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文档简介
第九章解析几何
第一节直线和圆
一、选择题
1.(辽宁理,4)已知圆C与直线x-y=0及x—y—4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程
为
A.(x+l)2+(y-l)2=2B.(x-l)2+(y+l)2=2
C.(x-l)2+(y-l)2=2D.(x+l)2+(y+l)2=2
2.(重庆理,1)直线y=x+l与圆》2+产=1的位置关系为()
A.相切B.相交但直线不过圆心C.直线过圆心D.相离
3.(重庆文,1)圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为()
A.x2+(y-2)2=lB./+(y+2)2=l
C.(x-l)2+(y-3)2=lD.x2+(y-3)2=l
4.(上海文,17)点P(4,-2)与圆/+=4上任一点连续的中点轨迹方程是)
A.(x-2)2+(y+l)2=lB.(x-2)2+(y+l)2=4
C.(x+4)2+(y-2)2=4D.(x+2)2+(y-l)2=l
5.(上海文,15)已知直线点伏-3)X+(4-4)),+1=0,与/2:2伏一3)》-2),+3=0,平行,则A得值
是()
A.1或3B.1或5C.3或5D.1或2
6.(上海文,18)过圆C:(x—1)2+(>-1)2=1的圆心,作直线分
别交x、y正半轴于点A、B,A/1O6被圆分成四部分(如图),
若这四部分图形面积满足号+S*=5口+5HI,则直线A8有()
(A)0条(B)1条(C)2条(D)3条
7.(陕西理,4)过原点且倾斜角为60。的直线被圆x2+y2-4y=0所截得的
弦长为
A.V3B.2C.V6D.25/3
二、填空题
8.(广东文,13)以点(2,-1)为圆心且与直线x+y=6相切的圆的方程
是
Y=]+{
9.(天津理,13)设直线/]的参数方程为《一(f为参数),直线4的方程为y=3x+4则/]与4的
y=l+3f
距离为_______
10.(天津文,14)若圆/+>2=4与圆/+>2+2即一6=0(。>0)的公共弦长为2百,则
11.(全国I文16)若直线机被两平行线4:x-y+l=0与,2:x-y+3=0所截得的线段的长为2后,
则机的倾斜角可以是
①15°②30°③45°④60°⑤75°
其中正确答案的序号是.(写出所有正确答案的序号)
12.(全国H理16)已知4C、8。为圆。:/+丁=4的两条相互垂直的弦,垂足为"(1,0上则四边
形ABCD的面积的最大值为o
13.(全国H文15)已知圆。:/+:/=5和点A(1,2),则过4且与圆。相切的直线与两坐标轴围
成的三角形的面积等于
14.(湖北文14)过原点。作圆f+0一6x—8y+20=0的两条切线,设切点分别为只Q,
则线段々的长为o
15.(江西理16).设直线系M:xcos6+(y-2)sin6=l(0wew2i),对于下列四个命题:
A.M中所有直线均经过一个定点
B.存在定点P不在〃中的任一条直线上
C.对于任意整数〃(”23),存在正〃边形,其所有边均在"中的直线上
D.M中的直线所能围成的正三角形面积都相等
其中真命题的代号是(写出所有真命题的代号).
三、解答题
16.(2009江苏卷18)(本小题满分16分)
在平面直角坐标系XSV中,已知圆G:(x+3>+(y—1)2=4和圆G:a—4)2+。—5)2=4.
(1)若直线/过点A(4,0),且被圆C截得的弦长为26,求直
线/的方程;
(2)设P为平面上的点,满足:存在过点P的无穷多对互相垂
直的直线乙和乙,它们分别与圆C和圆C2相交,且直线/|被圆
G截得的弦长与直线4被圆C2截得的弦长相等,试求所有满足
条件的点P的坐标。
一、选择题
1.(2008年全国n理11)等腰三角形两腰所在直线的方程分别为x+y-2=0与x-7y-4=0,
原点在等腰三角形的底边上,则底边所在直线的斜率为().
