年新教材高一数学暑假作业十三新人教A版

高一数学暑假作业一、单选题有下列关系式：①{a,b}={b,a}；②{a,b}⊆{b,a}；③⌀={⌀}；④{0}=⌀；⑤⌀⫋{0}；⑥0∈{0}.其中不正确的是(

)A.①③ B.②④⑤ C.①②⑤⑥ D.③④下列说法不正确的是(    )A.x+1x(x>0)的最小值是2

B.x2+5x2+4的最小值是2

C.x2+2下列命题中正确的是(    A.若函数f(x)的定义域为(1,4)，则函数fx2的定义域为(-2,-1)∪(1,2)

B.y=x+1和表示同一函数

C.定义在R上的偶函数f(x)在(0,+∞)和(-∞,0)上具有相反的单调性

已知sinx+π32sinπ4-A.-32 B.32 C.-已知向量a, b满足a⋅b=0, |a| = |b| =24A.2193 B.242 C.24 若复数z=i2019+|3+4i|3-4i，则zA.-15 B.15 C.-如图，矩形ABCD中，AB=2AD，E为边AB的中点，将ΔADE沿直线DE折起至ΔA1DE，若点M、O

分别为线段A1C、DE的中点，则在ΔADEA.与平面A1DE垂直的直线必与BM垂直

B.异面直线BM与A1E所成角是定值

C.一定存在某个位置，使DE⊥MO

D.三棱锥A随着互联网和物流行业的快速发展，快递业务已经成为人们日常生活当中不可或缺的重要组成部分.下图是2012-2020年我国快递业务量变化情况统计图，则关于这9年的统计信息，下列说法正确的是(

)A.这9年我国快递业务量有增有减

B.这9年我国快递业务量同比增速的中位数为51.4%

C.这9年我国快递业务量同比增速的极差未超过36%

D.这9年我国快递业务量的平均数超过210亿件二、多选题三棱锥V-ABC中，△ABC是等边三角形，顶点V在底面ABC的投影是底面的中心，侧面VAB⊥侧面VAC，则(    )A.二面角V-BC-A的大小为

B.此三棱锥的侧面积与其底面面积之比为

C.点V到平面ABC的距离与VC的长之比为

D.此三棱锥的体积与其外接球的体积之比为下列关于平面向量的说法中正确的是(

)A.a=(92,k)，b=(k,8)，若a//b，则k=6

B.向量i=(1,0)，j=(0,1)，则|3i-4j|=5

C.若点给出下列结论，其中不正确的结论是(    )A.函数y=(12)-x2+1的最大值为12

B.已知函数y=loga(2-ax)(a>0且a≠1)在(0,1)上是减函数，则实数a的取值范围是(1,2)

C.在同一平面直角坐标系中，函数y=2x与y=log2x的图象关于直线关于函数f(x)=ln 1-x1A.f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞)

B.f(x)为奇函数

C.f(x)在定义域上是增函数

D.函数f(x)与y=ln 三、填空题下列结论中正确的是

.(填序号)①如果P(A)=0.99999，那么A为必然事件；

②灯泡的合格率是99%，从一批灯泡中任取一只，是合格品的可能性为99%；

③概率是随机的，在试验前不能确定；

④频率是客观存在的，与试验次数无关；

⑤若事件A与B设函数f(x)=2x2x+1，g(x)=ax+5-2a(a>0)，若对任意的x1∈[0,1]，存在x2∈[0,1]使得f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围为在△ABC中，若sin A(sin B+cos B)-sin C=0，则角A的值为

，当sin如图，在三棱锥S—ABC中，若底面ABC是正三角形，侧棱长SA=SB=SC=3，M、N分别为棱SC、BC的中点，并且AM⊥MN，则异面直线MN与AC所成角为

；三棱锥S—ABC的外接球的体积为

．四、解答题已知函数f(x)=1+a(12)x+(14)x，g(x)=log121-axx-1

(1)若(3)定义在D上的函数f(x)，如果满足：对任意x∈D，存在常数M≥0，都有|f(x)|≤M成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的一个上界.若函数f(x)在[0,+∞)上是以5为上界的有界函数，求实数a的取值范围.

