新版(华师大版)八年级数学下19.3.2《正方形的判定与性质》同步训练

正方形的判定与性质一选题共5小题）．下列说法错误的是（）A有一个角为直角的菱形是正方形B有一组邻边相等的矩形是正方形C．对线相等的菱形是正方形D．对线相等且互相垂直的四边形是正方形．在正方形ABCD的边、BC、、DA上别任意取点、、GH这样得到的四边形EFGH中，是正方形的有（）A1个B．个C4个D．穷多个．如图，四边形ABCD中AD=DC，ADC=∠ABC=90，DE⊥，若四边形面为16，则DE的为（）A3B．4D．eq\o\ac(△,)ABC中，C=90，点Oeq\o\ac(△,)三角平分线的交点OD于DOE⊥AC于E，OF于F，且AB=10cmBC=8cmAC=6cm则点到三边、AC、距离为（）A2cm，2cm，B．3cm3cm，．，，D2cm，，5cm．如图，在一个大正方形内，放入三个面积相等的小正方形纸片，这三张纸片盖住总面积24平厘米，且未盖住的面积比小正方形面积的四分之一还少平厘米，则大正方形的面积是（单位：平方厘米）A40B．D．36二填题共4小题）．现有一张边长等于（＞）的正方形纸片，从距离方形的四个顶点8cm处沿45角线，将方形纸片分成部，则阴影部分是_________（填写图形的形状图的边长是_________．

如正形ABCD对角线交于点以为向外作eq\o\ac(△,)ADE∠AED=90连接OEDE=6OE=8则另一直角边AE的长为．

，．如图，在四边形ABCD中∠∠ABC=90，AD=CD，DP⊥AB于．若四边形ABCD的面是18，则DP的是_________．边对角线AC和交于点O有下列条件AB=AD°；④矩ABCD⑤形ABCD，正方形ABCD则在下列推理不成立的是A⑥；、⑤C、②⑥；④三解题共11小题．如图，已知点、、GH别在正方形ABCD的边上，且AE=BF=CG=DH，、、CHDE分相交于点A、C′、D．求证：四边形ACD是方形．

11．如图，在正方形ABCD中点M在边AB，点N在边的长线上，且BM=DN．点为MN的点，DE的长线与AC交于点F．试猜想线段DF与段AC的关系，并证你的猜想．．如图，正方形ABCD边为．菱形EFGH的三个顶点、H分在正方形ABCD的边ABDA上且AH=2，连接．（1当DG=2，求证：菱形EFGH正方形；（2设DG=x，试用x的代数式表eq\o\ac(△,)的积．．如图，正方形ABCD动点在AC上，AF⊥AC垂足为A，．（1求证：BF=DE（2当点运到AC点时（其他条件都保持不变四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由．．已知，如图，矩形ABCD中，，，形EFGH的三个顶点，G，分在矩形ABCD边AB，CD，上，，连接．（1若DG=2，求证四边形正方形；（2若DG=6，eq\o\ac(△,)的积；（3当为值时eq\o\ac(△,)的面积最小．．如图，正方形ABCD，AC是角线，今有大的直角三角板，一边始终经过点B直角顶点P在线AC上移动，另一边交于．（1如图1，当点在DC边上时，猜想并写出PB与所足的数量关系；并加以证明；（2如图2，当点落DC的长线上时，猜想并写与PQ足的数量关系，请证明你的猜想．

1211212112．如图，已知四边形ABCD是正方形，分别过A、C两作l∥l，作BM⊥l于M，DNl于N直线、ND分交l于QP．证：四边形是正方形．在方形ABCD各边上一次截取AE=BF=CG=DH接试问四边形EFGH否是正方形？．如图，四边形ABCD是方形，点是上任意一点⊥AP于，BF⊥AP于点CHDE于点HBF的长线交点．（1求证﹣（2四边形EFGH是么四边形？并证；（3若，BP=1，求四边形EFGH的积．．如图eq\o\ac(△,，)ABC中C=90BAC、ABC平分线相交于点DDE⊥⊥AC，垂足分别．问四边形是方形吗？请说明理由．

