=AC，如图13，AB=BC=CA，OA=OB=OC（4）2条为a，4条为b；（如图14，AB=AC=AD=BD，BC=CD（5）1条为a，5条为b；（这种情况不存在）图10图10图9图11图9图11图13图12图13图12图14图14评注：解答这类问题关键是恰当地分类，联系已学过的图形加以思考．五、利用等腰三角形设计图案例5.请用1个等腰三角形，2个矩形，3个圆，在下面的方框内设计一个轴对称图形，并用简炼的文字说明你的创意．图15分析：可以先用指定的图形任意画，然后再结合自己的生活实际赋予的意义，答案不唯一（如图15）．图15点评：这是一道考查学生图案设计能力和空间想象能力的趣味数学试题，也是一道考查学生语言创作的语文试题，只有图案精美，解说词巧妙的组合，才能称