已知fx=sin(1)若y=f2x-1+afx(2)在ΔABC中，已知cfC-gC=acosB+bcosA，c=已知平面直角坐标系内三点A，B，C在一条直线上，满足OA=(-3,m+1)，OB=(n,3)，OC=(7,4)，且OA⊥OB，其中O为坐标原点．

(1)求实数m，n的值；

(2)设△AOC的重心为G，且OG=23OB，求cos∠AOC如图，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AB⊥AD，且AB=AD=12CD=1.现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF折叠，使ED⊥DC，M为ED的中点，如图2(1)求证：AM//平面BEC;(2)求证：平面BCD⊥平面BDE；(3)若DE=1，求点D到平面BCE的距离。

今年是中国共产党成立100周年，为了普及党史知识，加强爱国主义教育，某校举办了党史知识竞赛．经过激烈角逐选拔，甲、乙、丙三名选手进入决赛，决赛由必答和抢答两个环节，必答环节每人必须回答随机抽签的3道题目，全部答对者进入抢答环节，否则被淘汰；在抢答环节中采用积分制，共有3道题目，每人是否抢到试题机会均等，抢到试题者必须作答，最后得分最高者获得一等奖．若答对则得100分，其他选手得0分；若答错则得0分，其他选手得100分．设甲、乙、丙在必答环节中每道题答对的概率都是12，在抢答环节中每道题答对的概率都是1(1)求甲、乙进入抢答环节，且丙未进入抢答环节的概率；(2)若甲、乙、丙都进入抢答环节，①求在一次抢答中，甲得100分的概率；②求丙以满分获得一等奖的概率．

南京地铁项目正在如火如荼地进行中，全部通车后将给市民带来很大的便利．已知地铁7号线通车后，列车的发车时间间隔t(单位：分钟)满足2≤t≤20，经市场调研测算，地铁的载客量与发车的时间间隔t相关，当10≤t≤20时，地铁为满载状态，载客量为500人；当2≤t<10时，载客量会减少，减少的人数与(10-t)2成正比，且发车时间间隔为(1)求s(t)的表达式，并求发车时间间隔为5分钟时列车的载客量；(2)若该线路每分钟的净收益为Q=8s(t)-2656t-60(元).问：当列车发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？

答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】

本题主要考查元素与集合，集合与集合之间的关系，空集和集合的关系，属于基础题．

根据集合元素的无序性判断①；根据子集的定义判断②；根据集合及空集的定义判断③④⑤；利用元素与集合的关系判断⑥．

【解答】

对①：因为集合元素具有无序性，显然①正确；

对②：因为集合{a,b}={b,a}，故{a,b}⊆{b,a}正确，即②正确；

对③：空集⌀是一个集合，而集合{⌀}是以空集为元素的一个集合，因此⌀={⌀}不正确；

对④：{0}是一个集合，仅有一个元素0，但是空集不含任何元素，于是{0}≠⌀，故④不正确；

对⑤：由④可知，{0}非空，于是有⌀⫋{0}，因此⑤正确；

对⑥：显然0∈{0}成立，因此⑥正确．

综上，本题不正确的有③④，于是本题选项为D．

故选D．

2.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了基本不等式的应用，掌握利用基本不等式的条件是关键，属于中档题．

对于ABD根据基本不等式即可判断，对于C根据不等式的性质即判断．

【解答】

解：对于A，∵x>0，∴x+1x≥2x⋅1x=2，当且仅当x=1时取等号，故A正确；

对于B，x2+5x2+4=x2+4+1x2+4=x2+4+1x2+4≥2，当且仅当x2+4=1时取等号，显然x的值不存在，故【解析】【分析】

本题考查函数基本概念，函数的奇偶性及单调性，考查不等式恒成立问题，属于中档题．

逐一对选项进行分析，讨论其正确性，即可得到答案．

【解答】

A.由题意可知1<x2<4⇒x∈(-2,-1)∪(1,2)，

∴函数f(x2)的定义域为(-2,-1)∪(1,2)，故A正确;

B.两个函数的值域不同，前者为R，后者为[0,+∞)，故B错误;

