工程力学 教学课件第8章

第8章弯曲

（时间：3次课，6学时）第8章弯曲学习目标：

通过本章的学习，使学生明确弯曲内力正负符号规定，能够熟练应用截面法准确计算梁的横截面上的剪力和弯矩并确定梁的剪力方程和弯矩方程；理解剪力、弯矩与载荷集度之间的微分平衡方程的意义，学会应用平衡微分方程中内力和外载荷之间的关系判断内力图的正确性。第8章弯曲重点和难点：

重点：剪力和弯矩，剪力方程和弯矩方程，剪力图和弯矩图的绘制；横力弯曲时的正应力、纯弯曲时的正应力的计算；挠度和转角的意义；用积分法求弯曲变形。难点：载荷集度、剪力和弯矩的关系；横力弯曲时的正应力的计算；用积分法求弯曲变形。第8章弯曲案例导入：

如图所示工程结构梁，在吊起重物过程中要涉及许多的力学问题。譬如，横梁的弯曲变形不能太大，即刚度要满足要求；横梁在吊运重物过程中不能断裂，即强度要满足要求，然而要满足这些要涉及哪些内容呢？这就是本章要学的主要内容，包括弯曲内力的求取，梁上弯曲应力的分布以及由外载荷引起的梁的变形情况。第8章弯曲第8章案例导入图

8.1弯曲内力8.2弯曲应力8.3弯曲变形8.4习题与练习第8章弯曲8.1弯曲内力8.1.1弯曲的概念8.1.2剪力与弯矩8.1.3剪力方程和弯矩方程·剪力图和弯矩图8.1.4载荷集度、剪力和弯矩间的关系8.1.1弯曲的概念

在工程中经常遇到这样的直杆，在垂直于杆的轴线的横向力所组成的平衡力系(有时还包括力偶)这种外力的作用下，杆的轴线变成弯曲曲线，杆件的这种变形称为弯曲。以弯曲变形为主要变形的杆件称为梁。在工程中，梁是非常常见的一种构件，如跳水运动中的跳板、担东西用的扁担，图8.1(a)所示的单梁吊车，图8.1(b)所示的齿轮传动轴等。

8.1.1弯曲的概念

图8.1

8.1.1弯曲的概念

这些弯曲构件的特点是：它们都可简化为一根直杆，所受的外力都垂直于杆件的轴线，这种外力称为横向力，在横向力作用下，杆的轴线将弯曲成一条曲线。工程实际中常见的梁，其横截面一般全具有一个对称面，如图8.2所示，而且外力都作用在通过轴线和截面对称面的同一纵向对称面内，这时，梁的轴线将弯曲成一条位于纵向对称面的平面曲线，如图8.3所示，这种弯曲称为平面弯曲。平面弯曲是工程中最常见、最基本的弯曲变形，本章主要介绍平面弯曲问题。8.1.1弯曲的概念

图8.2

8.1.1弯曲的概念

图8.3

8.1.1弯曲的概念

在实际中，为了研究弯曲问题常对工程上的结构进行简化，其上作用的外载荷简化为横向力，通过研究作用在梁上横向力可以简化为以下三种类型。(1)均布载荷。分布于单位长度上载荷的集度，如图8.4(a)所示的均布载荷。其通常用来表示，单位为或。(2)集中力。分布在很短一段梁上的横向力可以作为一个作用在梁上一点的集中力，单位为，。如图8.4(b)所示。(3)集中力偶。一个力偶作用在很短的梁上，可以作为一个集中力偶，如图8.4(c)所示。8.1.1弯曲的概念

图8.48.1.2剪力与弯矩

8.1.2剪力与弯矩

图8.6

8.1.2剪力与弯矩

8.1.2剪力与弯矩

图8.7

8.1.3剪力方程和弯矩方程·剪力图和弯矩图

8.1.4载荷集度、剪力和弯矩间的关系

8.1.4载荷集度、剪力和弯矩间的关系

(a)(b)图8.138.1.4载荷集度、剪力和弯矩间的关系

8.1.4载荷集度、剪力和弯矩间的关系

8.1.4载荷集度、剪力和弯矩间的关系

8.2弯曲应力8.2.1纯弯曲及其正应力8.2.2纯弯曲时的正应力8.2.3横力弯曲时的正应力及强度条件8.2.4提高弯曲强度的措施8.2.1纯弯曲及其正应力

作用于梁的纵向对称面内。其计算简图、剪力图和弯矩图分别如图8.15(b)、(c)和(d)中。从图中看出，在AC和DB两段内，梁横截面上既有弯矩又有剪力，因而既有正应力又有切应力，这种情况称为横力弯曲或剪切弯曲。在CD段内，梁横截面上剪力等于零，而弯矩为常量，于是就只有正应力而无切应力，这种情况称为纯弯曲。8.2.1纯弯曲及其正应力

图8.15

8.2.2纯弯曲时的正应力

研究梁横截面上正应力的方法，与推导圆轴扭转时的应力公式一样，也需要考虑变形几何关系、物理关系及静力学关系三个方面。(1)变形几何关系。为了寻求梁弯曲时的变形规律，可通过实验观察弯曲变形时的现象。取一段具有纵对称面的等直梁，在梁的两端加上一对等值反向的外力偶，杆件变形前在侧面上作纵向线和及横向线和，如图8.16(a)所示，梁发生纯弯曲变形，变形后纵向线和弯成弧线，如图8.16(b)所示，但横向线和仍保持为直线，只是相对旋转一个角度，但仍然垂直于弧线和。根据梁表面的这些变形现象，可以做如下假设，变形前原为平面的梁的横截面变形后仍保持为平面，且仍然垂直于变形后的梁轴线，只是绕截面内某一轴旋转了一个角度，这就是弯曲变形的平面假设。8.2.2纯弯曲时的正应力