A.3B.2C.D.---
32
2.(2008年全国n文3)原点到直线x+2y-5=0的距离为()
A.1B.V3C.2D.V5
3.(2008四川4)将直线y=3x绕原点逆时针旋转90°,再向右平移1个单位长度,所得到的直线为
()
111,
A.y=——x+—BD.y=——x+1
333
C.y=3x-3D.y=gx+l
4.(2008上海15)如图,在平面直角坐标系中,Q是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于
点G。的定圆所围成的区域(含边界),4艮G〃是该圆的四等分点.若点P(x,y)、点尸'(x',y')
满足xWx'且yNy',则称夕优于〃.如果C中的点。满足:不存在Q中的其它点优于0,那
么所有这样的点0组成的集合是劣弧()
A.ABB.BCC.CDD.DA
5.(2007重庆文)若直线与圆,+产=1相交于只。两点,且NRM=12O°(其中。为原点),则A
的值为()
A.一6或6B.6C.-血或后D.V2
6.(2007天津文)“。=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=l”的()
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
0.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
7.(2006年江苏)圆(x-+(y+Q)2=1的切线方程中有一个是()
A.x—y=0B.x+y=0C.x=0D.y=0
8.(2005湖南文)设直线的方程是Ax+8),=0,从1,2,3,4,5这五个数中每次取两个不同的数
作为46的值,则所得不同直线的条数是()
A.20B.19C.18D.16
9.(2005全国I文)设直线/过点(一2,0),且与圆V+y2=1相切,则/的斜率是()
A.±1B.±—C.±―—D.±V3
23
10.(2005辽宁)若直线2x—y+c=0按向量Z=(l,—1)平移后与圆x?+产=5相切,贝ijc的值为
()
A.8或一2B.6或一4C.4或一6D.2或一8
11.(2005北京文)“m=!”是“直线(m+2)x+3my+l=0与直线(m—2)x+(m+2)y—3=0相互垂直”的
2
()
A.充分必要条件B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件
二、填空题
12.(2008天津文15,)已知圆,的圆心与点P(-2,1)关于直线y=x+l对称,直线3x+4yTl=0
与圆。相交于A,8两点,且|A8|=6,则圆。的方程为
13.(2008四川文14)已知直线/:x—y+4=0与圆C:a—l『+(y—l)2=2,则C上各点到/的距离
的最小值为一
14.(2008广东理11)经过圆/+2工+>2=0的圆心。,且与直线x+y=0垂直的直线
程是.
15.(2007上海文)如图,A,B是直线/上的两点,且AB=2.两个半径相等的动圆分别与/相切于A,B
点,C是这两个圆的公共点,则圆弧AC,Q5与线段A8围成图形面积S的取值范围
是.
16.(2007湖南理)圆心为(1,1)且与直线x+y=4相切的圆的方程I
A
17.(2006重庆理)已知变量x,y满足约束条件1Wx勺W4,-2Wx-yW2.若目标函数z=ax+y(其中a>0)仅
在点(3,1)处取得最大值,贝必的取值范围为
x-y-2<0
18.(2005江西)设实数x,y满足,x+2y-420,则上的最大值是
X
2y-3<0
第二节圆锥曲线
一、选择题
22
1.(2009全国卷I理)设双曲线=—与=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线y=x'+l相切,则该双曲
a~b~
线的离心率等于()
A.布>B.2C.V5D.V6
2.(2009全国卷1理)已知椭圆。:工+>2=1的右焦点为尸,右准线为/,点Ae/,线段AF交C于
2
点6,若寻=3而,则I布=()
A.\[2B.2C,V31).3
22
3.(2009浙江理)过双曲线4=1(。>。/>0)的右顶点A作斜率为T的直线,该直线与双曲线
ab~
的两条渐近线的交点分别为民C.若丽二」前,则双曲线的离心率是()
2
A.41B.V3C.V5D.V10
22
4.(2009浙江文)已知椭圆0+与=1(。>匕>0)的左焦点为尸,右顶点为A,点B在椭圆上,且
a"b~
轴,直线45交y轴于点尸.若Q=2而,则椭圆的离心率是()
V3V211
A.B.C•-D.一
2232
5.(2009北京理)点尸在直线/:y=x-l上,若存在过产的直线交抛物线y=x?于A,B两点,且
IP4TA6I,则称点P为“K点”,那么下列结论中正确的是()
A.直线/上的所有点都是点”
B.直线/上仅有有限个点是“X点”
C.直线/上的所有点都不是点”
D.直线/上有无穷多个点(点不是所有的点)是“幺点”
22
6.(2009山东卷理)设双曲线4=1的一条渐近线与抛物线y=x?+1只有一个公共点,则双曲线的
a-b-
离心率为().
