2022年沪科版八年级数学下册第18章 勾股定理章节测评练习题(含详解)

八年级数学下册第18章勾股定理章节测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在4ABC中，NA=90°,AB=6,BC=10,EF是BC的垂直平分线，P是直线EF上的任意A．6 B．8 C．10 D．122、如图，以数轴的单位长度为边作正方形，以数轴上的原点。为圆心，正方形的对角线的长为半径作弧与数轴交于一点A,则点A表示的数为（）A.1 B.<2 C.<3 D.23、如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它被第24届国际数学家大会选定为会徽，是国际数学界对我国古代数学伟大成就的肯定.“弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形的两条直角边分别为a、b,大正方形边长

为3,为3,小正方形边长为1,那么ab的值为（ ）4、如图，在长方体透明容器（无盖）内的点B处有一滴糖浆，容器外A点处的蚂蚁想沿容器壁爬到容器内吃糖浆，已知容器长为5cm,宽为3cm,高为4cm,点A距底部1cm,请问蚂蚁需爬行的最短距离是（容器壁厚度不计）（）离是（容器壁厚度不计）（）A.3y17cm B.、：65cm C-5Y5cm D."13cm5、如图，将长方形纸片ABCD沿AE折叠，使点D恰好落在BC边上点F处，若AB=3,AD=5,则EC的长为（）53A.53A.1 B.3 C.2D.6、如图，A,B两地距公路l的距离分别为AC、BD,BD=4km,小华从A处出发到公路l上的点P处取一物品后去到B处，全程共18km,已知PC=5km,PD=3km,则A处距离公路l（AC）（ ）

A．64 B．16 C．8 D．48、如图，四边形ABCD中，NB=90°,CD=2,AE平分/BAD,DE平分NADC,NAED=120°,设ABA.x+y+3 B.x+—y+2 C.x+1y+2 D.x+y+<32 29、如图，点A在点。的北偏西30。的方向5km处，ABOA.根据已知条件和图上尺规作图的痕迹判断,下列说法正确的是（）A.点B在点A的北偏东30。方向5km处B.点B在点A的北偏东60。方向5km处C.点B在点A的北偏东30。方向5J3km处D.点B在点A的北偏东60。方向5<3km处10、如图，四棱柱的高为9米，底面是边长为6米的正方形，一只蚂蚁从如图的顶点A开始，爬向顶点B.那么它爬行的最短路程为（ ）BA LA.10米 B.12米 C.15米 D.20米第II卷（非选择题70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、在Rt^ABC中，NC=90°,AC=3,BC=1,以AB为边做等腰直角三角形ABD,点D、C在直线AB两旁，则线段CD长是.

2、将一副三角尺如图所示叠放在一起，点A、C、D在同一直线上，AE与BC交于点F,若AB=14cm,贝UAF=cm.3、如图，在等腰Rt^ABC中，NABC=90°,点D为AC上的一点，AD=3CD=3*5，连接BD,作等腰Rt^BDE,且NEBD=90°,则线段DE的长为.4、如图，在一次夏令营活动中，小明从营地A出发，沿北偏东60方向走了50。3m到达B地，然后再沿北偏西30。方向走了50m到达目的地C,则A、C两地之间的距离为m.5、在4ABC中，AB=AC=12,NA=30°,点E是AB中点，点D在AC上，DE=3、①，将4ADE沿着DE翻折，点A的对应点是点F,直线EF与AC交于点G,那么4DGF的面积=.