C.举反例，如函数y=1，符合条件，但结论不成立，故C错误;

D.当a= b= 0时，符合条件，不符合结论，故D错误．

故选A【解析】【分析】本题考查了两角和与差的三角函数公式，二倍角公式，诱导公式以及三角函数的化简求值，属于基础题．

根据诱导公式和二倍角公式对原式分母进行化解，利用两角和的三角函数公式对原式分子进行化简，得到，再根据，得到，即可得到答案．【解答】解：因为

，

所以．

故选B．

5.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查平面向量运算以及向量共线，模，数量积的意义，考查坐标法思想的应用，考查点关于直线的对称点的求法，考查创新意识，考查运算能力，属于难题．

根据已知条件的特征，可考虑利用坐标法来处理，建立平面直角坐标系，在坐标平面上，找出与tb-a以及512b+1-ta-b对应的向量，将问题等价转换成在直线(线段)上找一点，使得它到直线外两定点的距离之和最小问题.然后根据平面解析几何的基础知识容易解决问题．

【解答】

解：在如图所示的平面直角坐标系中，A24,0，B0,24，C0,14，

记a=OA=24,0，b=OB=0,24，512b=CB=0,10．

设AM=tb-a，则BM=1-ta-b，t∈[0, 1]，

∴OM=a+tb-a，CM=512b+1-ta-b【解析】【分析】利用虚数单位i的性质及复数代数形式的乘除运算化简，进一步求得z-得答案．【解答】解：∵z=i2019+|3+4i|3-4i=i504×4+3+53-4i

=-i+5(3+4i)(3-4i)(3+4i)=-i+

7.【答案】C

【解析】【分析】本题主要考查了线面，面面平行与垂直的判定和性质定理以及线面角，二面角的定义及求法是解题的关键．

对于A，运用中位线定理和线面平行的判定定理，可得BM//平面A1DE，即可判断A；

对于B，运用平行线的性质和解三角形的余弦定理，以及异面直线所成角的定义，即可判断B；

对于C，连接A1O，运用线面垂直的判定定理和性质定理，即可判断C；

对于D，由直角三角形的性质，可得三棱锥A1【解答】

解：对于A，延长CB，DE交于H，连接A1H，由E为AB的中点，

可得B为CH的中点，又M为A1C的中点，可得BM//A1H，BM⊄平面A1DE，

A1H⊂平面A1DE，则BM//平面A1DE，故与平面A1DE垂直的直线必与直线BM垂直，故A正确；

对于B，设AB=2AD=2a，过E作EG//BM，G∈平面A1DC，则∠A1EG=∠EA1H，

在△EA1H中，EA1=a，EH=DE=2a，A1H=a2+2a2-2⋅a⋅2a⋅【解析】【分析】

本题主要考查了条形图，中位数，是基础题．

根据统计图逐个分析选项即可．

【解答】

解：由条形图可知，这9年我国快递业务量逐年增加，故A错误;

将各年我国快递业务量同比增速按从小到大排列得：25.3%，26.6%，28.0%，30.5%，48.0%，51.4%，51.9%，54.8%，61.6%，故中位数为第5个数48.0%，故B错误;

这9年我国快递业务量同比增速的极差为61.6%-25.3%=36.3%>36%，故C错误;

由条形图可知，自2016年起，各年的快递业务量远超过210亿件，故快递业务量的平均数超过210亿件，D正确．

故选D．

9.【答案】BCD

【解析】【分析】

本题考查三棱锥的结构特征，二面角，侧(底)面面积，点到直线的距离以及三棱锥及其外接球体积的计算，属于较难题．

数形结合，记等边三角形△ABC的中心为P，取BC，AB的中点M，Q连结VP，VM，AM，VQ过点B作BN⊥AV于N，

连结CN.立足题中三棱锥结构特征结合题设条件运用直线与平面垂直的性质定理证得VP⊥平面ABC，;运用二面角的定义证得∠VMA为二面角V-BC-A的平面角;运用三角形的全等结合平面与平面垂直的性质定理，直线与平面垂直的性质定理证得BN⊥CN，BN=CN;然后BC=2，VC=x求得VC=2，最后结合各选项逐一展开计算即可得到结论．