5亚
A.-B.5C.—D.VF5
42
7.(2009山东卷文)设斜率为2的直线/过抛物线y2=ax(。。0)的焦点尸,且和y轴交于点4,若4
O\F(Q为坐标原点)的血积为4,则抛物线方程为().
A.y=±4xB.V=±8xC.y2=4xD.y2=Sx
8.(2009全国卷n文)双曲线匕=1的渐近线与圆(x—3)2+/=r2。>0)柑切,则行()
63
A.V3B.2C.3D.6
9.(2009全国卷H文)已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C::/=8x相交4、8两点,尸为C的焦
点。若|必|=2产邳,则上()
1V2
A.一Rc口当
33-t
10.(2009安徽卷理)下列曲线中离心率为逅的是
2
2222
A.上上=1Bc.r_ri
Z.£,1=
244246410
x22
11.(2009福建卷文)若双曲线二一点•=1(。>。)的离心率为2,则a等于()
a
A.2B.V3C-1D.1
12.(2009安徽卷文)下列曲线中离心率为的事是(.)
A-白-白
13.(2009江西卷文)设片和F,为双曲线三-2r=1(。>02>0)的两个焦点,若斗F,,尸(0,26)是
ah~
正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为
3c-5
A.—B.2C.—D.3
22
x22
14.(2009江西卷理)过椭圆=+v==l(a>b>0)的左焦点片作x轴的垂线交椭圆于点尸,工为右
ab
焦点,若NaPK=60°,则椭圆的离心率为
A6B百1
A.---D.-
233
15.(2009天津卷文)设双曲线三-勺=1(。>0,%>())的虚轴长为2,焦距为2内,则双曲线的渐
ab-
近线方程为()
A.y=±V2xB.y=±2xC.y=±-^-xD.y=±—x
16.(2009湖北卷理)已知双曲线'—5=1的准线过椭圆?+多=1的焦点,则直线>=履+2与椭
圆至多有一个交点的充要条件是()
A.Kw
C.KeD.Ke
17.(2009四川卷文、理)已知双曲线二—二=1仍>0)的左、右焦点分别是6、F,,其一条渐近
2h2'
线方程为>=%,点P(百,打)在双曲线上则丽•而=()
A.-12B.-2C.0D.4
18.(2009全国卷H理)已知直线)>=Z(x+2)伏>0)与抛物线C:y2=8x相交于A、B两点,F为C
的焦点,若则女=()
1V2272
A.-B.---C.-D.----
3333
22
19.(2009全国卷n理)已知双曲线C:二一与=1(。>0/>0)的右焦点为F,过产且斜率为6的直
a'b~
线交C于4、B两点,若而=4而,则。的离心率为()
6759
A.-B.-C.-D.一
5585
20.(2009湖南卷文)抛物线y2=-8x的焦点坐标是()
A.(2,0)B.(-2,0)C.(4,0)D.(-4,0)
22
21.(2009宁夏海南卷理)双曲线2-匕=1的焦点到渐近线的距离为()
412
A.2A/3B.2C.s/3D.1
22.(2009陕西卷文)“m>”>0”是“方程机Y+即?=i”表示焦点在y轴上的椭圆”的
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
22
23.(2009全国卷I文)设双曲线之一七=l(a>0,b>0)的渐近线与抛物线y=x?+l相切,则该双
曲线的离心率等于()
A.6B.2C.A/5D.A/6
2222
24.(2009湖北卷文)已知双曲线三-±=1的准线经过椭圆工+4=1(6>0)的焦点,则左()
224b2
A.3B.V5C.V3D.6
27.(2009天津卷理)设抛物线y2=2x的焦点为凡过点例(百,0)的直线与抛物线相交于A,B两
点,与抛物线的准线相交于C,忸可=2,则A8CF与44(2尸的面积之比土组=()
SgCF
28(2009四川卷理)已知直线/1:4x-3y+6=0和直线/2:x=-l,抛物线丁=4x上一动点尸到直
线4和直线4的距离之和的最小值是()
,H37
A.2B.3C.—D.—
516
二、填空题
29.(2009宁夏海南卷理.)设已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点为F(l,0),直线/与抛物线C相
交于A,8两点。若48的中点为(2,2),则直线/的方程为.
