高等数学D96几何中的应用课件

二、空间曲线的切线与法平面第六节一、一元向量值函数及其导数三、曲面的切平面与法线

多元函数微分学的几何应用第九章3/16/2023同济版高等数学课件一、一元向量值函数及其导数引例:已知空间曲线的参数方程:的向量方程对上的动点M,即是此方程确定映射,称此映射为一元向量的终点M

的轨迹,此轨迹称为向量值函数的终端曲线.值函数.要用向量值函数研究曲线的连续性和光滑性，就需要引进向量值函数的极限、连续和导数的概念.3/16/2023同济版高等数学课件定义:给定数集D

R,称映射为一元向量值函数（简称向量值函数）,记为定义域自变量因变量向量值函数的极限、连续和导数都与各分量的极限、连续和导数密切相关,进行讨论.极限：连续：导数：严格定义见P91因此下面仅以n

=3的情形为代表3/16/2023同济版高等数学课件例1.设解：3/16/2023同济版高等数学课件向量值函数导数的几何意义:在R3中,设的终端曲线为,切线的生成点击图中任意点动画开始或暂停表示终端曲线在t0处的切向量,其指向与t的增长方向一致.,则设3/16/2023同济版高等数学课件向量值函数导数的物理意义:设表示质点沿光滑曲线运动的位置向量,则有

速度向量：加速度向量：3/16/2023同济版高等数学课件例3.一人悬挂在滑翔机上,受快速上升气流影响作螺求旋式上升,其位置向量为(1)滑翔机在任意时刻t的速度向量与加速度向量;(2)滑翔机在任意时刻t的速率;(3)滑翔机的加速度与速度正交的时刻.解:(1)(3)由即即仅在开始时刻滑翔机的加速度与速度正交.3/16/2023同济版高等数学课件二、空间曲线的切线与法平面过点M与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面.置.空间光滑曲线在点M处的切线为此点处割线的极限位给定光滑曲线在点法式可建立曲线的法平面方程利用点M(x,y,z)处的切向量及法平面的法向量均为点向式可建立曲线的切线方程3/16/2023同济版高等数学课件1.曲线方程为参数方程的情况因此曲线在点M处的则在点M的导向量为法平面方程给定光滑曲线为0,切线方程3/16/2023同济版高等数学课件2.曲线为一般式的情况光滑曲线曲线上一点,且有可表示为处的切向量为3/16/2023同济版高等数学课件则在点切线方程法平面方程有或3/16/2023同济版高等数学课件也可表为法平面方程(自己验证)3/16/2023同济版高等数学课件法平面方程即解法2方程组两边对x求导,得曲线在点M(1,–2,1)处有:切向量解得3/16/2023同济版高等数学课件切线方程即法平面方程即点M(1,–2,1)处的切向量3/16/2023同济版高等数学课件三、曲面的切平面与法线

设有光滑曲面通过其上定点对应点M,切线方程为不全为0.则

在且点M的切向量为任意引一条光滑曲线下面证明:此平面称为在该点的切平面.

上过点M的任何曲线在该点的切线都在同一平面上.3/16/2023同济版高等数学课件曲面

在点M的法向量:法线方程切平面方程过M点且垂直于切平面的直线称为曲面在点M的法线.3/16/2023同济版高等数学课件曲面时,则在点故当函数法线方程令特别,当光滑曲面

的方程为显式

在点有连续偏导数时,切平面方程法向量3/16/2023同济版高等数学课件法向量用将法向量的方向余弦：表示法向量的方向角,并假定法向量方向分别记为则向上,复习3/16/2023同济版高等数学课件例7.确定正数

使曲面在点解:二曲面在M点的法向量分别为二曲面在点M相切,故又点M在球面上,于是有相切.与球面,因此有3/16/2023同济版高等数学课件1.空间曲线的切线与法平面

切线方程法平面方程1)参数式情况.空间光滑曲线切向量内容小结3/16/2023同济版高等数学课件空间光滑曲面切平面方程法线方程2)显式情况.法线的方向余弦法向量3/16/2023同济版高等数学课件

作业

P992(1)，4，5,6，8，10，123/16/2023同济版高等数学课件思考与练习1.如果平面与椭球面相切,提示:设切点为则(二法向量平行)(切点在平面上)(切点在椭球面上)3/16/2023同济版高等数学课件证明曲面上任一点处的切平面都通过原点.提示:在曲面上任意取一点则通过此2.设f(u)可微,第七节证明原点坐标满足上述方程.点的切平面为3/16/2023同济版高等数学课件备用题

1.

证明曲面与定直线平行,证:曲面上任一点的法向量取定直线的方向向量为则(定向量)故结论成立.