【解答】

解：如图示，

在三棱锥-ABC中，记等边三角形△ABC的中心为P，取BC，AB的中点M，Q连结VP，VM，AM，VQ过点B作BN⊥AV于N，

连结CN．

∵顶点V在底面ABC的投影是底面的中心，

∴VP⊥平面ABC，①且VA=VB=VC．

又∵M，Q是BC，AB的中点．

∴VM⊥BC，AM⊥BC，VQ⊥AB

故∠VMA为二面角V-BC-A的平面角②，

∵AB=AC，VB=VC，VA公用．

∴△VBA≌△VCA．

∵平面VAB⊥平面VAC，平面VAB⋂平面VAC=VA，

BN⊥AV，BN⊂平面VAB，

∴BN⊥平面VAC，

∵CN⊂平面VAC

∴BN⊥CN．

又∵△VBA≌△VCA，

∴BN=CN．

设BC=2，VC=x．

则：PM=13AM=13AB2-BM2=33，VQ=VM=VA2-AQ2=x2-1．

∴S△VAB=12×AB×VQ=x2-1=12×VA×BN=x2BN．

故BN=CN=2x2-1x．

又∵BN⊥CN，

∴BC=2BN即2x2-2=x．

解得x=2

即VC=2

故VQ=VM=1，

VP=VM2-PM2=1-13=63．

∴VPVC=632=33③

三棱锥V-ABC的侧面积S侧=3×12×2×2=3，底面积S底=12【解析】【分析】

本题考查向量的线性运算，向量的平行、垂直和向量的数量积，三角形重心的性质，属于中档题．

利用向量平行得出关于k的方程，求解k的值判断A；利用向量的坐标运算以及求模公式判断B；利用三角形的重心性质结合向量的加法运算判断C；利用向量的数量积的运算法则得出a=b或c⊥a-b判断D．

【解答】

解：若a//b，则92×8-k2=0，解得k=±6

，

故不正确；

B.单位向量i=(1,0)，j=(0,1)，

则3i-4j=3,-4，

则|3i-4j|=32+-42=5，故正确；

C.若点G为△ABC的重心，设D为BC的中点，

由重心的性质得：GA=-2GD

11.【答案】AB

【解析】【分析】

本题主要考查了指数函数的性质，对数函数的性质，函数的零点个数以及复合函数的单调性，属于中等题．

由指数函数的性质可判断A；由对数函数的性质及复合函数的单调性可判断B；由反函数的定义可判断C；由奇函数的性质可判断D．

【解答】

解：对于A，令t=-x2+1，则t的最大值为1，

∴y=(12)-x2+1的最小值为12，故A错误；

对于B，∵函数在(0,1)上是减函数，

∴a>12-a≥0，解得1<a≤2，B错误；

对于C，∵函数y=2x与y=log2x互为反函数，

∴函数y=2x与y=log2x的图像关于直线y=x对称，故C正确；

对于D，∵定义在R上的奇函数f(x)在内有1010个零点，

∴f(x)在【解析】【分析】

本题考查了对数函数的性质的判断和运用，属于中档题．

求函数的定义域，根据函数奇偶性，复合函数的单调性，同一函数的概念依次判断各选项即可．

【解答】

解：由1-x1+x>0，得(1-x)(1+x)>0，解得：-1<x<1，

∴定义域为(-1,1)，

∴A不正确；

函数的定义域为(-1,1)关于原点对称，且f(-x)=ln1+x1-x=ln1-x1+x-1=-ln1-x1+x=-fx，是奇函数，

∴B正确；

函数y=1-x1+x=-1+21+x在(-1,1)上是减函数，根据复合函数的单调性，同增异减，

在定义域上是减函数，

∴C不正确；

当x∈(-1,1)时，；

由1-x>01+x>0，得-1<x<1，故的定义域为【解析】【分析】本题考查随机事件，概率的基本性质和概率的意义，事件的互斥和对立，属于拔高题．

根据必然事件的概念判定①错误；

根据概率的基本性质和概率的意义判定②正确；

概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值，随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，判定③，④错误；

