概率与统计课件假设检验

概率与统计课件假设检验第一页，共四十三页，2022年，8月28日例：某工厂生产

10

欧姆的电阻，根据以往生产的电阻实际情况，可以认为:电阻值X服从正态分布

N(,0.12)。现在随机抽取10个电阻,测得它们的电阻值为:9.9,10.1,10.2,9.7,9.9,9.9,10.0,10.5,10.1,10.2.

问:从样本看，能否认为该厂生产的电阻的平均值就是

=

10

欧姆?第二页，共四十三页，2022年，8月28日原假设的对立面是

“

X

的均值

μ≠10”，称为

“对立假设”

或

“备择假设”，记成

“H1:μ

≠10”。即H0：μ

=10；H1：μ≠10.在数理统计中，把

“

X的均值

μ

=10”

这样一个待检验的假设记为

“原假设”

或

“零假设”,记成“H0：μ

=10”。1.原假设和备择假设第三页，共四十三页，2022年，8月28日于是，我们就得到如下检验准则:2:寻找检验统计量是临界值。第四页，共四十三页，2022年，8月28日为原假设

H0

的拒绝域。第五页，共四十三页，2022年，8月28日用以上检验准则处理我们的问题，所以，接受原假设

H0:μ=10。

第六页，共四十三页，2022年，8月28日因为，当原假设是

H0:μ=10

成立时，所以，当

很小时，若

H0

为真(正确),则检验统计量落入拒绝域是一小概率事件

(概率很小，为

)。前面我们曾提到：“通常认为小概率事件在一次试验中基本上不会发生”。3.方法原理

那么，如果小概率事件发生了，即:发生,就拒绝接受

H0成立第七页，共四十三页，2022年，8月28日4.两类错误与显著性水平

“弃真”的错误（第一类错误）：H0是正确的，但检验结果是被我们拒绝了。“取伪”的错误（第二类错误）：H0

是不正确的，但检验结果被我们接受了。因为检验统计量总是随机的，所以，我们总是以一定的概率犯以上两类错误。且不可避免的会犯到这两类错误。第八页，共四十三页，2022年，8月28日通常用

α

和

β

记犯第一、第二类错误的概率，即

在检验问题中，犯“弃真”和“取伪”两类错误都总是不可避免的，并且减少犯第一类错误的概率，就会增大犯第二类错误的概率;反之亦然。所以，犯两类错误的概率不能同时得到控制。第九页，共四十三页，2022年，8月28日控制犯第一类错误的概率而做的检验叫做显著性水平检验法。一般事先选定一个数

(0<<1)，要求犯第一类错误的概率不超过

。称

为假设检验的显著性水平，简称水平。犯第二类错误的概率的计算超出了课程的学习范围。因此，不作讨论。第十页，共四十三页，2022年，8月28日§2正态总体均值的假设检验一单正态总体

N(,2)均值

的检验1.双边检验H0:μ

=

μ0；H1:μ≠μ01)假设

2已知，第十一页，共四十三页，2022年，8月28日2)2未知,以上检验法称作

U

检验法。第十二页，共四十三页，2022年，8月28日此检验法称作

t

检验法。第十三页，共四十三页，2022年，8月28日解：n=10,=0.05,0=10，

t10-1(

/2)=t9(0.025)=2.2622，例1(续例

1):假设2未知，检验所以，接受原假设H0:μ

=10.H0:

μ

=10；H1:

μ≠10.第十四页，共四十三页，2022年，8月28日注：单边检验H0:μ=μ0;H1:μ

>μ0

，或H0:μ

=μ0;H1:μ

<μ0

例如：工厂生产的某产品的数量指标服从正态分布，均值为

μ0；采用新技术或新配方后，产品质量指标还服从正态分布，但均值为

。我们想了解“是否显著地大于μ0”,即产品的质量指标是否显著地增加了。第十五页，共四十三页，2022年，8月28日如果μ=μ0，即原假设成立，则就不应太大；反之，如果过大，就认为原假设不成立。在2已知情况下：当原假设

成立时，对检验H0:μ=μ0;H1:μ

>μ0

，第十六页，共四十三页，2022年，8月28日在2未知情况下，当原假设成立时，第十七页，共四十三页，2022年，8月28日例2：某厂生产一种工业用绳,其质量指标是绳子所承受的最大拉力，假定该指标服从正态分布，且该厂原来生产的绳子指标均值

μ0

=15公斤，采用一种新原材料后,厂方称这种原材料提高了绳子的质量，也就是说绳子所承受的最大拉力

μ比15公斤增大了。

为检验该厂的结论是否真实，从其新产品中随机抽取50件，测得它们所承受的最大拉力的平均值为15.8公斤，样本标准差S=0.5公斤。取显著性水平

=0.01。问从这些样本看：能否接受厂方的结论。第十八页，共四十三页，2022年，8月28日解：问题归结为检验如下假设H0:μ

=15;H1:μ>15(2未知)于是，从而，拒绝原假设，即认为新的原材料确实提高了绳子所能承受的最大拉力。第十九页，共四十三页，2022年，8月28日二、两个正态总体N(1,12)和

N(2,22)

均值的比较例如：比较甲、乙两厂生产的某种产品的质量。将两厂生产的产品的质量指标分别看成正态总体

N(1,

12)

和

N(2,

22)。比较它们的产品质量指标的问题，就变为比较这两个正态总体的均值

1和

2的的问题。第二十页，共四十三页，2022年，8月28日1.H0:1=2;

