2022江苏南京高三数学二轮复习专题讲座9立体几何二轮复习建议

立体几何二轮复习建议江苏省高淳高级中学一、高考地位与考查要求：立体几何主要承载着对高中数学基本能力之一——空间想象能力的考查，因而成为每年数学高考的必考内容．经统计，2022年全国各地高考的19套试题中（每套试题含文理卷各1份，江苏文理合卷），立体几何的小题文科卷共有28道，理科卷共有27道，解答题文科卷与理科卷都有19道．由此可见立体几何在高考中占有相当重要的地位．但是，立体几何在江苏高考中的占分比重，已随新课程内容的变化有所下降，考查难度也随之减弱．2022年江苏省高考《考试说明》具体考查要求如下：内容要求ABC空间几何体柱、锥、台、球及其简单组合体√柱、锥、台、球的表面积与体积√点、线、面之间的位置关系平面及其基本性质√直线与平面平行、垂直的判定及性质√两平面平行、垂直的判定及性质√空间向量与立体几何（附加题部分）空间向量的概念√空间向量共线、共面的充分必要条件√空间向量的加法、减法及数乘运算√空间向量的坐标表示√空间向量的数量积√空间向量的共线与垂直√直线的方向向量与平面的法向量√空间向量的应用√不难发现，与以往相比，新高考必做题部分对空间中夹角与距离的计算要求大大减弱，空间中线面之间平行、垂直的位置关系受到重视．分析2022年对立体几何的考查，填空题可能会以考查基础知识为主，空间几何体的结构、线面位置关系的判断、表面积与体积的计算等知识是重点考查内容；解答题一般会考查综合能力，与近几年高考一样，应当还是以考查线面之间的位置关系为主，当然也可能会与10年一样涉及一些简单的计算．另外，在理科附加题中运用空间向量证明平行与垂直、计算夹角与距离无疑也是主要考查内容．二、基本题型与基本策略：基本题型一：空间几何体及其表面积与体积的计算（填空题）例1．已知正四棱锥的底面边长是6，高为eq\r(7)，则这个正四棱锥的侧面积是．说明：本题主要考查正四棱锥的结构特征、空间几何体侧面积的计算方法，属容易题．例2．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的体积为．说明：本题主要考查空间几何体的位置关系、正棱柱和球的性质以及相应的运算能力和空间想象能力．基本策略：涉及到柱、锥、台、球及其简单组合体的侧面积和体积的计算问题，要根据其结构特征和公式来计算，另外要重视空间问题平面化的思想和割补法、等积转换法的运用．基本题型二：空间中点线面位置关系的判断（填空题）例3．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；（2）若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；（3）设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；（4）直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．上面命题中，真命题的序号是．（写出所有真命题的序号）说明：本类题为高考常考题型，其本质实为多项选择题．主要考查空间中线面之间的位置关系，要求熟悉有关公理、定理及推论，并具备较好的空间想象能力，必须做到不漏选多选错选．例4．α、β为两个互相垂直的平面，a、b为一对异面直线，下列条件中：①a//α，bβ；②a⊥α，b//β；③a⊥α，b⊥β；④a//α，b//β且a与α的距离等于b与β的距离．其中是a⊥b的充分条件的有．说明：与例3一样，本题主要考查空间中线面之间的位置关系，特别是考查证明线线垂直的常用方法．基本策略：要求学生能够熟练运用4条公理、3条推论和9条定理来判断有关空间位置关系的命题真假，能对一些真命题进行证明或对假命题举出反例．培养学生善于利用身边的工具与情境（如纸笔、桌面、墙角等）构造具体模型，将抽象问题具体化处理，提高他们的空间想象能力．基本题型三：空间中点线面位置关系的证明（解答题）例5．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥ABCA1B1C1EFD求证：（1）EFABCA1B1C1EFDBCADEFM说明：本类题主要以空间几何体为载体，考查空间中线面位置关系（平行与垂直）的判定与性质，是每年高考不可避免的考查内容．此类题既可以考查几何BCADEFM例6．如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（1）求证：AE⊥BE；（2）求三棱锥D－AEC的体积；（3）设M在线段AB上，且满足AM＝2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE．说明：江苏卷08年、09年连续两年的考题风格与例5相似，仅仅简单地考查了位置关系的证明，综合性不强．10年在考查证明的基础上，还增加了适当的计算量（求点到平面的距离）．因此11年高考除了考查证明以外，可能继续会涉及到一些运算，如本题中体积的计算等；或是添设“探究性”、“存在性”的小问，如本题中第3小问，应予以重视．PABCDE基本策略：证明或探究空间中线线、线面与面面平行与垂直的位置关系，一要熟练掌握所有判定与性质定理，梳理好几种位置关系的常见证明方法，如证明线面平行，既可以构造线线平行，也可以构造面面平行；二要掌握解题时由已知想性质、由求证想判定，即分析法与综合法相结合来寻找证明的思路；三要严格要求学生注意表述规范，推理严谨，避免使用一些正确但不能作为推理依据的结论．此外，要特别PABCDE基本题型四：运用空间向量证明与计算（理科附加解答题）例7．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PD平面ABCD，且PD＝AB＝a，E是PB的中点．（1）在平面PAD内求一点F，使得EF平面PBC；（2）求二面角FPCE的余弦值大小．说明：本题主要考查对空间几何体合理建立空间直角坐标系的能力，运用空间向量探究空间中垂直的位置关系、计算二面角大小的常见问题．向量法是一种独特的方法，因为它不但是传统几何方法的有力补充，而且还可以解决一些较难的立几问题，如二面角的求解等．BEAFDC例8．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝eq\r(2)，BEAFDC（1）求二面角A—DF—B的大小；（2）在线段AC上找一点P，使PF与AD所成的角为600，试确定点P的位置．说明：本类题主要考查通过向量解决空间中的夹角问题（包括线线角、线面角与二面角），是向量作为一门工具解决立几问题的典型体现．基本策略：空间向量的基础知识要引导学生类比于《必修4》中平面向量的相关知识进行整理与记忆；要注意培养学生对空间几何体合理建系的意识，并能准确用向量来刻画直线和平面的“方向”，即方向向量与法向量；要求学生理解用向量判定空间位置关系、求解夹角与距离的原理，并掌握一般求解步骤．其中，线线角、线面角与二面角是本类题型中的重点考查对象，应加强训练．此外，在计算平面的法向量、探究点的位置（如例7（1）、例8（2））等问题中，要引导学生善于运用“待定系数法”合理设出坐标，寻找满足条件的方程（组）来解决问题的方法．三、二轮专题与课时建议：专题内容说明第一课时空间几何体及其表面积与体积多面体与旋转体、直