．如图，ABC中，，点D是BC的点⊥⊥AC足分别为E，F．求证：四边形DEAF是正方形．

正方形的判定与性质参考答案试题解析一选题共5小题）．下列说法错误的是（）A有一个角为直角的菱形是正方形B有一组邻边相等的矩形是正方形C．对线相等的菱形是正方形D．对线相等且互相垂直的四边形是正方形考点：正形的判定．分析：正形：四个角是直角，四条边都相等，对角线相等，且互相垂直平分的平行四边形；菱形：四条边都相等，对角线互相垂直平分的平行四边形；矩形：四个角都相等，对角线相等的平行四边形．解答：解A有个角为直角的菱的特征是四条边都相等四个角都是直角则菱形是正方形故本选项说法正确；B有一组邻边相等的矩形的特征是：四条边都相等，四个角都是直角．则该矩形为正方形．故本选项说法正确；C、角线相等的菱形的特征是：四条边都相等，对角线相等的平行四边形，即该菱形为正方形．故本选项说法正确；D、角相等且互相垂直的平行四边形是正方形．故本选项说法错误；故选．点评：本考查了正方的判定．正方形集矩形、菱形的性质于一身，特殊的平行四边形．．在正方形ABCD的边、BC、、DA上别任意取点、、GH这样得到的四边形EFGH中，是正方形的有（）AB．个C4个D．无多个考点：正形的判定与质；全等三角形的判定．专题：计题．分析：在方形四边上意取点E、、GH若能证明四边形为方形，则说明可以得到无穷个正方形．解答：解无穷多个．图正方形ABCD：AH=DG=CF=BE，HD=CG=FB=EA∠∠∠∠D有≌≌△CGF≌△BFE则EH=HG=GF=FE，另外很容得四个角均为°则四边形EHGF为方形．故选．

ABCDDEBFABCDDEBF点评：ABCDDEBFABCDDEBF

本题考查了正方形的判定与性质，难度适中，利用三角形全等的判定证明H=HG=GF=FE．．如图，四边形ABCD中AD=DC，ADC=∠ABC=90，DE⊥，若四边形面为16，则DE的为（）A

B2C．D．

考点：专题：分析：

正方形的判定与性质．证明题．如图D作的垂线BC的长线于互余关系可得∠AED=°，AD=DC，利用AAS可判eq\o\ac(△,)ADE≌△，∴，S，DE=4．四边形正方形解答：解过点DBC的线，交BC的延长线于，∵∠∠°，CDF+∠°，∴∠∠，又∠AED=∠，，∴△≌△，∴DE=DF=16四边形正方形∴．故选C．点评：

本题运用割补法，或者旋转法将四边形ABCD转为正方形，根据面积保持不变，来求正方形边长．eq\o\ac(△,)ABC中，C=90，点Oeq\o\ac(△,)三角平分线的交点OD于DOE⊥AC于E，OF于F，且AB=10cmBC=8cmAC=6cm则点到三边、AC、距离为（）A2cm，2cm，2cmB．，，C．4cm，，D．，，考点：正形的判定与质．分析：连OA，，OC，利用角的平分上的点到角的两边的距离相等可eq\o\ac(△,)≌△BFOCDO≌CEOeq\o\ac(△,)≌，∴BD=BFCD=CEAE=AF因为点O三边ABBC的离是CDAB=8CD+6﹣CD=10得CD=2所以点O到边AB、AC的离为．解答：解连接OA，OB，eq\o\ac(△,)BDO△，≌eq\o\ac(△,)≌AFO∴BD=BFCD=CE，AE=AF又∵∠，ODBC于，OEAC于，O为ABC三条角平分线的交点∴四边形是方形，则点到边ABAC的离=CD，∴﹣CD+6﹣CD=，根据勾股定理可得即﹣2CD+14=10∴CD=2