三、解答题(5小题，每小题10分，共计50分)1、已知4,b,c满足|a-V8|+工b—5+(c-<18)2=0(1)求a,b,c的值；并求出以a,b,。为三边的三角形周长;(2)试问以a,b,c为边能否构成直角三角形？请说明理由.2、如图，在RtAABC中，/ACB=90。,AB=10,AC=6.AD平分/CAB交BC于点D.(1)求BC的长;(2)求CD的长.(1)如图1,若/ACB=90。，Z^AD=60。，BD=AC,AP=、回，求AB的长;(2)过点D作DE〃AC，交ap的延长线于点E,如图2所示，若ZCAD=60。，BD=AC,求证:BC=2AP;(3)如图3,若Z^AD=45。，是否存在实数m,使得当BD=mAC时，BC=2AP?若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由.4、如图，在平面直角坐标系xoy中，^QAB的顶点。是坐标原点，点A在第一象限，点B在x轴的正半轴上，ZQAB=90。且OA=AB,QB=6，点C是直线OC上一点，且在第一象限，QB,QC满足关系式QB+V10QC=26.(1)请直接写出点A的坐标；(2)点P是线段OB上的一个动点(点P不与点O重合)，过点P的直线l与x轴垂直，直线l交边QA或边AB于点Q,交OC于点R.设点P的横坐标为t,线段QR的长度为m.当t=6时，直线l恰好过点C.①求直线OC的函数表达式；②当m=3时，请直接写出点P的坐标；4-参考答案-一、单选题1、B【分析】如图，由线段垂直平分线的性质可知PB=PC,则有PA+P氏PA+PC,然后可知当点A、P、Cm点共线时，PA+PB取得最小值，即为AC的长.【详解】解：如图，连接PC,B F C・・EF是BC的垂直平分线，・.PB=PC,・・PA+PB=PA+PC,・・PA+PB的最小值即为PA+PC的最小值，当点A、P、C三点共线时，PA+PB取得最小值，即为AC的长，•.在Rt^ABC中，NA=90°,AB=6,BC=10,由勾股定理可得:AC=JBC2—AB2=8，•・PA+PB的最小值为8；故选B.【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质及勾股定理，熟练掌握垂直平分线的性质及勾股定理是解题的关键.2、B【分析】先根据勾股定理求出正方形对角线的长，然后根据实数与数轴的关系解答即可.【详解】解：由勾股定理得：OA=OB=V12+12=22，・・O点表示的原点，••点A表示的数为%5,故选B.B【点睛】本题考查了勾股定理，以及实数与数轴，主要是数轴上无理数的作法，需熟练掌握.3、B【分析】根据大正方形的面积是9,小正方形的面积是1,可得直角三角形的面积，即可求得ab的值.【详解】解：・大正方形边长为3,小正方形边长为1,•大正方形的面积是9,小正方形的面积是1,・•・一个直角三角形的面积是(9-1);4=2,又•・•一个直角三角形的面积是1ab=2,2/.ab=4.故选：B.【点睛】本题考查了与弦图有关的计算，还要注意图形的面积和a,b之间的关系.4、D【分析】将点A沿着它所在的棱向上翻折至点4处，分如图(见解析)所示的三种情况讨论，分别利用化曲为直的思想和勾股定理求解即可得.【详解】解：如图，将点A沿着它所在的棱向上翻折至点4处，则新长方体的长、宽、高分别为5cm,3cm,7cm，AB=<(4+3)2+(5+3)2=v;T13cm，1AB=《(5+4+3)2+32=<T53=3<T7cm，2AB=、''(3+4+3)2+52=<125=5<5cm，3•「kTT3<vT25<V153，・•・蚂蚁需爬行的最短距离是vTTsCm,故选：D.【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确分三种情况讨论是解题关键.5、D【分析】由翻折可知：AD=AF=5.DE=EF,设EC=x，则DE=EF=3-x.在Rt^ECF中，利用勾股定理构建方程即可解决问题.【详解】解：•・•四边形ABCD是矩形，，AD=BC=5,AB=CD=3,・.NB=NBCD=90°,由翻折可知：AD=AF=5,DE=EF,设EC=x，则DE=EF=3-x.在RtAABF中，BF=、jaf2-AB2=及-3=4,・・CF=BC-BF=5Y=1,在Rt△EFC中，EF2=CE2+CF2,/.(3x)2—X2+I2,x=4x，34・・EC=4.3故选：D.【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握方程的思想方法是解题的关键.6、B【分析】由题意根据勾股定理先求出BP,进而得出AP并根据勾股定理即可得出AC的长.【详解】解：•・•BD=4km,PD=3km,BD±PD,；・BP=、:BD2+PD2=V42+32=5km,;AP+BP=18km,•・AP=18—5=13km,・•PC=5km,AC1CP,；・AC=APP2—PC2=<132—52=12km.