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文档简介

第九章解析几何

第一节直线和圆

一、选择题

1.(辽宁理,4)已知圆C与直线x-y=0及x—y—4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程

A.(x+l)2+(y-l)2=2B.(x-l)2+(y+l)2=2

C.(x-l)2+(y-l)2=2D.(x+l)2+(y+l)2=2

2.(重庆理,1)直线y=x+l与圆》2+产=1的位置关系为()

A.相切B.相交但直线不过圆心C.直线过圆心D.相离

3.(重庆文,1)圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为()

A.x2+(y-2)2=lB./+(y+2)2=l

C.(x-l)2+(y-3)2=lD.x2+(y-3)2=l

4.(上海文,17)点P(4,-2)与圆/+=4上任一点连续的中点轨迹方程是)

A.(x-2)2+(y+l)2=lB.(x-2)2+(y+l)2=4

C.(x+4)2+(y-2)2=4D.(x+2)2+(y-l)2=l

5.(上海文,15)已知直线点伏-3)X+(4-4)),+1=0,与/2:2伏一3)》-2),+3=0,平行,则A得值

是()

A.1或3B.1或5C.3或5D.1或2

6.(上海文,18)过圆C:(x—1)2+(>-1)2=1的圆心,作直线分

别交x、y正半轴于点A、B,A/1O6被圆分成四部分(如图),

若这四部分图形面积满足号+S*=5口+5HI,则直线A8有()

(A)0条(B)1条(C)2条(D)3条

7.(陕西理,4)过原点且倾斜角为60。的直线被圆x2+y2-4y=0所截得的

弦长为

A.V3B.2C.V6D.25/3

二、填空题

8.(广东文,13)以点(2,-1)为圆心且与直线x+y=6相切的圆的方程

Y=]+{

9.(天津理,13)设直线/]的参数方程为《一(f为参数),直线4的方程为y=3x+4则/]与4的

y=l+3f

距离为_______

10.(天津文,14)若圆/+>2=4与圆/+>2+2即一6=0(。>0)的公共弦长为2百,则

11.(全国I文16)若直线机被两平行线4:x-y+l=0与,2:x-y+3=0所截得的线段的长为2后,

则机的倾斜角可以是

①15°②30°③45°④60°⑤75°

其中正确答案的序号是.(写出所有正确答案的序号)

12.(全国H理16)已知4C、8。为圆。:/+丁=4的两条相互垂直的弦,垂足为"(1,0上则四边

形ABCD的面积的最大值为o

13.(全国H文15)已知圆。:/+:/=5和点A(1,2),则过4且与圆。相切的直线与两坐标轴围

成的三角形的面积等于

14.(湖北文14)过原点。作圆f+0一6x—8y+20=0的两条切线,设切点分别为只Q,

则线段々的长为o

15.(江西理16).设直线系M:xcos6+(y-2)sin6=l(0wew2i),对于下列四个命题:

A.M中所有直线均经过一个定点

B.存在定点P不在〃中的任一条直线上

C.对于任意整数〃(”23),存在正〃边形,其所有边均在"中的直线上

D.M中的直线所能围成的正三角形面积都相等

其中真命题的代号是(写出所有真命题的代号).

三、解答题

16.(2009江苏卷18)(本小题满分16分)

在平面直角坐标系XSV中,已知圆G:(x+3>+(y—1)2=4和圆G:a—4)2+。—5)2=4.

(1)若直线/过点A(4,0),且被圆C截得的弦长为26,求直

线/的方程;

(2)设P为平面上的点,满足:存在过点P的无穷多对互相垂

直的直线乙和乙,它们分别与圆C和圆C2相交,且直线/|被圆

G截得的弦长与直线4被圆C2截得的弦长相等,试求所有满足

条件的点P的坐标。

一、选择题

1.(2008年全国n理11)等腰三角形两腰所在直线的方程分别为x+y-2=0与x-7y-4=0,

原点在等腰三角形的底边上,则底边所在直线的斜率为().