22
30.(2009重庆卷文、理)已知椭圆斗■=1(。>匕>0)的左、右焦点分别为々(一c,0),K(c,0),若
ab
椭圆上存在一点P使---=--一,则该椭圆的离心率的取值范围为___________.
sinPF}F2sinPF2F}
22
31.(2009北京文、理)椭圆上+二=1的焦点为大,鸟,点P在椭圆上,若1尸61=4,则
92
IPF21=;ZF/F2的大小为.
32.(2009广东卷理)巳知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为虫,且G上一点
2
到G的两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程为.
33.(2009四川卷文)抛物线/=4x的焦点到准线的距离是.
34.(2009湖南卷文)过双曲线C:二-二>=1(。>02>0)的一个焦点作圆=/的两条切线
b~
切点分别为A,B,若/4。8=120°(。是坐标原点),则双曲线线C的离心率为_t
35.(2009福建卷理)过抛物线V=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点,
若线段AB的长为8,则〃=
22
36.(2009辽宁卷理)以知F是双曲线土-匕=1的左焦点,A(l,4),P是双曲线右支上的动点,则
412
|PF|+|PA|的最小值为__________________________________「
37.(2009宁夏海南卷文)已知抛物线C的顶点坐标为原点,焦点在x轴上,直线产x与抛物线C交于
A,8两点,若尸(2,2)为48的中点,则抛物线C的方程为»
38.(2009湖南卷理)已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中,有一个内角为60
°,则双曲线C的离心率为:
22
39.(2009年上海卷理)已知片、乃是椭圆。:A+二=1(。>匕>°)的两个焦点,P为椭圆C上
ab~
一点,且所而.若AFEB的面积为9,则6=.
三、解答题
40.(2009浙江理)(本题满分15分)
22
已知椭圆G:1+5=1(。>b>0)的右顶点为4(1,0),过£的焦点且垂直长轴的弦长为1.
a~h~
(I)求椭圆G的方程;
(II)设点P在抛物线。2:y=x2+〃(//€R)上,在点P处的切线与G交于点M,N.当线段AP
的中点与的中点的横坐标相等时,求力的最小值.
41.(2009北京理)(本小题共4分)
已知双曲线C:马一E=1(。>0力>0)的离心率为百,右准线方程为x=—
a~h~3
(I)求双曲线。的方程;
(II)设直线/是圆0:/+〉2=2上动点尸(>0,%)(%%。°)处的切线,/与双曲线。交于不同的两
点证明NA。8的大小为定值.
42.(2009江苏卷)(本题满分10分)
在平面直角坐标系xoy中,抛物线C的顶点在原点,经过点A(2,2),其焦点f在x轴上。
(1)求抛物线C的标准方程;
(2)求过点凡且与直线OA垂直的直线的方程;
(3)设过点加(加,0)(加>0)的直线交抛物线C于。、E两点,ME=2DM,
和E两点间的距离为/(〃?),求/(〃?)关于机的表达式。
(第22题图)
43.(2009山东卷理)(本小题满分14分)
22
设椭圆E:0+2=1(a,b>0)过M(2,、历),N(、/^』)两点,O为坐标1!
(I)求椭圆E的方程;
(II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交LOB?