2即点到边ABAC的离为2cm故选A2点评：

本题主要考查垂直平分线上的点到线段两段的距离相等的性质和边的和差关系．．如图，在一个大正方形内，放入三个面积相等的小正方形纸片，这三张纸片盖住总面积24平厘米，且未盖住的面积比小正方形面积的四分之一还少平厘米，则大正方形的面积是（单位：平方厘米）A40．．

考点：正形的判定与质．专题：计题．分析：设正方形的边为大方形的边长为b由方形的面积公式根据题意列出方组解方程组得出大正方形的边长，则可求出面积．解答：解设小正方形边长为，大正方形的边长为，由这三张纸片盖住的总面积是平方厘米，可得（b）①由未盖住的面积比小正方形面积的四分之一还少3平厘米，可得baa﹣3，将②立解方程组可得a=4，，∴大正方形的边长为5∴面积是．故选．点评：本考查了正方的性质及面积公式，难度较大，关键根据题意列出方程．二填题共4小）．现有一张边长等于（＞）的正方形纸片，从距离方形的四个顶点8cm处沿45，正方形纸片分成部，则阴影部分是正形（写图形的形状图的一边长是．

考点：正形的判定与质．专题：压题．分析：延小正方形的边交大正方形于一点连接此点与距大正方形顶点处的点构直角边长为等腰直角三角形，将小正方形的边长化为等腰直角三角形的斜边长来求解即可．解答：解如图，作平于小正方形的一边，延长小正方形的另一边与大正方形的一边交于B点∴△为角长为的腰直角三角形，∴AB=AC=8，∴阴影正方形的边长=AB=8．故答案为：正方形，cm．点评：

本题考查了正方形的性质与勾股定理的知识，题目同时也渗透了转化思想．如正形ABCD对角线交于点以为向外作eq\o\ac(△,)ADE∠AED=90OE则另一直角边AE的长为10．

，考点：正形的判定与质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．分析：首过点作OM⊥于M，ON⊥DE交ED的延长线于点，易得四边形EMON是方形，点A，DE共，则可eq\o\ac(△,)OEN是腰直角三角形，求得EN的，继而证得Rt≌eq\o\ac(△,)DON，得到，继而求得答案．

解答：解过点作OM⊥于M，ONDE交ED的长线于点N，∵∠AED=90，∴四边形EMON是形，∵正方形ABCD的角交于点O，∴∠AOD=90，，∴∠AOD+AED=180，∴点AOD，E共，∴

=

，∴∠∠DEO=∠°，∴OM=ON，∴四边形EMON是方形，∴EM=EN=ON∴△OEN是腰直角三角形，∵OE=8，∴，∴，在eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)DON中，，∴eq\o\ac(△,)≌eq\o\ac(△,)DON∴AM=DN=ENED=8﹣，∴AE=AM+EM=2+8=10．故答案为：10点评：此考查了正方的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．．如图，在四边形ABCD中∠∠ABC=90，AD=CD，DP⊥AB于．若四边形ABCD的面是18，则DP的是．考点：正形的判定与质；全等三角形的判定与性质．分析：过作DE交BC的延长线于先断出四边形是形再据等角的余角相等求出∠∠CDE再“角角证eq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)CDE全等据全等三角形对应边相等可得DE=DP然判断出四边形是正方形，再根据正方形的面积公式解答即可．