A.3B.2C.D.---

32

2.(2008年全国n文3)原点到直线x+2y-5=0的距离为()

A.1B.V3C.2D.V5

3.(2008四川4)将直线y=3x绕原点逆时针旋转90°,再向右平移1个单位长度,所得到的直线为

()

111,

A.y=——x+—BD.y=——x+1

333

C.y=3x-3D.y=gx+l

4.(2008上海15)如图,在平面直角坐标系中,Q是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于

点G。的定圆所围成的区域(含边界),4艮G〃是该圆的四等分点.若点P(x,y)、点尸'(x',y')

满足xWx'且yNy',则称夕优于〃.如果C中的点。满足:不存在Q中的其它点优于0,那

么所有这样的点0组成的集合是劣弧()

A.ABB.BCC.CDD.DA

5.(2007重庆文)若直线与圆,+产=1相交于只。两点,且NRM=12O°(其中。为原点),则A

的值为()

A.一6或6B.6C.-血或后D.V2

6.(2007天津文)“。=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=l”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

0.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

7.(2006年江苏)圆(x-+(y+Q)2=1的切线方程中有一个是()

A.x—y=0B.x+y=0C.x=0D.y=0

8.(2005湖南文)设直线的方程是Ax+8),=0,从1,2,3,4,5这五个数中每次取两个不同的数

作为46的值,则所得不同直线的条数是()

A.20B.19C.18D.16

9.(2005全国I文)设直线/过点(一2,0),且与圆V+y2=1相切,则/的斜率是()

A.±1B.±—C.±―—D.±V3

23

10.(2005辽宁)若直线2x—y+c=0按向量Z=(l,—1)平移后与圆x?+产=5相切,贝ijc的值为

()

A.8或一2B.6或一4C.4或一6D.2或一8

11.(2005北京文)“m=!”是“直线(m+2)x+3my+l=0与直线(m—2)x+(m+2)y—3=0相互垂直”的

2

()

A.充分必要条件B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件

二、填空题

12.(2008天津文15,)已知圆,的圆心与点P(-2,1)关于直线y=x+l对称,直线3x+4yTl=0

与圆。相交于A,8两点,且|A8|=6,则圆。的方程为

13.(2008四川文14)已知直线/:x—y+4=0与圆C:a—l『+(y—l)2=2,则C上各点到/的距离

的最小值为一

14.(2008广东理11)经过圆/+2工+>2=0的圆心。,且与直线x+y=0垂直的直线

程是.

15.(2007上海文)如图,A,B是直线/上的两点,且AB=2.两个半径相等的动圆分别与/相切于A,B

点,C是这两个圆的公共点,则圆弧AC,Q5与线段A8围成图形面积S的取值范围

是.

16.(2007湖南理)圆心为(1,1)且与直线x+y=4相切的圆的方程I

A

17.(2006重庆理)已知变量x,y满足约束条件1Wx勺W4,-2Wx-yW2.若目标函数z=ax+y(其中a>0)仅

在点(3,1)处取得最大值,贝必的取值范围为

x-y-2<0

18.(2005江西)设实数x,y满足,x+2y-420,则上的最大值是

X

2y-3<0

第二节圆锥曲线

一、选择题

22

1.(2009全国卷I理)设双曲线=—与=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线y=x'+l相切,则该双曲

a~b~

线的离心率等于()

A.布>B.2C.V5D.V6

2.(2009全国卷1理)已知椭圆。:工+>2=1的右焦点为尸,右准线为/,点Ae/,线段AF交C于

2

点6,若寻=3而,则I布=()

A.\[2B.2C,V31).3

22

3.(2009浙江理)过双曲线4=1(。>。/>0)的右顶点A作斜率为T的直线,该直线与双曲线

ab~

的两条渐近线的交点分别为民C.若丽二」前,则双曲线的离心率是()

2

A.41B.V3C.V5D.V10

22

4.(2009浙江文)已知椭圆0+与=1(。>匕>0)的左焦点为尸,右顶点为A,点B在椭圆上,且

a"b~

轴,直线45交y轴于点尸.若Q=2而,则椭圆的离心率是()

V3V211

A.B.C•-D.一

2232

5.(2009北京理)点尸在直线/:y=x-l上,若存在过产的直线交抛物线y=x?于A,B两点,且

IP4TA6I,则称点P为“K点”,那么下列结论中正确的是()

A.直线/上的所有点都是点”

B.直线/上仅有有限个点是“X点”

C.直线/上的所有点都不是点”

D.直线/上有无穷多个点(点不是所有的点)是“幺点”

22

6.(2009山东卷理)设双曲线4=1的一条渐近线与抛物线y=x?+1只有一个公共点,则双曲线的

a-b-

离心率为().