根据互斥事件不一定是对立事件，但对立事件一定是互斥事件，判定⑤正确．【解答】解：必然事件的概率为1，故①错误．

灯泡的合格率是99%，所以从一批灯泡中任取一只，是合格品的可能性为99%，故②正确．

概率是确定的，与试验无关，故③错误．

随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，故④错误．

对立事件一定是互斥事件，故⑤正确；

故答案为②⑤．

14.【答案】[[

【解析】【分析】

本题主要考查函数定义域与值域、函数的单调性与单调区间，函数的最值问题以及集合关系中的参数取值问题

，属于中档题．

由题意，分析得知要使得对任意的x1∈[0,1]，存在x2∈[0,1]使得f(x1)⩾g(x2)，则gx在[0,1]上的最小值gxmin⩽fxmin，利用单调性可求解a的取值范围；要使得对任意的x1∈[0,1]，存在x2∈[0,1]使得f(x1)=g(x2)，得到fx在[0,1]上值域是gx在[0,1]上值域的子集，利用单调性与集合的包含关系可求出a的取值范围．

【解答】

解：由题意，要使得对任意的x1∈[0,1]，存在x2∈[0,1]使得f(x1)⩾g(x2)，则gx在[0,1]上的最小值gxmin⩽fxmin(fxmin是f(x)在f(x)在0,1上的最小值)，下面求出函数f(x)在0,1上的最小值，

因为fx=2x2x+1=2x2-1+2x+1=2x+1+2x+1-4，

利用y=x+1x函数图像性质可知f(x)在0,1上单调递增，

于是f(x)在x=0处取得最小值，即fxmin=f0=0，

因为-

【解析】【分析】

本题主要考查了同角三角函数基本关系的应用，两角和与差公式，以及辅助角公式，是中等题．

整理sinA(sinB+cosB)-sinC=0得sinB(sinA-cosA)=0，进而判断出cosA=sinA求得A；进而得B+C，利用辅助角公式化简sin2B+2sin2C，结合正弦函数的性质得何时sin2B+2sin2C取得最大值，最后利用诱导公式求得tan2B．

【解答】

解：∵sinA(sinB+cosB)-sinC=0，

∴sinAsinB+sinAcosB-sin(A+B)=0，

∴sinAsinB+sinAcosB-sinAcosB-cosAsinB=0，

∴sinB(sinA-cosA)=0．

因为B∈(0,π)，所以sinB≠0，从而cosA=sinA，

∴tanA=1，

由A∈(0,π)，知A=π4．

∴B+C=34π，

∴sin2B+2sin2C

=sin2B+2sin(32π-2B)

=sin2B-2cos2B

=555sin2B-255cos2B(设cos

【解析】【分析】本题主要考查了线面垂直的性质与判定、异面直线所成的角、正三棱锥的外接球的体积．

根据三棱锥的底面为正三角形且侧棱长相等得到正三棱锥，得到SO⊥面ABC，接着根据线面垂直的性质、正三角形的性质及线面垂直的判定得到AC⊥面SBE，进而得到SB⊥AC，最后根据中位线的性质证明出AC⊥MN;根据已知及线面垂直的判定得到SB⊥面SAC，从而结合正三棱锥得到其为相应正方体的一部分，求出球的半径及球的体积．【解答】解：如图所示，

在三棱锥S—ABC中，若底面ABC是正三角形，

侧棱长SA=SB=SC=3知，三棱锥S—ABC是正三棱锥，

则点S在底面ABC中的投影为底面的中心O，所以SO⊥面ABC，

因此SO⊥AC，又E为AC中点，AC⊥BE，SO∩BE=O，所以AC⊥平面SBE，SB⊂平面SBE，∴SB⊥AC，

又M、N分别为棱SC、BC的中点，则MN // SB，

因此MN⊥AC，异面直线MN与AC所成角为π2；

∵AM⊥MN，MN⊥AC，AM∩AC=A，

∴MN⊥平面SAC，又MN // SB，则SB⊥平面SAC，

又三棱锥S—ABC是正三棱锥，因此三棱锥S—ABC可以看成正方体的一部分且S，A，B，C为正方体的四个顶点，故球的直径为(3)2+(3

17.【答案】解：(1)因为g(x)为奇函数，

所以g(-x)=-g(x)恒成立，即log1即得1+ax-x-1=x-1经检验，a=1不合题意，故a=-1；(2)由(1)得f(x)=1-(12因为x∈[-3,2]，所以t∈[1因此f(x)化为h(t)=t2-t+1使用t=12时，当t=8时，hmax所以f(x)值域为[34,57]，

