2019-2020学年八年级数学上册-勾股定理例题精讲与同步练习学案北师大版

2019-2020学年八年级数学上册《勾股定理》例题精讲与同步练习学案1北师大版【基础知识精讲】勾股定理是指在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，它建立了直角三角形三边的等量关系，是求线段长度的又一重要工具，同时，在一般三角形中求线段长时，可考虑通过作高转化为直角三角形，再利用勾股定理来计算相关线段长.利用勾股定理解决问题时常用到分解因式、列方程计算等代数解法.【重点难点解析】本节重难点在于熟练掌握定理内容并运用定理解决有关线段的计算问题.例1直角三角形两直角边长为5,12,求斜边上的高.分析利用勾股定理先求斜边，再用面积公式求斜边的高.解设直角边a=5,b=12,斜边为c,斜边高为h,,.,a2+b2=c2.■7-一1 1c==13■7-一1 1c==13+122=13.又5ab=5chabh=—=5x12136013例2直角三角形三边长为连续偶数，求三边的长.分析三边长为连续偶数，可分别设为a,a+2,a+4,显然a+4为斜边，再利用勾股定理列方程.注意a为偶数.若求出的结论中a可以取奇数值，则舍去.解设三边长为a,a+2,a+4(a为偶数且a>0),斜边最长为a+4.由勾股定理a2+(a+2)2=(a+4)2a2-4a-12=0.(a-6)(a+2)=0Va>0.\a+2>0,a-6=0a=6.三边为6,8,10.例3等腰三角形顶角为120°,求底与腰的比.(图3.16-1)图3.16-1分析合理的作高，将斜三角形的问题转化到直角三角形中，再利用勾股定理来解决问题是一种常用的方法，也是本题的基本思路.BC解4ABC中，AB=ACNBAC=120°,求.•「AB=AC,NBAC=120°ABAZB=ZC=30°，作AD^BC于D,；.BD=DC.Rt^ABD中，ZB=30°,ZADB=90°,AAD=1AB.2BD2;AB2-AD2;AB2-1AB2=3AB24 4ABD=总AB,BC='ABD=总AB,BC='v;3AB,BCAB例4已知CD为RtAABC斜边上的高(图3.16-2),求证(1)CD?二AD-DB(2)AOAD・AB(3)BOBD・AB分析本题中有三个直角三角形RtAACD,Rt^BCD,RtAABC,合理利用这些直角三角形,用勾股定理建立边的关系，再利用代数变形得结论是本题的基本思路.证(1);CD为RtAABC斜边上的高.AAACD,4BCD均为直角三角形AD2+CD2=AC2①BD2+CD2=BC2②①+②AD?+BD?+2CD2=AOBC2:AB口(AD+DB)2=A»+BD2+2AD・BD..,.2CD2=2AD・BD.*.CD2=AD・BD.⑵：AOA»+C»由(1)CD2=AD・DB./.AC2=AD2+AD-DB=AD(AD+DB)=AD・AB.BC2=BD2+CD2由⑴CD?二AD・DB.*.BC2=BD2+AD・BD=(BD+AD)・BD=AB・BD.注:本例的三个结论又称“射影定理”【难题巧解点拨】例1RtAABC的一条直角边长BC=5,另两边为自然数，AD为角平分线，求AD的长,图(3.16-3)图3.16-3分析本例首先要求出4ABC的三边，考虑到AB、AC为自然数，求三边即求方程AC2+25=AB?的正整数解，直接求不好着手，可将上式变形为(AB+AC)(AB-AC)=25,利用两自然数的和、差同奇偶来求出AB,AC,求出三边后，再求AD,考虑AD为角平分线到角两边距离相等，作DELAB于E,则DODE,再利用RtAABC,RtAACD,RtAAED,Rt^BED中的三边关系，利用勾股定理合理列出方程来求出AD的长.解设AC=bAB=c.则b,c为自然数且c?-日=5?(c+b)(c-b)=25.V25=25X1=5X5.Vb>0.*.c+b>c-b且c+b,c-b均为正整数.\c+b=25fc=13・•.《7 1 <.过D作DELAB于E.为角平分线\c-b=1 /?=12/.DE=DC.在Rt^ADE和Rt^ADC中，DE=DCDA=DA

.*.AC=AE=12.AB=13.*.BE=1.设CD=DE=xBD=y.(y+x)(y-x)=i12x- 513y=12x- 513y=—51212AD2=AC2+CD2=(y)2+122=(y)2*26.AAD=£V'26.本题综合性强，先利用AC,AB为自然数，利用勾股定理求出另两边，再利用角平分线性质作出DEXAB于E.制造RtABDE.进而到方程求出AD的长.例2AABC中，BC=a,CA=bAB=cZBAC=120°（图3.16-4），求证a2=b2+c2+bc.图3.16-4分析将斜三角形问题通过作高巧妙地转化为直角三角形，利用勾股定理解决有关边的计算问题是常用办法之一.证作CDLAB交BA延长线于D,NBAC=120°,・'.NCAD=60°,ZD=90°,.\AD=1AC=.\AD=1AC=1b.

2 2CD=b.在RtACDB中1a21a2=(2b)2+(2b+c)2=—b2+—b2+bc+c2=b2+c2+bc.4 4【课本难题解答】P116复习题三8组3如图3.16-5,折叠长方形的一边AD,使D落在BC上的点F处，已知48=8BC=10求EC.图3.16-5解VD落在F处,\AADE^AAEF.DE=EF.AF=AD=BC=10AB=8・•・BF=6FC=4.设EC=x则FE=DE=8-x在Rt△CEF中，NC=RtN.EC2+FC2=EF2x2+16=(8-x)2x=3AEC=3.