若存在,写出该圆的方程,并求MB的取值范围,若不存在说明理由。
44.(2009安徽卷理)(本小题满分13分)
点P(x0,%)在椭圆三+A=1(。>匕>0)上,/=acos/?,%=bsin/?,0<£<&.直线/,与直线
ah2
/1:鼻》+当),=1垂直,。为坐标原点,直线OP的倾斜角为a,直线的倾斜角为小
ab
22
(i)证明:点P是椭圆二+、=1与直线4的唯一交点;
a~b'
(II)证明:tana,tan(3,tany构成等比数列.
45.(2009江西卷理)(本小题满分12分)
/y2
已知点^(x,y)为双曲线=1(b为正常数)上任一
00荻一瓦
点,居为双曲线的右焦点,过[作右准线的垂线,垂足为A,连接
居A并延长交y轴于6.
(1)求线段片4的中点P的轨迹E的方程;
(2)设轨迹E与x轴交于8、。两点,在E上任取一点。(X1,y,(y尸0),直线QB,。。分别交y轴于
M,N两点.求证:以MN为直径的圆过两定点.
46.(2009湖北卷理)(本小题满分14分)
过抛物线y2=2px(p>0)的对称轴上一点人(凡0)(。>0)的直线与抛物线相交于口N两点,自M、
N向直线/:x=-a作垂线,垂足分别为N-
(I)当a=2■时,求证:AM.LAN.,
2'1
(II)记A4仞%、、A4NN1的面积分别为5、邑、53,是否存在力,使得对任意的a>0.
都有5;=/15户2成立.若存在,求出4的值;若不存在,说明理山。
47.(2009四川卷文)(本小题满分12分)
22万
已知椭圆=+匕=13〉%>0)的左、右焦点分别为月、F,,离心率e=Y—,右准线方程为x=2。
ab2
(I)求椭圆的标准方程;
(II)过点月的直线/与该椭圆交于M、N两点,且|可7+可|=2等,求直线/的方程。
48.(2009全国卷H理)(本小题满分12分)
已知椭圆。:/+£=1(。>6>0)的离心率为理,过右焦点F的直线/与C相交于A、B两点,
当/的斜率为1时,坐标原点。至h的距离为匚
2
(I)求a,b的值;
(IDC上是否存在点尸,使得当/绕尸转到某一位置时,有方=次+而成立?
若存在,求出所有的尸的坐标与/的方程;若不存在,说明理由。
49.(2009福建卷理)(本小题满分13分)
已知4,8分别为曲线C:—+y2=l(y>0,a>0)与x轴
a"
的左、右两个交点,直线/过点8,且与x轴垂直,S为/上
异于点8的一点,连结AS交曲线C于点T.
(1)若曲线C为半圆,点7为圆弧AB的三等分点,试求出点S的坐标;
(II)如图,点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点,试问:是否存在
a,使得O,M,S三点共线?若存在,求出。的值,若不存在,请说明理由。
50.(2009宁夏海南卷理)(本小题满分12分)
已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点,焦点在s轴上,它的•个顶点到两个焦点的距离分别是
7和1.
(I)求椭圆C的方程;
(II)若尸为椭圆C上的动点,M为过户且垂直于x轴的直线上的点,J^L=X,求点例的轨迹方
\OM\
程,并说明轨迹是什么曲线。
51.(2009四川卷文、理)(本小题满分12分)
已知椭圆1+二=1(。>6>0)的左、右焦点分别为《、F2,离心率e=E,右准线方程为x=2。
a2b2
(I)求椭圆的标准方程;
(in过点匕的直线/与该椭圆交于M、N两点,且|硒+可|=2等,求直线/的方程。
52.(2009全国卷I文)(本小题满分12分)
如图,已知抛物线E:y2=x与圆M:(x-4y+y2=r2(r〉o)
相交于A、B、C、。四个点。
(I)求r的取值范围
(II)当四边形A8C。的面积最大时,求对角线4C、8。的交点P
的坐标。
53.(2009湖南卷理)(本小题满分13分)在平面直角坐标系X。),中,点尸到点
F(3,0)的距离的4倍与它到直线m2的距离的3倍之和记为“,当P点运
动时,”恒等于
点P的横坐标与18之和
(I)求点P的轨迹C;
(II)设过点尸的直线/与轨迹C相交于M,N两点,求线段
用N长度的最大值。
54.(2009年上海卷理)(本题满分16分)
Y21—V
已知双曲线c:彳一丁=I,设过点A(-3>/2,0)的直线1的方向向量e=(1,幻
(1)当直线/与双曲线C的一条渐近线m平行时,求直线/的方程及/与m的距离;
(2)证明:当&>也时,在双曲线C的右支上不存在点Q,使之到直线/的距离为布。
2
55.(2009重庆卷理)(本小题满分12分)
已知以原点。为中心的椭圆的一条准线方程为y=殍,离心率e=?,M是椭圆上的动点.