5亚

A.-B.5C.—D.VF5

42

7.(2009山东卷文)设斜率为2的直线/过抛物线y2=ax(。。0)的焦点尸,且和y轴交于点4,若4

O\F(Q为坐标原点)的血积为4,则抛物线方程为().

A.y=±4xB.V=±8xC.y2=4xD.y2=Sx

8.(2009全国卷n文)双曲线匕=1的渐近线与圆(x—3)2+/=r2。>0)柑切,则行()

63

A.V3B.2C.3D.6

9.(2009全国卷H文)已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C::/=8x相交4、8两点,尸为C的焦

点。若|必|=2产邳,则上()

1V2

A.一Rc口当

33-t

10.(2009安徽卷理)下列曲线中离心率为逅的是

2

2222

A.上上=1Bc.r_ri

Z.£,1=

244246410

x22

11.(2009福建卷文)若双曲线二一点•=1(。>。)的离心率为2,则a等于()

a

A.2B.V3C-1D.1

12.(2009安徽卷文)下列曲线中离心率为的事是(.)

A-白-白

13.(2009江西卷文)设片和F,为双曲线三-2r=1(。>02>0)的两个焦点,若斗F,,尸(0,26)是

ah~

正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为

3c-5

A.—B.2C.—D.3

22

x22

14.(2009江西卷理)过椭圆=+v==l(a>b>0)的左焦点片作x轴的垂线交椭圆于点尸,工为右

ab

焦点,若NaPK=60°,则椭圆的离心率为

A6B百1

A.---D.-

233

15.(2009天津卷文)设双曲线三-勺=1(。>0,%>())的虚轴长为2,焦距为2内,则双曲线的渐

ab-

近线方程为()

A.y=±V2xB.y=±2xC.y=±-^-xD.y=±—x

16.(2009湖北卷理)已知双曲线'—5=1的准线过椭圆?+多=1的焦点,则直线>=履+2与椭

圆至多有一个交点的充要条件是()

A.Kw

C.KeD.Ke

17.(2009四川卷文、理)已知双曲线二—二=1仍>0)的左、右焦点分别是6、F,,其一条渐近

2h2'

线方程为>=%,点P(百,打)在双曲线上则丽•而=()

A.-12B.-2C.0D.4

18.(2009全国卷H理)已知直线)>=Z(x+2)伏>0)与抛物线C:y2=8x相交于A、B两点,F为C

的焦点,若则女=()

1V2272

A.-B.---C.-D.----

3333

22

19.(2009全国卷n理)已知双曲线C:二一与=1(。>0/>0)的右焦点为F,过产且斜率为6的直

a'b~

线交C于4、B两点,若而=4而,则。的离心率为()

6759

A.-B.-C.-D.一

5585

20.(2009湖南卷文)抛物线y2=-8x的焦点坐标是()

A.(2,0)B.(-2,0)C.(4,0)D.(-4,0)

22

21.(2009宁夏海南卷理)双曲线2-匕=1的焦点到渐近线的距离为()

412

A.2A/3B.2C.s/3D.1

22.(2009陕西卷文)“m>”>0”是“方程机Y+即?=i”表示焦点在y轴上的椭圆”的

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

22

23.(2009全国卷I文)设双曲线之一七=l(a>0,b>0)的渐近线与抛物线y=x?+l相切,则该双

曲线的离心率等于()

A.6B.2C.A/5D.A/6

2222

24.(2009湖北卷文)已知双曲线三-±=1的准线经过椭圆工+4=1(6>0)的焦点,则左()