又因为函数y=f(x)+m所以实数m的取值范围是[-57,-3(3)由已知，|f(x)|≤5在[0,+∞)上恒成立，即-5≤f(x)≤5，化简得-6⋅2x-所以[-6⋅2x设t=2x，因为x∈[0,+∞)，即得t≥1，记易得G(t)=4t-1t在[1,+∞)上单调递增，所以设1≤t1所以F(t)在[1,+∞)上单调递减，故Fmax因此实数a的取值范围是[-7,3]

．

【解析】本题主要考查函数的奇偶性、函数的最值，函数的零点与方程根的关系以及不等式的恒成立问题，属于中档题．

(1)

利用g(x)为奇函数，得到1+ax-x-1=x-11-ax，检验得知a=-1；

(2)由(1)，令t=(12)x将f(x)化为h(t)=t2-t+1，利用二次函数知识求得f(x)的值域，再利用函数的零点与方程根的关系可求得实数m的取值范围；

(3)利用题设条件，得到-5≤f(x)≤5，化简得到关于a的不等式组[-6⋅2x-(12)x]max由题意得：2-π8-φ=π2+kπ，(2)因为cfC-gC=acosB+bcosA，

所以，

即c2cosC=acos由余弦定理得，17=a2+b2-ab①由①②解得a+b=35，

则周长C=a+b+c=

【解析】本题主要考查三角函数的化简，同角三角函数基本关系式，二倍角公式及辅助角公式的应用，余弦定理及三角形面积公式的应用，属于中档题．

(1)先化简函数得y=1+a2sin2x-φ再根据题意得2-π8-φ=π2+kπ，k∈Z，解得φ=π4，即a=1；

(2)将已知条件化简得cosC=12，由余弦定理得到17=a又AB=OB-所以n+3=(7-n)(2-m)，①因为OA⊥OB，所以-3n+3(m+1)=0，即n=m+1由①、②解得m=8n=9或m=1(2)因为OG=23OB，

所以所以m=1，n=2，所以OA=(-3,2)，OC因此．

【解析】本题考查向量平行与垂直的判定，考查向量的坐标运算，考查向量夹角的求解，注意向量数量积的运算与性质，属于中档题．(1)根据三点A，B，C在一条直线上，可得AB//BC，结合OA⊥OB，根据向量平行与垂直的条件分别建立关于(2)根据OG=23OB，可得m=1，n=2，进而可知

20.【答案】(1)证明：取EC中点N，连结MN，BN，

在△EDC中，M，N分别为ED，EC的中点，

所以MN//CD，且MN=12CD，

由已知AB//CD，AB=12CD，

所以MN//AB，且MN=AB，

所以四边形ABNM为平行四边形，

所以BN//AM，

又因为BN⊂平面BEC，且AM⊄平面BEC，

所以AM//平面BEC．

(2)证明：在正方形ADEF中，ED⊥AD，

因为ED⊥DC，AD∩DC=D，AD，DC⊂平面ABCD，

所以ED⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，

所以ED⊥BC．

又在直角梯形ABCD中，AB=AD=1，CD=2，∠BDC=45°，

所以BC=2，

在△BCD中，BD=BC=2，CD=2，

所以BD2+BC2=CD2，

所以BC⊥BD，

因为ED∩BD=D，ED，BD⊂平面BDE，

所以BC⊥平面BDE．

因为BC⊂平面BCD，

所以平面BCD⊥平面BDE．

(3)解：设点D到平面【解析】本题考查简单多面体及其结构特征，线面平行的判定与性质，面面垂直的判定，利用三棱锥的体积求空间中点到平面的距离，是中档题．

(1)取EC的中点N，连结MN，BN，则有MN//CD，结合已知可得四边形ABNM为平