材料力学第七章弯曲剪应力3,4,5课件

2.公式推导(1)

取微段dx§5.7

梁的切应力ts1MFSts2M+dMFSFxFMbhzySy§7-3弯曲剪应力和强度校核一.矩形截面截面梁的剪应力ts1MFSts2M+dMFShbzyO在hb的情况下3.切应力分布规律§5.7

梁的切应力bhyzFSy2.

工字形截面梁(1)腹板上的切应力其中可见腹板上的切应力在与中性轴z垂直的方向按二次抛物线规律变化。

对于轧制的工字钢，上式中的就是型钢表中给出的比值，此值已把工字钢截面的翼缘厚度变化和圆角等考虑在内。(3)翼缘上的切应力

翼缘横截面上平行于剪力FS的切应力在其上、下边缘处为零(因为翼缘的上、下表面无切应力)，可见翼缘横截面上其它各处平行于FS的切应力不可能大，故不予考虑。分析表明，工字形截面梁的腹板承担了整个横截面上剪力FS的90%以上。

但是，如果从长为dx的梁段中用铅垂的纵截面在翼缘上截取如图所示包含翼缘自由边在内的分离体就会发现，由于横力弯曲情况下梁的相邻横截面上的弯矩不相等，故所示分离体前后两个同样大小的部分横截面上弯曲正应力构成的合力

和

不相等，因而铅垂的纵截面上必有由切应力t1′构成的合力。udxA*自由边思考题:试通过分析说明，图a中所示上、下翼缘左半部分和右半部分横截面上与腹板横截面上的切应力指向是正确的，即它们构成了“切应力流”。由56a号工字钢制成的简支梁如图a所示，试求梁的横截面上的最大切应力tmax和同一横截面上腹板上a点处(图b)的切应力ta

。不计梁的自重。例题4-13求tmax

梁的剪力图如图c所示，由图可见FS,max=75kN。由型钢表查得56a号工字钢截面的尺寸如图b所示，Iz=65586cm4和Iz/S*

z,max=47.73cm。d=12.5mm例题4-13解:其中：于是有：2.求ta例题4-13腹板上切应力沿高度的变化规律如图所示。tmax例题4-133.薄壁环形截面梁薄壁环形截面梁在竖直平面内弯曲时，其横截面上切应力的特征如图a所示：(1)由于d<<r0，故认为切应力t

的大小和方向沿壁厚d

无变化；(2)由于梁的内、外壁上无切应力，故根据切应力互等定理知，横截面上切应力的方向与圆周相切；薄壁环形截面梁横截面上的最大切应力tmax在中性轴z上，半个环形截面的面积A*=pr0d，其形心离中性轴的距离(图b)为，故求tmax时有及得出：整个环形截面对于中性轴z的惯性矩Iz可利用整个截面对于圆心O的极惯性矩得到，如下：从而有式中，A=2pr0d为整个环形截面的面积。圆截面梁横截面上的最大切应力tmax在中性轴z处，其计算公式为II.梁的切应力强度条件图a所示受满布均布荷载的简支梁，其最大弯矩所在跨中截面上、下边缘上的C点和D点处于单轴应力状态(stateofuniaxialstress)(图d及图e)，故根据这些点对该梁进行强度计算时其强度条件就是按单轴应力状态建立的正应力强度条件

在翼缘上，有平行于FS的剪应力分量，分布情况较复杂，但数量很小，并无实际意义，可忽略不计。

在翼缘上，还有垂直于FS方向的剪应力分量，它与腹板上的剪应力比较，一般来说也是次要的。

腹板负担了截面上的绝大部分剪力，翼缘负担了截面上的大部分弯矩。对于标准工字钢梁：在翼板上：NlNlldxdxzy三.圆及圆环截面梁的剪应力最大剪应力：1.圆截面2.圆环截面最大剪应力：四.弯曲剪应力强度条件[例7-6]圆形截面梁受力如图所示。已知材料的许用应力［σ］=160MPa，［τ］=100MPa，试求最小直径dminCL8TU19（第二个强度条件）解：由正应力强度条件：由剪应力强度条件：-40kN40kN求tmax

梁的剪力图如图c所示，由图可见FS,max=75kN。由型钢表查得56a号工字钢截面的尺寸如图b所示，Iz=65586cm4和Iz/S*

z,max=47.73cm。d=12.5mm例题4-13解:例题4-13其中：于是有：2.求ta例题4-13腹板上切应力沿高度的变化规律如图所示。tmax例题4-13一简易吊车的示意图如图a所示，其中F=30kN，跨长

l=5m。吊车大梁由20a号工字钢制成，许用弯曲正应力[s]=170MPa，许用切应力[t]=100MPa。试校核梁的强度。例题4-141.校核正应力强度。吊车梁可简化为简支梁(图b)。荷载移至跨中C截面处(图b)时梁的横截面上的最大弯矩比荷载在任何其它位置都要大。荷载在此最不利荷载位置时的弯矩图如图c所示，例题4-14解:

由型钢规格表查得20a号工字钢的Wz=237cm3。梁的最大弯曲正应力为例题4-142.校核切应力强度。荷载移至紧靠支座A处(图d)时梁的剪力为最大。此时的约束力FA≈F，相应的剪力图如图e所示。FS,max=FA=30kN对于20a号钢，由型钢规格表查得：例题4-14于是有由于梁的正应力和切应力强度条件均能满足，所以该梁是安全的。(e)例题4-14简支梁在移动荷载F作用下，全梁弯矩为最大时，F力的最不利位置，可用如上所述的由经验来判断。也可用公式推导，即FAABFFBxl例题4-14[例7-7]两个尺寸完全相同的矩形截面梁叠在一起承受荷载如图所示。若材料许用应力为[]，其许可载荷[F]为多少？如将两个梁用一根螺栓联成一体，则其许可荷载为多少？若螺栓许用剪应力为[τ]，求螺栓的最小直径？F解：叠梁承载时，每梁都有自己的中性层1.梁的最大正应力：其中：FSF-FLMbL2.当两梁用螺栓联为一体时，中性轴只有一个：bF由正应力强度条件：可见，两梁结为一体后，承载能力提高一倍。3.求螺栓最小直径：螺栓主要是受剪zzττ设梁达到了许用应力[F]中性轴处：全梁中性层上的剪力：由螺栓剪切强度条件：可得：讨论：Fs与何力平衡？FS§7-4提高梁强度的主要措施控制梁弯曲强度的主要因素是正应力设计梁的原则应使Mmax尽可能地小，使WZ尽可能地大。一.合理的布置支座位置载荷和合理加载1.合理布置支座位置ACBACB2.合理布置载荷CL8TU23[例7-8]两人体重均800N，需借助跳板跨过沟。已知跳板的许可弯矩[M]=600N.m，若跳板不计重量，给出两人安全过沟办法？解:人单独通过，行至离沟边1米时，板最大弯矩达600N.m。两人过河，一个在右外伸端距支座为x1处，一个在桥上，行至x2处弯矩如图所示。弯矩最值欲通过，要求一人立于右外伸端离右支座为o.537-0.746间另一人可安全通过。通过的人立于左外伸端离左支座为0.536-0.75之间后者再通过。o.536≤x1≤0.746解得FFx2x1LM1=Fx1，

M2=F(L-x1-x2)x2/LM1≤[M]，M2≤[M]由此得使上式恒成立，则由M1≤[M]得x1≤0.75B支座反力：二.梁的合理截面合理的截面形状应使截面积较小而抗弯截面模量较大。CL8TU20W要大同时A要小，W/A最大为好。CL8TU211）对于[t]=[c]的材料，可用与中性轴对称的截面，使截面上、下边缘σtmax=σcmax2）对于[t]≠[c]的材料，如铸铁[t]＜[c]，宜用中性轴偏于受拉边的截面。三、采用变截面梁、等强度梁的概念梁的各横截面上的最大正应力都等于材料的许用应力例如：矩形截面梁，跨中C处受集中力P,截面高h为常数，宽度b可变化，b=b（x）,求b（x）［σ］时，称为等强度梁。PLABCxb(x)b(x)min研究半梁AC由等强度条件：对于矩形截面：同理：若b为常量，高度h=h(x)抛物线由剪切强度条件：鱼腹梁PLABCx§7-5非对称截面梁平面弯曲的条件

开口薄壁截面梁的弯曲中心一、非对称截面梁平面弯曲的条件前面讨论的平面弯曲，仅限于梁至少有一个纵向对称面，外力均作用在该对称面内且垂直于轴线。对于非对称截面梁。横截面上有一对形心主惯性轴y、z，形心主惯性轴y、z与轴线x组成两个形心主惯性平面xOy、xOz形心主惯性平面y、z轴为形心主惯性轴对于非对称截面梁，由实验和理论分析得到它发生平面弯曲的条件是:(1)当外力偶作用在平行于形心主惯性平面的任一平面内时,梁产生平面弯曲。(2)当横向外力作用在平行于形心主惯性平面的平面内，并且通过特定点时，梁发生平面弯曲。否则将会伴随着扭转变形。但由于实体构件抗扭刚度很大，扭转变形很小，其带来的影响可以忽略不计。对于开口薄壁截面梁，即使横向力作用于形心主惯性平面内(非对称平面)，则梁除发生弯曲变形外，还将发生扭转变形。只有当横向力的作用线平行于形心主惯性平面并通过某个特定点时，梁才只发生平面弯曲，而无扭转变形。这个特定点称为横截面的弯曲中心，用A表示。二.开口薄壁截面的弯曲中心平衡对象及其受力

开口薄壁截面弯曲切应力平衡对象及其受力

弯曲切应力Fx=0+

(dx)=0FNx*+dFNx*-FNx*

弯曲切应力+

(dx)=0FNx*+dFNx*-FNx*其中FNx*＝xdAA

*FNx*+dFNx*=(x+dx)dAA

*x=MzyIz,Sz=ydAA

*平衡方程与切应力表达式

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