224b2

A.3B.V5C.V3D.6

27.(2009天津卷理)设抛物线y2=2x的焦点为凡过点例(百,0)的直线与抛物线相交于A,B两

点,与抛物线的准线相交于C,忸可=2,则A8CF与44(2尸的面积之比土组=()

SgCF

28(2009四川卷理)已知直线/1:4x-3y+6=0和直线/2:x=-l,抛物线丁=4x上一动点尸到直

线4和直线4的距离之和的最小值是()

,H37

A.2B.3C.—D.—

516

二、填空题

29.(2009宁夏海南卷理.)设已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点为F(l,0),直线/与抛物线C相

交于A,8两点。若48的中点为(2,2),则直线/的方程为.

22

30.(2009重庆卷文、理)已知椭圆斗■=1(。>匕>0)的左、右焦点分别为々(一c,0),K(c,0),若

ab

椭圆上存在一点P使---=--一,则该椭圆的离心率的取值范围为___________.

sinPF}F2sinPF2F}

22

31.(2009北京文、理)椭圆上+二=1的焦点为大,鸟,点P在椭圆上,若1尸61=4,则

92

IPF21=;ZF/F2的大小为.

32.(2009广东卷理)巳知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为虫,且G上一点

2

到G的两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程为.

33.(2009四川卷文)抛物线/=4x的焦点到准线的距离是.

34.(2009湖南卷文)过双曲线C:二-二>=1(。>02>0)的一个焦点作圆=/的两条切线

b~

切点分别为A,B,若/4。8=120°(。是坐标原点),则双曲线线C的离心率为_t

35.(2009福建卷理)过抛物线V=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点,

若线段AB的长为8,则〃=

22

36.(2009辽宁卷理)以知F是双曲线土-匕=1的左焦点,A(l,4),P是双曲线右支上的动点,则

412

|PF|+|PA|的最小值为__________________________________「

37.(2009宁夏海南卷文)已知抛物线C的顶点坐标为原点,焦点在x轴上,直线产x与抛物线C交于

A,8两点,若尸(2,2)为48的中点,则抛物线C的方程为»

38.(2009湖南卷理)已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中,有一个内角为60

°,则双曲线C的离心率为:

22

39.(2009年上海卷理)已知片、乃是椭圆。:A+二=1(。>匕>°)的两个焦点,P为椭圆C上

ab~

一点,且所而.若AFEB的面积为9,则6=.

三、解答题

40.(2009浙江理)(本题满分15分)

22

已知椭圆G:1+5=1(。>b>0)的右顶点为4(1,0),过£的焦点且垂直长轴的弦长为1.

a~h~

(I)求椭圆G的方程;

(II)设点P在抛物线。2:y=x2+〃(//€R)上,在点P处的切线与G交于点M,N.当线段AP

的中点与的中点的横坐标相等时,求力的最小值.

41.(2009北京理)(本小题共4分)

已知双曲线C:马一E=1(。>0力>0)的离心率为百,右准线方程为x=—

a~h~3

(I)求双曲线。的方程;

(II)设直线/是圆0:/+〉2=2上动点尸(>0,%)(%%。°)处的切线,/与双曲线。交于不同的两

点证明NA。8的大小为定值.

42.(2009江苏卷)(本题满分10分)

在平面直角坐标系xoy中,抛物线C的顶点在原点,经过点A(2,2),其焦点f在x轴上。

(1)求抛物线C的标准方程;

(2)求过点凡且与直线OA垂直的直线的方程;

(3)设过点加(加,0)(加>0)的直线交抛物线C于。、E两点,ME=2DM,

和E两点间的距离为/(〃?),求/(〃?)关于机的表达式。

(第22题图)

43.(2009山东卷理)(本小题满分14分)

22

设椭圆E:0+2=1(a,b>0)过M(2,、历),N(、/^』)两点,O为坐标1!

(I)求椭圆E的方程;

(II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交LOB?