(I)若c,o的坐标分别是(0,-G),(o,G),求0的最大值;
(II)如题图,点A的坐标为(1,0),8是圆x2+/=i上的点,N是点M在x轴上的射影,点。满
足条件:OQ=OM+ON,QABA=O.求线段Q8的中点P的轨迹方程;
题(20)图
56.(2009重庆卷文)(本小题满分12分)
已知以原点。为中心的双曲线的一条准线方程为x=♦,离心率e=75.
(I)求该双曲线的方程;
(II)如题(20)图,点4的坐标为(―石,0),8是圆/+(>一0)2=1上的点,点加在双曲线右
支上,求+的最小值,并求此时用点的坐标:
一、选择题
1.(2008湖北卷10)如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞
向月球,在月球附近一点P轨进入以月球球心/为一个焦点的椭圆
轨道I绕月飞行,之后卫星在P变点第二次变轨进入仍以月球球心
I
F为•个焦点的椭圆轨道I[绕月飞行,最终卫星在尸点第三次变轨进入以尸为圆心的圆形轨道III绕
月飞行,若用2cl和2c2分别表示椭轨道】和II的焦距,用2%和2%分别表示椭圆轨道I和H的长
轴的长,给出下列式子:
①6+。1=。2+,2;②-C]=出一,2;③Ci4>。。;©—<
ata2
其中正确式子的序号是()
A.①③B.②③C.①④D.②④
2.(2008江西理7)已知瓦、工是椭圆的两个焦点,满足丽•丽=0的点M总在椭圆内部,则椭
圆离心率的取值范围是()
A.(0,1)B.(0,5]C.(0,-^-)D.[^^,1)
22
3.(2008全国II理9)设。>1,则双曲线=——J=1的离心率e的取值范围是()
a2(a+l)2
A.(V2,2)B.(72,75)C.(2,5)D.(2,75)
4.(2008海南理11)已知点P在抛物线y2=4x上,那么点P到点Q(2,-1)的距离与
点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P的坐标为()
A.(-,-1)B.(-,1)C.(1,2)D.(1,-2)
44
5.(2008辽宁理10)已知点尸是抛物线y2=2x上的一个动点,则点尸到点(0,2)的距
离与p到该抛物线准线的距离之和的最小值为()
A.-B.3C.A/5D.-
22
6.(2008天津文7)设椭圆'+4=1(机>0,〃>0)的右焦点与抛物线V=8x的焦
mrT
点相同,离心率为工,则此椭圆的方程为
()
2
2222
A.三+,B,工+工=1
12161612
c"=i
48646448
7.(2007重庆文)已知以R(2,0),A(2,0)为焦点的椭圆与直线x+JJy+4=0有且仅有一个
交点,则椭圆的长轴长为()
A.35/2B.2y[6C.2"D.472
r
8.(2007浙江文)已知双曲线-r—=l(a>0,匕>0)的左、右焦点分别为£、冉,P
是准线上一点,且PF」PF2,|PF/・|PFz|=4ab,则双曲线的离心率是()
A.V2B.V3C.2D.3
9.(2007天津文)设双曲线=一1=l(a>0,b>0)的离心率为百,且它的一条准线与
ab~
抛物线/2=4%的准线重合,则此双曲线的方程为
A.匚ziB.
12244896
C.D.
36
10.(2006上海春季15)若kwR,则“k>3”是“方程」-----匕一=1表示双曲线”
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