解答：解如图，过点D作DE交的长线于E∵∠∠°，∴四边形是矩形，∵∠CDE+∠，ADC=90，∴∠∠，∴∠ADP=，∵⊥AB，∴∠APD=90，∴∠∠，在ADP和中，，∴△ADPCDEAAS∴，四边形ABCD的面积=四边形的积=18∴矩形DPBE是方形，∴DP=．故答案为：3．点评：本考查了正方的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并作辅助线构造出全等三角形和正方形是解题的关键．边对角线AC和交于点O有下列条件AB=AD°；④矩ABCD⑤形ABCD，正方形ABCD则在下列推理不成立的是A①⑥；、⑤C、②⑥；②④考点：正形的判定与质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质．专题：证题．分析：根矩形、菱形正方形的判定定理，对角线互相平分的四边形为平行四边形，再由邻边相等，得出是菱形，和一个角为直角得出是正方形，根据已知对各个选项进行分析从而得到最后的答案解答：解A、①④得，一组邻边相等的矩形是正方，故正确；B③得，四边形平行四边形，再①一组邻边相等的平行边形是菱形，故正确；C、①不能判断四边形是正方形；D、③得四边形是平行四边形，再，个角是直角的平行四边形是矩形，故正确．故选C．点评：此用到的知识是：矩形、菱形、正方形的判定定理，如：一组邻边相等的矩形是正方形；对角线互相平分且一组邻边相等的四边形是菱形角线互相平分且一个角是直角的四边形是矩形活握这判定定理是解本题的关键．三解题共11小题．如图，已知点、、GH别在正方形ABCD的边上，且AE=BF=CG=DH，、、CHDE分相交于点A、C′、D．求证：四边形ACD是方形．

考点：正形的判定与质；全等三角形的判定与性质．专题：证题．分析：依三角形的内和定理可以判定四边形ABCD′的个角是直角，则四边形是矩形，然后证明一组邻边相等，可以证得四边形是正方形．解答：证：在正方形ABCD中∵在eq\o\ac(△,)中∴△ABF≌△（）∴∠BAF=，∵∠BAF+AFB=90，∴∠∠，∴∠°，∴∠AB′C=90．∴同理可得BCD=CD′A=90，∴四边形AB′D是形．∵在ABBeq\o\ac(△,)中∴eq\o\ac(△,AB)eq\o\ac(△,)B≌eq\o\ac(△,)′（AAS∴AB=BC∵在AAEeq\o\ac(△,)BB中∴eq\o\ac(△,AA)eq\o\ac(△,)′≌eq\o\ac(△,)′FAAS∴AA=BB∴AB′C∴矩形ABD′正方形．点评：

本题考查了正方形的判定，判定的方法是证明是矩形同时是菱形．

11．如图，在正方形ABCD中点M在边AB，点N在边的长线上，且BM=DN．点为MN的点，DE的长线与AC交于点F．试猜想线段DF与段AC的关系，并证你的猜想．考点：专题：分析：

正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．探究型．猜想线垂平分线段AC且DF=AC过M作MG∥AD与的延长线相交于点G作GH，足为H，连接AG．根据方形的性质和全等三角形的证明方法证eq\o\ac(△,明)AMG≌即．解答：

猜想：线段DF垂平分线段AC，DF=AC，证明：过点M作MG∥AD与DF的延长线相交于点G则∠EMG=∠N，∠∠BAD，∵∠MEG=，ME=NE，∴△MEG≌△NED，∴．∵，∴MG=BM作GH，足为H，连接AG．∵四边形ABCD是方，∴AB=BC=CD=DA，∠BAD=B=ADC=90，∵∠GMB=∠B=GHB=90，∴四边形MBHG是形∵MG=MB∴四边形MBHG是方，∴MG=GH=BH=MB，∠AMG=CHG=90°，∴，∴△AMG≌△CHG．∴．又∵，∴是段AC垂直平分线．∵∠ADC=90，DA=DC，∴AC即线段DF垂直平分线段AC且AC