故选：B.【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理即a2+b2=c2进行分析是解题的关键.7、C【分析】根据勾股定理求出正方形A的面积，根据算术平方根的定义计算即可.【详解】解：由勾股定理得，正方形A的面积=289—225=64,•・字母A所代表的正方形的边长为,••石=8,故选：C.【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么a2+b2=C2.8、B【分析】在AD上截取AG=AB,DH=DC,连接EG、EH,证明^ABE艺△AGE(SAS),^DEH艺△DEC(SAS),由全等三角形的性质得出BE=GE,NAEB=NAEG,CE=HE,NCED=NHED,证明4EGH是含30度角的直角三角形，根据勾股定理即可得出结论.【详解】解：如图，在AD上截取AG=AB=x,DH=DC,连接EG、EH,・・AE平分/BAD,・・NBAE=NGAE,在^ABE和AAGE中，AB=AG</BAE=/GAE,AE=AE••.△ABE之AAGE(SAS),，NAEB=/AEG,NAGE=NB=90°,〈DE平分NADC,同理可证：△DEH/ZkDEC(SAS),・・.NDEH=NDEC,EH=EC=y,VZAED=120°,ZAEB+ZCED=180°-120°=60°,/.ZAEG+ZHED=60°,/.ZGEH=60°,VZEGF=90°,.\ZEHG=30o,/.EG=—EH=—y,2 2GH=《EF2GE2=~~y，AD=AG+GH+HD=x+立y+2.2-故选：B.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键.9、D【分析】过A作AC〃0M交0N于C,作AD〃ON,求出AB及NDAB即可得到答案.【详解】过A作AC〃OM交0N于C,作AD〃ON,如图:北VZMON=90°,ZAOC=30°,・.NAOM=120°,由作图可知，OB平分NAOM,Z.ZAOB=1NAOM=60°,2・・NB=30°,在Rt△AOB中，OB=2OA=10,AB=\：OB2—OA2=5久，ZAOC=30°,ZACO=90°,,.NCAO=60°，・.NDAB=90°-NBAC=NCAO=60°,・・B在A北偏东60°方向5v3km处，故选：D.【点睛】本题考查作图-基本作图、方向角、角平分线的作法等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型.10、C将立体图形展开，有两种不同的展法，连接AB,利用勾股定理求出AB的长，找出最短的即可.【详解】解：如图，AB= +152=v261;AB=*.122+92=15,由于15<<261,则蚂蚁爬行的最短路程为15米.故选：C.【点睛】本题考查了平面展开--最短路径问题，要注意，展开时要根据实际情况将图形安不同形式展开，再计算.二、填空题1、5或<17或2v;2【详解】分情况讨论：当NDAB=90°时，当NDBA=90°时，当NADB=90°时，分别画出图形再利用三角形全等和勾股定理可得答案.解：①如图，当NDAB=90°时，过点D作DELAC,交CA的延长线与点E,VZACB=ZDAB=90°,・•.ZBAC+ZABC=ZBAC+ZDAE=90°,・•.NABC=ZDAE,/ABC=/DAE在ZkABC和ZkDAE中，IZACB-ZDEA,AB=ADAAABfeADAE(AAS),/.AE=BC=1,DE=AC=3,CE=3+1=4,；・DC=7cE2+DE2=742+32=5；②如图，当NDBA=90°时，过点D作DFLBC,交CB的延长线与点F,VZACB=ZDBA=90°,・•・ZBAC+ZABC=ZABC+ZDBF=90°,・・・/BAC=/DBF,在△DBF和△ABC中，/DFB=ZBCA

</DBF=ABAC,

DB=AB.-.△DBF^AABC(AAS),・・・DF=BC=1,BF=AC=3,/.CF=3+1=4,・・.DC=4dF2+CF2=42+42=而；③如图，当NADB=90°时，过点D作MN〃AC,分别过C、A作CNUMN于M,作ANLMN于N,・.・NM=NADB=NACB=90°,・•・四边形ACMN是矩形，・•.NBDM+NNDA=ZBDM+ZMBD=90°,・•・NNDA=ZMBD,ZMBD=ANDA在△BDM和ADAN中，INW=NNBD=DA,,.△BDM^ADAN(AAS),・・・MD=NA,DN=BM,设DN=BM=x,；.MD=3-x,AN=MC=x+l,.*.3-x=x+l,解得x=l,二CD=v1mc2+MD2=\2+22=2<2•综上，CD=5或<17或2、、2•【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正确画出图形是解题关键，注意要分情况讨论.2、7<2【分析】求出NAFC=NE=45°,由直角三角形的性质求出AC=7cm,由勾股定理可得出答案.