高一数学函数解析式表示方法考点解析辅导练习

函数—函数的解析式与表示方法

高考要求：

1.由所给函数表达式正确求出函数的定义域；

2.掌握求函数值域的几种常用方法；

3.能根据函数所具有的某些性质或它所满足的•些关系，求出它的解析式；

4.会进行函数三种表示方法的互化，培养学生思维的严密性、多样性.

知识点归纳：

1.函数的三种表示法

(1)解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的

解析表达式，简称解析式.

(2)列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系.

(3)图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系.

2.求函数解析式的题型有：

(1)已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；

(2)已知/(x)求/因(刈或已知求/")：换元法、配凑法；

(3)已知函数图像，求函数解析式；

(4)/(x)满足某个等式，这个等式除了(x)外还有其他未知量，需构造另个等式解方程组

法；

(5)应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等.

题型讲解：

例1(1)已知/(X+L)=/+二，求/(X)；

XX

2

(2)已知/(—+1)=Igx,求/(x)；

X

(3)已知/(X)是一次函数，且满足3/(x+l)—2/(x—l)=2x+17,求/(%)；

(4)已知/(X)满足2/(%)+/(-)=3x,求/(x).

X

解：(1)*•*f(X4)=X3H=(XH_3(XH)f

XXXX

*e*f(x)=x3-3x(xN2或x<-2).

2

(2)令一+1=Z

x

222

则X=—;，，/(/)=lg-;，・・・/(x)=lg—r(x>l).

/-It-lx-\

(3)设/(x)=ax4-b(a*0)，

则3/(x+l)-2/(l)=3Qx+3a+36-2Qx+2a-26

=Q+6+5(7=2X+17,

・'・a=2,6=7,f(<x)=2x+7.

(4)2/(x)+/(-)=3x①，

X

113

把①中的x换成一，得2/(—)+/(x)=2②，

XXX

31

①x2—②得3/(x)=6x——,/(x)=2x——.

XX

注：第(1)题用配凑法；第(2)题用换元法；第(3)题已知•次函数，可用待定系数法;

第(4)题用方程组法.

例2已知函数/(x)=的定义域是R,则实数。的取值范围是

ax+ax-3

A.6f>—B.—12VoWOC.-12VaVOD.aW,

33

fawO,八

解：由a=0或4可得一12VaW0.

J=a2-4〃x(-3)<0,

答案：B

例3在△ABC中，BC=2,W=3,中线4。的长为乃43的长为羽建立y与x的

函数关系式，并指出其定义域.

解：设N4QC=0,则/4。5=n一0.

根据余弦定理得

l2+j^2—2^cose=(3—x)\①

l2+y2—2^cos(n—。)=x.②

由①+②整理得、=卜—3x+g.

x>0,

其中,x+2>3-x,解得‘VxV』.

22

(3-x)+2>x,

.••函数的定义域为(1,-).

22

评述：函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围，同时也要注意变量的实际意

义的要求.

例4若函数f(x)=竿出的值域为[-L5],求实数人c.

X+C

解：由y=f(x)="；+1,得^y—ax+cy—1=0.

x+c

当y=0时，ax=-1,aW0.

当y#0时，VxGR,/.zl=a2—4y(cy—1)20.

・・・4少2-4y-q2w()

・・・一l9yW5,・・・一1、5是方程牝产一切一下力的两根.

1(r

_=4,Q=±,5,

・c.

・・j2・・j1

a_c=—.

------=-5.4

4ci

评述：求/(x)="2*；+々.+。2(q/+q22r0)的值域时，常利用函数的定义域非空

a}x+b}x+C]

这一隐含的条件，将函数转化为方程，利用420转化为关于函数值的不等式.求解时.，要注

意二次项系数为字母时要讨论.

例5设定义在N上的函数f(x)满足

”+13(〃<2000),

/(〃)试求了(2002)的值.

,,/[/(«-18)](〃>2000),

解：V2002>2000,

.../(2002)=y[/(2002-18)]y"(1984)]=/[1984+13]=^(1997)=1997+13=2010.

r

4-1广

例6设/(X)=,2川—2x+l.已知f(w)=5/2>求/(一机).

Atn_i

解法一：••♦/(/«)=&，...万4-221="①

.4'〃

-2/H=V2-1.

2m+1

--1

4W

:•/(—w)=+2加+1=---------+2m+1

2~w+i

2•——

2,n

l-4,w1一4M4W-1

+2加+1=+2〃?+l=一+2/w+l

4W.2-w+12m+12，“+i

=一(———2m)+1=—(V2—1)+1=2-

Xx

AX_12—2~

解法二：f(x)=------―2x+\=-------------2x+l

2x+,2

2X_2T2"x_2X

令g(x)=1—-2x,则g(—x)=1——2(-x)=-g(x)

2X-2~x

工/(%)=---------2x+l=g(x)+l

*.*f(m)=g(⑼+1=6=>g(m)=V2-1

/.f(-m)=g(-m)+l=-g(w)+l=-5/2+1+1=2-y/2

例7某市有小灵通与全球通两种手机，小灵通手机的月租费为25元，接听电话不收费，

打出电话一次在3min以内收费0.2元，超过3min的部分为每分钟收费0.1元，不足1min

按1min计算(以下同).全球通手机月租费为10元，接听与打出的费用都是每分钟0.2元.