【命题趋势分析】本节定理常结合三角形及直角三角形相关知识加以运算.将勾股定理作为求线段长度的重要方法一，利用特殊直角三角形(30°,60°,90°)的直角三角形.等腰直角三角形的三边特殊的比例关系，通过作高来解决含特殊角(30。，45。，60°,75°等)的斜三角形问题，是考试中经常出现的考题.【典型热点考题】例1已知Rt^ABC中，NC=RtN.求证：⑴若NA=30°,则BC：CA：AB=1：J5：2;⑵若NA=45°,则BC：CA：AB=1：1：&解(1)VZC=RtZZA=30°ABC=1ABBC2+CA2;AB22・•.CA=、A&-BC2=v4BC2-BC2=、、3BCABC：CA：AB=1：<3：2.(2)ZC=RtZZA=45° .\ZB=45° CA=CB.AB2=CA2+CB2=2BC2A.AB=X2CBABC：CA：AB=1：1：v;2［点评］上述两特殊三角形中的三边的特殊比，在以后解决线段长问题中经常运用，请大家记住这两组比.例2AD例2如图3.16-6,4ABC中NC=90°,AC=BC,D在AC上，且NDBC=30°,求——AB分析三角(30°可设某个量为单位1,,60°,90°)(45°,45是一种常用的方法.解设AC=BC=1,ZC=90°分析三角(30°可设某个量为单位1,,60°,90°)(45°,45是一种常用的方法.解设AC=BC=1,ZC=90°AAB=<2.VZDBC=30°ABC=<3DC=AC,例如设AC=BC=1,再利用直角三角形勾股定理及特殊直角1,90°)的三边特殊比，求出所需线段长，最后得出结论，J3 3--<3AD=AC-DC=AC--AC=-3—3-v'3 _.AD_ 3 _37--<6^~DB~~~/2 6'例3如图3.16-7AC、BD交于O,且相互垂直平分，若AC：AB=48:25,求BD:DC.解VAC：AB=48：25,设AC=48k,AB=25k(k>0).•「AC,BD相互垂直平分于O.•・OA=OC=24kOB=OD=-BD.CD2=OC2+OD2=OA2+OB2=AB2CD=25kRt^COD中，OC=24k,DC=25k.•.OD=\：(25k)2-(24k)2=7k.•・BD=14kABD：DC=14k：25k=14：25点评遇到线段比时，常利用设一个参数k,将线段进行量比，以方便有关线段的计算.【同步达纲练习】一、判断(4分X6=24分)()1.直角三角形直角边长为6,8,则斜边上的高为2.4.()2.直角三角形两边为1,2则另一边为v：3.()3.两直角边的比为1:<3的直角三角形三内角比为1：2：3.()4.等腰直角三角形斜边中线与直角边的比为-v2：1.()5.面积为12,底边为6的等腰三角形腰长为5.()6.高为h的等边三角形面积为2&h2.二、选择(5分X6=30分).周长为24,斜边长为10的直角三角形面积为()A.12 B.16 C.20 D.24.4ABC中，NC=90°,ZA=30°,M为AB中点，MDLAB交AC于D.若DM=7,则BC长为()A.7B.14C.7V,3A.7B.14C.7V,3D.14<3图图3.16-8.直角三角形锐角平分线分对边为15和25两部分，则斜边长为（）A.50 B.60 C.70 D.80.三角形内角比为1：2：3,,则三边长度比为（）A.1：2：3B.1：：：2C.1：：:<3D.1:霹:3.直角三角形斜边上的高分斜边为1：2两部分，则三条高的比为（）A.1:<2:2B.<2：■<3:<6C.1:、；2:<3D.■理：<3:2.顶角为150°的等腰三角形，腰上的高与腰的比为（）A.1：2 B.1：33 C.<3：2 D.1：3三、填空（5分X6=30分）.已知线段a,求作线段v13a时，可分别以2a和为直角边作直角三角形，斜边即为所求..等腰直角三角形直角边长为1,则斜边长为..等边三角形边长为2,则面积为..CD为Rt^ABC斜边上的高，AB=13,AC=12,则CD=..周长为30,面积也为30的直角三角形斜边中线长为..两直角边之和为14,斜边长为12的直角三角形斜边上的高是.四、解答题（8分X2=16分）.计算:Rt^ABC中，NC=RtN,CD，AB于D,M为AB中点，MD=CD,求NB..△ABC中，D为BC上一点，且AB=AD,求证AC2-AB2:BC・DC.【素质优化训练】1.若a,b,c,为Rt△ABC三边的长，c为斜边长，斜边上的高为h.求证c+h>a+b.2.4ABC中，AB=18,BC=17,AC=18,P为形内一点，PDLBC于D.PELAC于E.PFLAB于F,且BD+CE+AE=27,求BD+BF的值.【生活实际运用】（如图3.16-8）某校A与直线公路距离为3000米，又与该公路上某车站D的距离为5000米，现要在公路边建一个小商店C,使之与学校A及车站D的距离相等，那么，该店与车站D的距离是多少米？【知识探究学习】

利用勾股定理求线段长：若求直角三角形的边长，可由勾股定理列出含待求线段的等式即含待求线段的方程，设法解这个方程.请旅完作业后再冷答案！0参考答案：【同步达纲练习】一、XXJXJ义13 135,y6•石13 135,y6•石k6 60三、1.3a2.J23.V34.—13.VCDXABCD=MDZCMB=45°又CM=MBZB=67.5.作AEXBD于E,*.*AB=AD.\ED=EB..\AC2-AB2=(EC2+AE2)-(EB2+AE2)=(EC+EB)(EC-ED)=BC•DC【素质优化训练】.*.*a2+b2=c2ab=ch(a+b)2=a2+b2+2ab=c