【详解】解：由题意知，NACB=ND=90°,・・CF〃DE,・・/E=45°,・.NAFC=NE=45°,・・AC=CF,・・AB=14cm,NB=30°,.AC=1AB=7cm,2AF=、,；AC2+CF2=7V2（cm）.故答案为：7v2.【点睛】本题主要考查含30度直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握含30度直角三角形的性质及勾股定理是解题的关键.3、2石【分析】先根据三角形全等的判定定理证出△EAB=OCB,再根据全等三角形的性质可得AE=CD=®/BAE=/C=45。,从而可得/DA£=90。，然后在口△A0£中，利用勾股定理即可得.【详解】解：・.・尺他人5c是等腰三角形，且ZA5C=90。，/.AB=CB,ABAC=/C=45。，ZCBD+ZABD=90°,•・•3CD=372，CD=4i，vRt^BDE是等腰三角形，且ZEBD=90°,:.BE=BD,ZABE+ZABD=9Q°,:.ZABE=ZCBD，AB=CB在和△OC5中，］ZABE=ZCBD,BE=BD.,.△EAB=aDCB（SAS）,/.AE=CD=近,ZBAE=ZC=45°，ZDAE=ZBAC+ZBAE=90°,则在口△AZ）£中，DE=VAE2+AD2=J（石）2+（3石）2=2石，故答案为：2百.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，正确找出两个全等三角形是解题关键.4、100【分析】根据题意点C位于点B的西偏北60°方向，再根据平行线的性质可得点人位于点B的西偏南30。方向，从而可得AB^BC,由勾股定理即可求得AC的长.【详解】如图所示，NCBH=30°,ZDAB=60°・・.NBAE=90°-ZDAB=30°,ZCBF=90°-ZCBH=60°•・・FB〃AEAZFBA=ZBAE=30°AZABC=ZCBF+ZFBA=60°+30°=90°在Rt^ABC中，AB=5043m,BC=50m由勾股定理得：AC=、AB2+BC2=J(50v'3)2+502=100(m)故答案为：100【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，关键是知道方位角的含义并得出4ABC是直角三角形.【分析】分两种情况：①如图1,当点D在H点上方时，过点E作EHLAC交AC于点E,过点G作GQLAB交AB于点Q,②如图2,当点D在H点下方时，过点E作EHLAC交AC于点E,过点G作GQLAB交AB于点Q,先求出三角形AEG的AE边上的高6(3和三角形ADE的AD边上的高，根据Sw=2S.aed-S^aeg可分别求出答案.【详解】解：①如图1,当点D在H点上方时，过点E作EHLAC交AC于点E,过点G作GQLAB交AB于点Q,AR C图1・・AB=12,点E是AB的中点，/.AE=—AB=6,2EHXAC,・.NAHE=90°,・・/A=30°,AE=6,AH=弋AE2-EH2=■■■.-62-32=333，DE=3Q,DH=yDE2-EH2=\'(32)2-32=3,・.DH=EH,AD=AH-DH=3<3-3,・・・NEDH=45°,AZAED=ZEDH-ZA=15°,由折叠的性质可知，NDEF=NAED=15°,・・・/AEG=2NAED=30°,naeg=na,・・.AG=GE,VGQXAE,/.AQ=AE=3,2VZA=30°,••.GQ—AG,2GQ2+32—(2GQ)2,，GQ=y/3.S=S,△AEDAFEDAS=2S -S,△DGFAAEDAAEGAS=2XI*©石—3)X3_1x6x6=6石-9.△DGF 2 2②如图2,当点D在H点下方时，过点E作EIUAC交AC于点E,过点G作GQLAB交AB于点Q,A•・・AB=12,点E是AB的中点，AE=上AB=6,2VEH±AC,.\ZAHE=90o,同理求得DH=EH,AH=3W,AD=3百+3,・・.NDEH=45°,・・.NAED=90°-ZA+ZDEH=105°,由折叠的性质可得出NDEF=NAED=105°,/.ZAEG=2ZAED-180°=30°,naeg=na,・・.AG=GE,同①求出GQ=6,VS=2S -S,△DGFAAEDAAEGAS=2xL（3百+3）x3-^x6x百=6石+9.△DGF2 2故答案为：6百—9或6百+9.【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．三、解答题1、(1)a=2&,b=5,c=3*5，周长=5+5<2；(2)不能构成直角三角形，理由见解答.【分析】(1)由非数的性质可分别求得a、b、c的值，进而解答即可；(2)利用勾股定理的逆定理可进行判断即可.【详解】解：(1)V|a-<8|+vb-5+(c-Jl8)2=0./.a-<8=0,b-5=0,c-<18=0,a=2<2,b=5,c=322,••以a,b,c为三边的三角形周长=2、乃+3<2+5=5+5工W；(2)不能构成直角三角形,・・a2+C2=8+18=26,b2=25,a2+C2Wb2,・不能构成直角三角形.【点睛】本题主要考查非负数的性质及勾股定理的逆定理，利用非负数的性质求得a、b、c的值是解题的关键.2、(1)8；(2)3.【分析】