若存在,写出该圆的方程,并求MB的取值范围,若不存在说明理由。

44.(2009安徽卷理)(本小题满分13分)

点P(x0,%)在椭圆三+A=1(。>匕>0)上,/=acos/?,%=bsin/?,0<£<&.直线/,与直线

ah2

/1:鼻》+当),=1垂直,。为坐标原点,直线OP的倾斜角为a,直线的倾斜角为小

ab

22

(i)证明:点P是椭圆二+、=1与直线4的唯一交点;

a~b'

(II)证明:tana,tan(3,tany构成等比数列.

45.(2009江西卷理)(本小题满分12分)

/y2

已知点^(x,y)为双曲线=1(b为正常数)上任一

00荻一瓦

点,居为双曲线的右焦点,过[作右准线的垂线,垂足为A,连接

居A并延长交y轴于6.

(1)求线段片4的中点P的轨迹E的方程;

(2)设轨迹E与x轴交于8、。两点,在E上任取一点。(X1,y,(y尸0),直线QB,。。分别交y轴于

M,N两点.求证:以MN为直径的圆过两定点.

46.(2009湖北卷理)(本小题满分14分)

过抛物线y2=2px(p>0)的对称轴上一点人(凡0)(。>0)的直线与抛物线相交于口N两点,自M、

N向直线/:x=-a作垂线,垂足分别为N-

(I)当a=2■时,求证:AM.LAN.,

2'1

(II)记A4仞%、、A4NN1的面积分别为5、邑、53,是否存在力,使得对任意的a>0.

都有5;=/15户2成立.若存在,求出4的值;若不存在,说明理山。

47.(2009四川卷文)(本小题满分12分)

22万

已知椭圆=+匕=13〉%>0)的左、右焦点分别为月、F,,离心率e=Y—,右准线方程为x=2。

ab2

(I)求椭圆的标准方程;

(II)过点月的直线/与该椭圆交于M、N两点,且|可7+可|=2等,求直线/的方程。

48.(2009全国卷H理)(本小题满分12分)

已知椭圆。:/+£=1(。>6>0)的离心率为理,过右焦点F的直线/与C相交于A、B两点,

当/的斜率为1时,坐标原点。至h的距离为匚

2

(I)求a,b的值;

(IDC上是否存在点尸,使得当/绕尸转到某一位置时,有方=次+而成立?

若存在,求出所有的尸的坐标与/的方程;若不存在,说明理由。

49.(2009福建卷理)(本小题满分13分)

已知4,8分别为曲线C:—+y2=l(y>0,a>0)与x轴

a"

的左、右两个交点,直线/过点8,且与x轴垂直,S为/上

异于点8的一点,连结AS交曲线C于点T.

(1)若曲线C为半圆,点7为圆弧AB的三等分点,试求出点S的坐标;

(II)如图,点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点,试问:是否存在

a,使得O,M,S三点共线?若存在,求出。的值,若不存在,请说明理由。

50.(2009宁夏海南卷理)(本小题满分12分)

已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点,焦点在s轴上,它的•个顶点到两个焦点的距离分别是

7和1.

(I)求椭圆C的方程;

(II)若尸为椭圆C上的动点,M为过户且垂直于x轴的直线上的点,J^L=X,求点例的轨迹方

\OM\

程,并说明轨迹是什么曲线。

51.(2009四川卷文、理)(本小题满分12分)

已知椭圆1+二=1(。>6>0)的左、右焦点分别为《、F2,离心率e=E,右准线方程为x=2。

a2b2

(I)求椭圆的标准方程;

(in过点匕的直线/与该椭圆交于M、N两点,且|硒+可|=2等,求直线/的方程。

52.(2009全国卷I文)(本小题满分12分)

如图,已知抛物线E:y2=x与圆M:(x-4y+y2=r2(r〉o)

相交于A、B、C、。四个点。

(I)求r的取值范围

(II)当四边形A8C。的面积最大时,求对角线4C、8。的交点P

的坐标。

53.(2009湖南卷理)(本小题满分13分)在平面直角坐标系X。),中,点尸到点

F(3,0)的距离的4倍与它到直线m2的距离的3倍之和记为“,当P点运

动时,”恒等于

点P的横坐标与18之和

(I)求点P的轨迹C;

