几何概型(优质课)

几何概型(优质课)第一页，共27页。（1）所有可能出现的基本事件只有有限个(有限性)（2）每个基本事件出现的可能性相等（等可能性）我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.

复习1.古典概型2.古典概型的概率公式P(A)=A包含的基本事件的个数基本事件的总数第二页，共27页。复习题：在0至10中，任意取出一整数，则该整数小于5的概率.第三页，共27页。3.3.1几何概型第四页，共27页。问题2（转盘游戏）：图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少?问题1：在0至10中，任意取出一实数，则该数小于5的概率.第五页，共27页。定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型(geometricmodelsofprobability)，简称几何概型。特征：（1）、无限性：基本事件的个数无限（2）、等可能性：基本事件出现的可能性相同P(A)=构成事件A的测度(区域长度、面积或体积)试验的全部结果所构成的测度(区域长度、面积或体积)记为：几何概型的概率公式：第六页，共27页。有限性等可能性几何概型古典概型同异等可能性无限性第七页，共27页。判断以下各题的是何种概率模型，并求相应概率（1）在集合A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取一个 元素,则的概率为

（2）已知点O（0，0），点M（60，0），在线段OM上任取一点P，则的概率为（1）为古典概率模型,P（）=7/10（2）为几何概率模型,P（）=1/6

是与长度有关的几何概型问题口答：第八页，共27页。1.长度问题：取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于1m的概率有多大？基础训练：第九页，共27页。解：由题意可得故由几何概型的知识可知，事件A发生的概率为：设“剪得两段绳长都不小于1m”为事件A。则把线段三等分，当剪断中间一段时，事件A发生3m1m1m第十页，共27页。2.面积问题：如右下图所示的单位圆,假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆,分别计算它落到阴影部分的概率.第十一页，共27页。解：由题意可得从而：基本事件的全体对应的几何区域为面积为１的单位圆

事件A对应的几何区域为第一个图形的阴影部分面积１／２

事件B对应的几何区域为第二个图形的阴影部分面积３／８故几何概型的知识可知，事件A、B发生的概率分别为：设“豆子落在第一个图形的阴影部分”为事件A，“豆子落在第二个图形的阴影部分”为事件B。第十二页，共27页。思考:

在单位圆内有一点A，现在随机向圆内扔一颗小豆子。（1）求小豆子落点正好为点A的概率。（2）求小豆子落点不为点A的概率。结论：若A是不可能事件，则P(A)=0；反之不成立即：概率为0的事件不一定是不可能事件。

若A是必然事件，则P(A)=1；反之不成立即：概率为1的事件不一定是必然事件。A链接第十三页，共27页。3.体积问题：有一杯1升的水,其中含有1个细菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1升,求小杯水中含有这个细菌的概率.第十四页，共27页。解：由题意可得则：基本事件的全体对应的几何区域为体积为1升的水

事件A对应的几何区域为体积为0.1升的水故由几何概型的知识可知，事件A发生的概率为：设“取出的0.1升水中含有细菌”为事件A。第十五页，共27页。1.某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音

机，想听电台报时，求他等待的时间不多于

10分钟的概率。(电台整点报时)解：设A={等待的时间不多于10分钟}，事件A恰好是打开收音机的时刻位于[50，60]内因此由几何概型的求概率公式得：P（A）=（60-50）/60=1/6“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为1/6提升训练：第十六页，共27页。析：如图所示,这是长度型几何概型问题,当硬币中心落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相碰,故由几何概型的知识可知所求概率为：2.平面上有一组平行线,且相邻平行线间的距离为3cm,把一枚半径为1cm的硬币任意平抛在这个平面上,求硬币不与任何一条平行线碰的概率。第十七页，共27页。课堂小结1.几何概型的特征：无限性、等可能性、可区域化2.几何概型主要用于解决与测度有关的题目3.注意理解几何概型与古典概型的区别。4.如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解。第十八页，共27页。1.在区间［1,3］上任取一数,则这个数大于1.5的概率为()D当堂检测：A.B.C.D.无法计算B2.如图所示,边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域,在正方形中随机撒一粒豆子,它落在阴影区域内的概率为则阴影区域的面积为()3.在Rt△ABC中,∠A=30°,过直角顶点C作射线CM交线段AB于M,求|AM|>|AC|的概率.1/6第十九页，共27页。

[析]:如图所示,因为过一点作射线是均匀的,因而应把在∠ACB内作射线CM看做是等可能的,基本事件是射线CM落在∠ACB内任一处,使|AM|>|AC|的概率只与∠BCC′的大小有关,这符合几何概型的条件.1/6检测3：第二十页，共27页。题组一：与长度有关的几何概型1、当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，你看到黄灯的概率是多少_______.2、在单位圆⊙O的一条直径MN上随机地取一点Q，过点Q作弦与MN垂直且弦的长度超过1的概率是__________.第二十一页，共27页。题组二：与角度有关的几何概型变1:在等腰直角△ABC中,在斜边AB上任取一点M,求使△ACM为钝角三角形的概率.变2:在等腰直角△ABC中,在斜边AB上任取一点M,求AM小于AC的概率.在等腰直角△ABC中,过直角顶点C任作一条射线L与斜边AB交于点M,求AM小于AC的概率.第二十二页，共27页。题组三：与体积有关的几何概型1、已知棱长为2的正方体，内切球O，若在正方体内任取一点，则这一点不在球内的概率为_______.2、用橡皮泥做成一个直径为6cm的小球，假设橡皮泥中混入了一个很小的沙砾，试求这个沙砾距离球心不小于1cm的概率.第二十三页，共27页。例2:

假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7:00—8:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少?问题1：如果用X表示报纸送到时间,用Y表示父亲离家时间,请问X与Y的取值范围分别是什么？问题2：父亲要想在离开家之前拿到报纸，请问x与y除了要满足上述范围之外，还要满足什么关系？第二十四页，共27页。例2:

假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7:00—8:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少?问题3：这是一个几何概型吗？那么事件A的概率与什么有关系？长度、面积、还是体积？问题4：怎么求总区域面积？怎么求事件A包含的区域面积？我们画一个与x、y有关系的图像第二十五页，共27页。例2:

假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