H1:1≠2

1）当12

和

22

已知时，有当H0:

1=2为真时，

第二十一页，共四十三页，2022年，8月28日故，拒绝域为第二十二页，共四十三页，2022年，8月28日2）在12=22=2，2未知情况下，有当

H0:1=2

为真时，有第二十三页，共四十三页，2022年，8月28日拒绝域为从而

第二十四页，共四十三页，2022年，8月28日上面，我们假定12=22。当然，这是个不得已而强加上去的条件，因为如果不加此条件，就无法使用简单易行的t检验。在实用中，只要我们有理由认为12和22相差不是太大，往往就可使用上述方法。通常是：如果方差比检验未被拒绝(见下节),就认为12和22相差不是太大。

说明第二十五页，共四十三页，2022年，8月28日例3：假设有A和B两种药，欲比较它们在服用2小时后在血液中的含量是否一样。对药品A，随机抽取8个病人服药，服药2小时后，测得8个病人血液中药物浓度(用适当的单位)分别为:

1.23,1.42,1.41,1.62,1.55,1.51,1.60,1.76.对药品B，随机抽取6个病人服药，服药2小时后，测得血液中药的浓度分别为:

1.76,1.41,1.87,1.49,1.67,1.81.假定这两组观测值抽自具有共同方差的两个正态总体，在显著性水平=0.10下，检验病人血液中这两种药的浓度是否有显著不同?第二十六页，共四十三页，2022年，8月28日故，接受原假设。即,认为病人血液中这两种药浓度无显著差异。解：问题就是从总体N(1,2)和N(2,2)中分别抽取样本X1,X2,…,X8和Y1,Y2,…,

Y6，样本均值和样本方差分别为：第二十七页，共四十三页，2022年，8月28日与1.的分析完全类似，可以得到:2.单边检验H0:1≥2;H1:1<2

●12和22已知情况下，H0的拒绝域为●12与22未知，但二者相等情况下，H0的拒绝域为第二十八页，共四十三页，2022年，8月28日与1.的分析完全类似，可以得到:3.单边检验H0:1≤2;H1:1＞2

●12和22已知情况下，H0的拒绝域为●12与22未知，但二者相等情况下，H0的拒绝域为第二十九页，共四十三页，2022年，8月28日利用样本方差

S

2是2的一个无偏估计，且(n-1)S2/

2~χ

2n-1

的结论。一、单个正态总体方差的

χ

2检验

设

X1,X2,…,Xn为来自总体

N(

,2)

的样本，

和

2未知，求下列假设的显著性水平为

的检验。思路分析:1.H0:2=02；H1:2≠02

§3正态总体方差的检验第三十页，共四十三页，2022年，8月28日上述检验法称为2

检验法。第三十一页，共四十三页，2022年，8月28日2.H0:2=02；H1:2>02

同理，当

H0:2=02成立时，有，此检验法也称2检验法。3*.H0:2≤02；H1:2>02(同2.)第三十二页，共四十三页，2022年，8月28日例1：某公司生产的发动机部件的直径(单位:cm)服从正态分布，并称其标准差0=0.048。现随机抽取5个部件，测得它们的直径为

1.32,1.55,1.36,1.40,1.44.取=0.05，问:(1).能否认为该公司生产的发动机部件的直径的标准差确实为=0?(2).能否认为

≤0?解:

(1).的问题就是检验

H0:2=02;H1:2≠02.其中，n=5，=0.05，0=0.048.第三十三页，共四十三页，2022年，8月28日故，拒绝原假设

H0，即认为部件直径标准差不是

0.048

cm。经计算，得S2=0.00778,第三十四页，共四十三页，2022年，8月28日故，拒绝原假设

H0，即认为部件的直径标准差超过了

0.048cm。(2).的问题是检验

H0:2≤02

;H1:2>02.第三十五页，共四十三页，2022年，8月28日

该检验主要用于上节中实施两样本t

检验之前，讨论

12

=22

的假设是否合理。二、两正态总体方差比的

F

检验1.H0:12

=22；H1:12

≠22.

设X1,X2,…,Xm和Y1,Y2,…,

Yn

分别为抽自正态总体

N(1,12)和

N(2,22)的样本,欲检验第三十六页，共四十三页，2022年，8月28日我们可得第三十七页，共四十三页，2022年，8月28日特别地，当H0:12

=22成立时，

S12/S22～Fm-1,n-1.第三十八页，共四十三页，2022年，8月28日2.H0:

12

=22；H1:

12

>22

同理，当

H0:12

=22成立时，有S12/S22～Fm-1,n-1，第三十九页，共四十三页，2022年，8月28日例4：甲乙两厂生产同一种电阻，现从甲乙两厂的产品中分别随机地抽取12个和10个样品,测得它们的电阻值后，计算出样本方差分别为S12=1.40，S22=4.38。3.H0:12

≤22；H1:12

>22结论同

2。以上检验都用到了F分布，因此称上述检验为

F

检验。

假设两厂生产的电阻的值分别服从正态分布

N(1,12)和

N(2,22)。第四十页，共四十三页，2022年，8月28日在显著性水平

=0.10下,是否可接受：(l).12

=22；(2).12≤22.解：(1).的问题是检验

H0:12

=22；H1:12

≠22.其中，m=12,n=10,α

=0.10,S12=1.40,S22=4.38,S12/S22=0.32。利用第六章学过的第四十一页，