(II)设过点尸的直线/与轨迹C相交于M,N两点,求线段

用N长度的最大值。

54.(2009年上海卷理)(本题满分16分)

Y21—V

已知双曲线c:彳一丁=I,设过点A(-3>/2,0)的直线1的方向向量e=(1,幻

(1)当直线/与双曲线C的一条渐近线m平行时,求直线/的方程及/与m的距离;

(2)证明:当&>也时,在双曲线C的右支上不存在点Q,使之到直线/的距离为布。

2

55.(2009重庆卷理)(本小题满分12分)

已知以原点。为中心的椭圆的一条准线方程为y=殍,离心率e=?,M是椭圆上的动点.

(I)若c,o的坐标分别是(0,-G),(o,G),求0的最大值;

(II)如题图,点A的坐标为(1,0),8是圆x2+/=i上的点,N是点M在x轴上的射影,点。满

足条件:OQ=OM+ON,QABA=O.求线段Q8的中点P的轨迹方程;

题(20)图

56.(2009重庆卷文)(本小题满分12分)

已知以原点。为中心的双曲线的一条准线方程为x=♦,离心率e=75.

(I)求该双曲线的方程;

(II)如题(20)图,点4的坐标为(―石,0),8是圆/+(>一0)2=1上的点,点加在双曲线右

支上,求+的最小值,并求此时用点的坐标:

一、选择题

1.(2008湖北卷10)如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞

向月球,在月球附近一点P轨进入以月球球心/为一个焦点的椭圆

轨道I绕月飞行,之后卫星在P变点第二次变轨进入仍以月球球心

I

F为•个焦点的椭圆轨道I[绕月飞行,最终卫星在尸点第三次变轨进入以尸为圆心的圆形轨道III绕

月飞行,若用2cl和2c2分别表示椭轨道】和II的焦距,用2%和2%分别表示椭圆轨道I和H的长

轴的长,给出下列式子:

①6+。1=。2+,2;②-C]=出一,2;③Ci4>。。;©—<

ata2

其中正确式子的序号是()

A.①③B.②③C.①④D.②④

2.(2008江西理7)已知瓦、工是椭圆的两个焦点,满足丽•丽=0的点M总在椭圆内部,则椭

圆离心率的取值范围是()

A.(0,1)B.(0,5]C.(0,-^-)D.[^^,1)

22

3.(2008全国II理9)设。>1,则双曲线=——J=1的离心率e的取值范围是()

a2(a+l)2

A.(V2,2)B.(72,75)C.(2,5)D.(2,75)

4.(2008海南理11)已知点P在抛物线y2=4x上,那么点P到点Q(2,-1)的距离与

点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P的坐标为()

A.(-,-1)B.(-,1)C.(1,2)D.(1,-2)

44

5.(2008辽宁理10)已知点尸是抛物线y2=2x上的一个动点,则点尸到点(0,2)的距

离与p到该抛物线准线的距离之和的最小值为()

A.-B.3C.A/5D.-

22

6.(2008天津文7)设椭圆'+4=1(机>0,〃>0)的右焦点与抛物线V=8x的焦

mrT

点相同,离心率为工,则此椭圆的方程为

()

2

2222

A.三+,B,工+工=1

12161612

c"=i

48646448

7.(2007重庆文)已知以R(2,0),A(2,0)为焦点的椭圆与直线x+JJy+4=0有且仅有一个

交点,则椭圆的长轴长为()

A.35/2B.2y[6C.2"D.472

r

8.(2007浙江文)已知双曲线-r—=l(a>0,匕>0)的左、右焦点分别为£、冉,P

是准线上一点,且PF」PF2,|PF/・|PFz|=4ab,则双曲线的离心率是()

A.V2B.V3C.2D.3

9.(2007天津文)设双曲线=一1=l(a>0,b>0)的离心率为百,且它的一条准线与

ab~

抛物线/2=4%的准线重合,则此双曲线的方程为

A.匚ziB.

12244896

C.D.

36

10.(2006上海春季15)若kwR,则“k>3”是“方程」-----匕一=1表示双曲线”

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