点评：本综合考查了形的判定和性质、正方形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，全等三角形的性质和判定等知识点，此题综合性比较强，难度较大，但题型较好，训练了学生分析问题和决问题以及敢于猜想的能力．．如图，正方形ABCD边为．菱形EFGH的三个顶点、H分在正方形ABCD的边ABDA上且AH=2，连接．（1当DG=2，求证：菱形EFGH正方形；（2设DG=x，试用x的代数式表eq\o\ac(△,)的积．考点：正形的判定与质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质．分析：（四边形ABCD正方形形为形∠D=∠A=90AH=DG=2，易证AHE△DGH从而有HEA等量代换可得AHE+∠，易证四边形为方形；（2欲eq\o\ac(△,)的积，由已知得CG长易求，只需求出边的高，通过证eq\o\ac(△,)AHEMFG可．解答：（）证明：eq\o\ac(△,)HDGeq\o\ac(△,)AEH中∵四边形ABCD是方，∴∠D=∠°，∵四边形EFGH是菱形，∴，∵DG=AH=2∴eq\o\ac(△,)HDGAEH∴∠DHG=∠，∴∠DHG+∠AHE=90∴∠°，∴菱形EFGH为方形；（2解：过作FM⊥，垂足为M，连接∵CDAB，∴∠AEG=，∵∥，∴∠∠，∴∠AEH=∠FGM在eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)AHEeq\o\ac(△,)GFM中∵，∴eq\o\ac(△,)≌eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)GFM，∴，∵DG=x

eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)FCG∴CG=6﹣x．eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)FCG∴=CGFM=6．点评：本考查了正方的性质、菱形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是作辅助线：过F作⊥DC，交DC延线于M，连接，构造全等三角形和内错．．如图，正方形ABCD动点在AC上，AF⊥AC垂足为A，．（1求证：BF=DE（2当点运到AC点时（其他条件都保持不变四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由．考点：正形的判定与质；全等三角形的判定与性质．分析：（）根据正方形的性质判eq\o\ac(△,)ADE△ABF后即可得到BF=DE（2利用正方形的判定方法判定四边形AFBE为方形即可．解答：（）证明：∵正方形ABCD，∴AB=AD，∠BAD=90，∵AFAC∴∠EAF=90，∴∠∠，在ADEeq\o\ac(△,)ABF∴△≌ABF∴BF=DE；（2解：当点E运到AC的点时四边形AFBE是正方形，理由：∵点E运到AC的点，AB=BC，∴AC，AC∵AF=AE∴，又∵⊥AC∠∠，∴AF，∵BE=AF∴得平行四边形，∵∠°，AF=AE∴四边形AFBE是方形．

2222点评：

本题考查了正方形的判定和性质解题的关键是正确的利用正方形的性质．．已知，如图，矩形ABCD中，，，形EFGH的三个顶点，G，分在矩形ABCD边AB，CD，上，，连接．（1若DG=2，求证四边形正方形；（2若DG=6，eq\o\ac(△,)的积；（3当为值时eq\o\ac(△,)的面积最小．考点：正形的判定与质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质；矩形的性质．专题：计题；压轴题分析：（于边形ABCD为矩形边HEFG为形么D=A=90AH=DG=2，易证AHE△DGH从而有HEA等量代换可得AHE+∠，易证四边形为方形；（2F作FMDCDC延长线于M接GE由于AB∥CD可得∠AEG=MGE理有∠，利用等式性质有AEH=∠MGF，再结合∠°，HE=FG，可eq\o\ac(△,)AHE≌△MFG从而有FM=HA=2即无论菱形EFGH如变化，点到线CD距离始终为定值而求三角形面积；（3设题，eq\o\ac(△,)FCG=7﹣，eq\o\ac(△,)AHE中AEAB=7用股定理可得HE53eq\o\ac(△,)DHG中，再利用勾股定理可得x+16，而可求x，从而可得当时eq\o\ac(△,)的积最小．解答：解）∵四边形ABCD矩形，四边形HEFG为形，∴∠∠A=9°，HG=HE，又AH=DG=2，∴eq\o\ac(△,)≌eq\o\ac(△,Rt)eq\o\ac(△,)DGH（∴∠DHG=∠，∵∠AHE+∠，∴∠AHE+∠，∴∠EHG=90，∴四边形HEFG为正方形；（2过作FM⊥DC，交DC延线于，连接GE∵ABCD，∴∠∠MGE∵∥，∴∠∠，∴∠AEH=∠MGF，在AHEeq\o\ac(△,)中∠M=90，，∴△≌△MFG，∴FM=HA=2即无论菱形如变化，点F直线CD的距离始终为定值2，因此；

22eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)FCG（3设DG=x，则由2小题得，eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)FCG=7﹣，在AHE中AE∴，22eq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,)FCG∴x+16≤，∴x，∴的小值为

，此时DG=

，∴当DG=

时eq\o\ac(△,)FCG的积最小为（

点评：本考查了矩形菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．解题的关键是作辅助线：过F作FM⊥，交延长线于M连接，构造全等三角形和内错角．．如图，正方形ABCD，AC是角线，今有大的直角三角板，一边始终经过点B直角顶点P在线AC上移动，另一边交于．（1如图1，当点在DC边上时，猜想并写出PB与所足的数量关系；并加以证明；（2如图2，当点落DC的长线上时，猜想并写与PQ足的数量关系，请证明你的猜想．考点：正形的判定与质；全等三角形的判定与性质．分析：（）过作PE，⊥CD证明eq\o\ac(△,)≌eq\o\ac(△,)PBE即可；（2证明思路同（）解答：（），证明：过作⊥BC，⊥，∵，为方形对角线AC上的点，∴平∠DCB，∠DCB=90，∴PF=PE，∴四边形PECF正方形，∵∠∠°，∠，∴∠BPE=，∴eq\o\ac(△,)PQF≌eq\o\ac(△,)，∴；（2）PB=PQ证明：过作⊥，PFCD，∵，为方形对角线AC上的点，∴平∠DCB，∠DCB=90，∴PF=PE，∴四边形PECF正方形，

12112112∵∠∠，∠，∴∠BPE=，12112112∴eq\o\ac(△,)PQF≌eq\o\ac(△,)，∴．点评：

此题考查了正方形，角平分线的性质，以及全等三角形判定与性质．此题综合性较强，注意数形合思想．．如图，已知四边形ABCD是正方形，分别过A、C两作l∥l，作BM⊥l于M，DNl于N直线、ND分交l于QP．证：四边形是正方形．考点：正形的判定与质．专题：证题；压轴题分析：可eq\o\ac(△,)≌，同可得AN=NP，所以MN=PN，进而可得其为正方形．解答：证：∥l，⊥l，DN⊥l，∴∠QMN=∠P=N=90，∴四边形PQMN为矩形，∵AB=AD，∠M=N=90∠ADN+∠NAD=90，NAD+BAM=90，∴∠ADN=，又∵AD=BA，∴eq\o\ac(△,)ABM≌eq\o\ac(△,)（AAS∴同理AN=DP∴AM+AN=DN+DP即MN=PN∴四边形PQMN是正方形．

点评：本考查了矩形判定和性质、全等三角形的判定和性质以及正方形的判定，解题的关键是熟练掌握各种几何图形的性质和判定方法．在方形ABCD各边上一次截取AE=BF=CG=DH接试问四边形EFGH否是正方形？考点：正形的判定与质．分析：根正方形的性可得，∠B=∠∠D然后求出，利用“边边证eq\o\ac(△,)AHEeq\o\ac(△,)eq\o\ac(△,)DGH全，根据全等三角形对应边相等可得EF=FG=GH=EH全等三角形对应角相等可得∠∠CFG=∠DGH再出EFG=∠∠GHE=∠从而得到四边形是方形．解答：解四边形是正方形．理由如下：∵四边形ABCD是方形，∴AB=BC=CD=AD，∠∠B=∠，∵，∴ABAE=BC﹣﹣CG=ADDH即BE=CF=DG=AH，∴△≌≌△≌DGH∴，AHE=∠∠CFG=∠DGH，∴∠∠FGH=∠