(1)直接利用勾股定理求解即可;(2)作DELAB于E,根据角平分线的性质得DE二DC,利用面积法得到关于CD的方程，求解即可.【详解】解：(1)・・・AB=10,AC=6,・•・BC=AAB2—AC2=V102—62=8；(2)作DELAB于E,•・・AD平分NCAB,・・.DE;DC,*^aabd+^aacd^aabc，1 1 1・•・一X10XDE+—X6XCD=—X6X8,・CD=3.【点睛】本题考查了勾股定理，角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.3、(1)4；(2)见解析；(3)存在，m=.3【分析】(1)根据/ACB=90。，^CAD=60。，可得NB=30°,根据30°直角三角形的性质可得AB=2AC,根据BD=AC,可证aADC是等边三角形，得出AACD=60。，根据P是CD的中点，得出AP±CD.设CP=x，则AC=2x，根据勾股定理(2x>=x2+(瓜)，求x=1(-1已舍去)即可.(2)连接BE，根据DE〃AC,可得/CAP=ZDEP.先证4CPA会△DPE(AAS),再证aBDE是等边三角形，可证4CAB会△EBA(SAS),得出AE=BC即可；(3)存在这样的m,m=x.：2■•作DE〃AC交AP的延长线于E,连接BE，根据点P为CD中点，可得CP=DP,根据DE〃AC,可得NCAP二NDEP,/EDB=ZCAD=45。，先证△APC^^EPD(AAS),得出AE=2AP，当BD=<2AC时，BD=、P2DE，作BF±DE于F,可得BD=、;2DF，可得/EBD=ZEDB=45。，得出BE=DE=AC.再证^ACB会△BEA(SAS),得出BC=AE=2AP即可.【详解】(1)解：•・,ZACB=90。，ZCAD=60。，・・NB=180°-ZCAB-ZACB=180o-90°-60°=30°,•・AB=2AC,;BD=AC,•・AD=AC,?.aADC是等边三角形，•・/ACD=60。.TP是CD的中点，，AP±CD.在RUAPC中，AP=<3,设CP=x，则UAC=2x,•・x2=1,•・x=1(-1已舍去)，•・AB=2AC=4CP=4.（2）证明：如图1,连接•・・DE〃AC,/.ZCAP=ZDEP.在△CP4和△。尸石中，ZCAP=ZDEP<ZCPA=ZDPE,CP=DPAACPA^ADPE(AAS),AAP=EP=-AE,DE=AC.2BD=AC,/.BD=DE.又・・・DE〃AC,Z.Z.BDE=/CAD=60°,・•・△以圮是等边三角形，/.BD=BE,ZEBD=60°.*.•BD=AC,AC=BE.在ACAB和AEBA中，AC=BE</CAB=/EAB,AB=BA.,.△CAB^AEBA(SAS),AE=BC,：.BC=2AP.(3)存在这样的m,m二五.解：如图3,作DE〃AC交ap的延长线于E,连接防,•・•点P为CD中点,.\CP=DP,•・・DE〃AC,AZCAP=ZDEP,ZEDB=ZCAD=45°,在AAPC和AEPD中，/CAP=ZDEPZCPA=ZDPE,CP=DP：.AAPC^AEPD(AAS),，AC=ED,AP=EP,/.AE=2AP,当BD=<2AC时，BD=\2DE，作BF±DE于F,:/EDB=45。，•・BD=v2DF，/.DE=DF.••点E,F重合，•・/BED=90。,，/EBD=ZEDB=45。,BE=DE=AC.在AACB和^BEA中，产二BE<ZCAB=ZEBA,AB=BA,△ACB^ABEA(SAS),,BC=AE=2AP.，存在m=<2，使得BC=2AP.【点睛】本题考查线段中点，等边三角形性质，勾股定理，解一元二次方程，三角形全等判定与性质，等腰直角三角形判定与性质，掌握线段中点，等边三角形性质，勾股定理，解一元二次方程，三角形全等判定与性质，等腰直角三角形判定与性质是解题关键．4、(1)(3,3)；(2)①直线OC的函数表达式为y=1%；②点P坐标为(81,0)或(包,0)；③t3 16 16的值为3-3V10，或3+310)【分析】(1)过A作AD，x轴于点D,根据等腰直角三角形的性质得出OD=OA=3,即可得到A坐标为(3,3)，；(2)①由OB=6，且OB+<10OC=26，可得OC=2<10，在RbBOC中，利用勾股定理求得BC的值，即可得到点C坐标，设出直线OC的函数表达式为丫=卜乂，把(6,2)代入求出k的值，即可得到直线OC的函数表达式；②先求出直线AB的解析式，由题意点得P(t,0),Q(t,t)或(t,1 93T+6),