若某人打出与接听次数一样多，每次接听与打出的时间在1min以内、1到2min以内、2

到3min以内、3到4min以内的次数之比为4：3：1：1.问，根据他的通话次数应该选择什

么样的手机才能使费用最省？(注：加到加+1min以内指含加min,而不含加+1min)

解：设小灵通每月的费用为为元，全球通的费用为兆元，分别在1min以内、2min以

内、3min以内、4min以内的通话次数为4x、3x、x,贝ll

乃=25+(4x+3x+x+x)X0.2+0.lx=25+1.9x,

^2=10+2(0.2X4x+0.4X3x+0.6x+0.8x)=10+6.8%.

令yi2y2，即25+1.9x210+6.8x,

解得11^3.06.

4.9

.•.总次数为(4+3+1+1)X2X3.06=55.1.

故当他每月的通话次数小于等于55次时，应选择全球通，大于55次时应选择小灵通.

例8已知扇形的周长为10,求扇形半径r与面积S的函数关系式及此函数的定义域、

值域.

解：设扇形的弧长为/,则六设一2一,

1

:・S=_lr=(5—r)r=—r9+5r.

2

r>0,

由J/>0,得/一〈厂<5.

兀+1

/<2JCr,

,5

.•.S=-/+5r的定义域为(——，5).

兀+1

又S=一/+5r=—(r——)2+——且

24

525

当尸一时，S最—.

24

又S>—52+5X5=0,

.,.S=—/+5匕rG(------,5)的值域为(0,—].

兀+14

小结：

1.求函数的解析式主要有待定系数法和换元法。如果J知函数解析式的构造时，可以用待

定系数法求，如函数为二次函数，可设为y=ax'+bx+cSWO）。

2.根据实际问题求函数表达式，是应用函数知识解决实际问题的基础，在设定或选定变量

去寻求等量关系并求得函数衣达式后，还要注意函数定义域常受到实际问题本身的限制。

练习：

题组一：

1.若/(sinx)=2—cos2x,则/(co&r)等于

A.2-sin2xB.2+sin2xC.2-cos2xD.2+cos2x

1解析:,:f(sinx)=2—(1—2sin2x)=l+2sin2x,

.*./(cosx)=f(sin^-—x)=l+2sin?(y—%)=1+2cos2x=2+cos2x.

答案：D

1-V1-V2

2.已知则的解析式可取为

l+x1+x

xc2x2x—1

A.-------B.--------C.-------D.--------

l+x21+x21+x21+x2

1—Y1一/

解析：令^贝田干,

产+1X2+1

答案：C

3.函数/(x)=|x—1|的图象是

Y_1y>1

解析：转化为分段函数尸,'-'

1-X,X<1.

答案：B

4.函数尸J-x2+X+2的定义域为,值域为.

3

答案：[-1,2]，[0,-]

2

1—x2

5.函数产的值域是

1+X

A.[—1,1]B.(—1,1]C.[—1,1)D.(-1,1)

Vl+x2>l,

2

0<-------W2.J-1VyW1.

1+x2

解法二：由尸上二，得f=上2

1+x21+y

Vx2>0,・・・^^20,

解得一1VyWl.

i+y

解法三：令x=tan夕(—―<6^<—),

22

1-tan20一八

贝(I严---------=cos20

-l+tan26>

-n<2e<n,

，-1VCOS29W1,即一IVyWl.

答案：B

6.如果/"(x)]=2x-l,则一次函数f(x)=.

解析：设/(x)=kx^~b,则/[/(x)]=kf(x)+b=k(kx+b)+b=P/kb^b.

由于该函数与尸2x—l是同一个函数，

必=2且kb+b=—1..••仁士V2.

当心拉时，6=1—企；

当上一枝时，b=l+g.

答案：/(x)=V2x+1—V2或/(x)=—6x+l+6

7.已知/（/-4）=lg3则/（x）的定义域为

x-8

解析:设x2—4=f,则£2—4,X2=4+/.

/4-4X+4

（/）=lg---.（x）=lg----（x》一4）.

/-4t-4

x+4人

」---->0,，口

由卜-4得x>4.

x>-4,

答案：（4,+8）

8.用长为/的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图），若矩形底边长为2x,

求此框架围成的面积y与x的函数关系式，并写出其定义域.

-1"、/—9Y—7TX

解：\'AB=2x,贝ljCD*=nx,AD=--------.

•\y=2x•

2x>0,

由“/—2x—兀x>0，解得0Vx<

9.已知函数/（x）=/?"一2），则/（go-怆3）=；不等式切（x—1）<

(x<2),

10的解集是.

解析：/(lg30-lg3)=f(lgl0)=f(l)=-2,

x-3x>3,

/(x-1)=

-2x<3.

当x23时，x(x-3)<10<=>-2<x<5,故3Wx<5.

当xV3时，-2rV10<=>x>—5,故一5VxV3.

总之xW(—5,5).

答案：一2{x|—5<x<5}

1x>0,

10.定义“符号函数"/函）=sgnx=.0x=0,

—1x<0,

则不等式x+2>（x-2）双皿的解集是.

解析：分类讨论.

答案：（一石，+8）

参考答案：

1.52.3/23.Co4.C5.x+2.

6.f(x)=l/(x2-l)7.18.g(x)=log,(2x+1)o

9.2:(-3):1:4

10.f(x)=19x/20+l(倒k次后剩余酒精为20-x升)

题组二：

1.设f(2*+l)=x,fT(x)是f(x)的反函数，则广乂2