(a)(b)图8.168.2.3横力弯曲时的正应力及强度条件

8.2.3横力弯曲时的正应力及强度条件

8.2.4提高弯曲强度的措施

8.2.4提高弯曲强度的措施

8.2.4提高弯曲强度的措施

图8.23

8.2.4提高弯曲强度的措施

图8.24

8.2.4提高弯曲强度的措施

8.3弯曲变形8.3.1梁的挠度与转角8.3.2挠曲线的微分方程8.3.3用积分法求弯曲变形8.3.4用叠加法求弯曲变形8.3.1梁的挠度与转角

8.3.1梁的挠度与转角

图8.27

8.3.1梁的挠度与转角

图8.28

8.3.2挠曲线的微分方程

8.3.3用积分法求弯曲变形

8.3.3用积分法求弯曲变形

8.3.4用叠加法求弯曲变形

8.3.4用叠加法求弯曲变形

图8.33

8.3.4用叠加法求弯曲变形

8.4习题与练习1.填空题

(1)圆截面直杆受轴向外力作用时，该直杆称_________，受扭转外力偶作用时，该直杆称_________，受横向外力作用时，该直杆称_________。(2)简支梁全梁上受均布载荷作用时，当跨长增加一倍时，最大剪力增加一倍，最大弯矩增大了_________倍。(3)若木梁和钢梁的截面、长度、支座形式及受载情况都相同，则比较两梁最大弯矩之值，可得木梁上的最大弯矩_________钢梁上的最大弯矩。(4)材料、长度、支座形式及受载情况都相同的两根截面不同的简支梁，在强度都满足时，比较二梁的最大内力值，可得细梁上的最大内力_________粗梁上的最大内力。(5)若梁上某段内的弯矩值全为零，则该段的剪力值为_________。(6)矩形截面梁，若截面高度和宽度都增加一倍，则其强度将提高到原来的_________倍。杆轴梁3等于等于零88.4习题与练习(7)设计铸铁梁时，宜采用中性轴为___________________________的截面设计，设计钢梁时，宜采用中性轴为__________的截面设计。(8)挠曲线近似微分方程的近似性表现在_______________________和________________上。(9)应用叠加原理求梁的变形时应满足的条件是_______________________________。(10)在梁的变形中挠度和转角的关系是_________________。(11)两根EI相同、跨度之比为1:2的简支梁，当承受相同的均布载荷q作用时，它们的最大挠度之比为_________。(12)当梁上作用有均布载荷时，其挠曲线方程是x的_________次方程。当梁上作用有集中力时，挠曲线方程是x的_________次方程。当梁上作用有力偶时，挠曲线方程是x的_________次方程。(13)减小梁变形的主要途径有________________、_____________、_____________、_____________。靠近受拉边的非对称轴对称轴忽略剪力的影响1+(w’)2≈1小变形及材料为线弹性1∶1643合理安排受力减小弯矩减小长度增加刚度8.4习题与练习2.选择题(1)梁的某一段内作用有均匀分布力时，则该段内的内力图为()。A.剪力水平线，弯矩斜直线B.剪力斜直线，弯矩曲线C.剪力曲线，弯矩曲线D.剪力斜直线，弯矩带拐点的曲线(2)梁在集中力偶作用的截面处，它的内力图为()。A.剪力图有突变，弯矩图无变化B.剪力图有突变，弯矩图有转折C.弯矩图有突变，剪力图无变化D.弯矩图有突变，剪力图有转折BC8.4习题与练习(3)梁在集中力作用的截面处，它的内力图为()。A.剪力图有突变，弯矩图光滑连续B.剪力图有突变，弯矩图有转折C.弯矩图有突变，剪力图光滑连续D.弯矩图有突变，剪力图有转折(4)梁的弯矩图如图8.35所示，则梁上的最大剪力为()。A.PB.5P/2C.3P/2D.7P/2BB8.4习题与练习图8.35

8.4习题与练习C8.4习题与练习BD8.4习题与练习D8.4习题与练习C8.4习题与练习A8.4习题与练习3.判断题(1)按静力学等效原则，将梁上的集中力平移不会改变梁的内力分布。 ()(2)当计算梁的某截面上的剪力时，截面保留一侧的横向外力向上时为正，向下时为负。 ()(3)当计算梁的某截面上的弯矩时，截面保留一侧向上的横向外力对截面形心取的矩一定为正。 ()(4)梁端铰支座处无集中力偶作用，该端铰支座处的弯矩必为零。 ()(5)若连续梁的联结铰处无载荷作用，则该铰处的剪力弯矩必为零。 ()(6)最大弯矩或最小弯矩必定发生在集中力偶处。 ()××√××√8.4习题与练习(7)简支梁的支座上作用集中力偶，当跨长改变时，梁内最大剪力发生改变，而最大弯矩不变。 ()(8)剪力图上斜直线部分可以肯定有分布载荷作用。 ()(9)若集中力作用处剪力有突变，则说明该处的弯矩值也有突变。 ()(10)若某段梁承受正弯矩的作用，则靠近顶面和靠近底面的纵向纤维分别是伸长和缩短的。 ()(11)中性轴是梁的横截面与中性层的交线。梁发生平面弯曲时，其横截面绕中性轴旋转。 ()(12)在非均质材料的等截面梁中，最大正应力不一定出现在最大弯矩截面上。 ()√×××××8.4习题与练习(13)对于矩形截面的梁，最