江苏省无锡市江阴市长泾片2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷

2022-2023学年江苏省无锡市江阴市长泾片八年级第一学期期中

数学试卷

一.选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

I.下面是科学防控新冠知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形

戴口罩，讲卫生

A.打喷嚏，捂口鼻B.

@©喷嚏后,慎揉眼

C.勤洗手,勤通风

2.如图，已知下列所给条件不能证明△ABC丝△OCB的是（）

A.ZA=Z£>B.AC=BDC.NACB=NDBCD.AB=DC

3.已知等腰三角形的两条边长分别是2和4,则它的周长是（）

A.8B.8或10C.10D.无法确定

4.如图，如果把AABC沿折叠，使点C落在边A8上的点E处，那么折痕（线段AO）

是△ABC的（）

A.中线

B.角平分线

C.高

D.既是中线，又是角平分线

5.下列说法正确的是（）

A.形状相同的两个三角形全等

B.角不是轴对称图形

C.全等的两个三角形一定成轴对称

D.等腰三角形的底角必小于90°

6.如图，已知△ABC中，NB=50°,P为AABC内一点，过点P的直线MN分别交AB,

BC于点M、N.若M在PA的中垂线上，N在PC的中垂线上，则/APC的度数为（）

A.100°B.105°C.115°D.120°

7.如图，两个正方形的面积分别为64和49,则AC等于（）

8.如图，在等边aABC中，AD.CE是△ABC的两条中线，AD=5,P是4。上一个动点,

则P8+PE最小值的是（）

C.7.5D.10

9.如图，已知RtzXABC中，ZC=90°,乙4=30°,在直线8C或AC上取一点P,使得

△PA8是等腰三角形，则符合条件的尸点有（）

BC.

A.5个B.6个C.7个D.8个

10.已知：如图，ZSABC中，8。为△ABC的角平分线，且8O=8C,E为BD延长线上的

一点，BE=BA,过E作EFLAB,F为垂足.下列结论：①△AB。丝△EBC；②NBCE+

ZBCZ）=180°；@AD=AE=EC；@BA+BC^2BF.其中正确的是（）

A.①②③B.①③④C.①②④D.①@©④

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

11.在等腰三角形4BC中，ZA=120°,则N8=.

12.已知aABC的三边长分别为6、8、10,则最长边上的中线长为.

13.在直角AABC中，NC=90°,AO平分NBAC交BC于点。，若CD=4,则点。到斜

边AB的距离为.

14.如图，△ABC中，CO_LAB于。，AC=BC,E是AC的中点.若AO=12,DE=10,

15.如图，把一个长方形的纸片沿EF折叠后，点。、C分别落在点M、N的位置，如果/

EFB=65°,那么NAEM等于.

16.如图，线段AB、8C的垂直平分线人/2相交于点0,若Nl=39°,则NAOC=

17.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如下图所

示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设

直角三角形较长直角边长为“，较短直角边长为6,若（a+6）2=21,大正方形的面积为

18.如图，RtZ\ABC中，/ACB=90。，ZABC=30°,4c=6,£>是线段AB上一个动点，

以BD为边在△ABC外作等边△BOE.若尸是OE的中点，当CF取最小值时，4BDE

的周长为.

CB

三、解答题（本大题有8小题，共66分）

19.已知：如图，点E、F在线段B。上，BE=DF,AB//CD,/A=/C.

求证：AB=CD

A

20.如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1.

(1)画出△ABC关于直线/对称的图形△AIBCI；

(2)在直线/上找一点P,使尸B=PC；(要求在直线/上标出点P的位置)

(3)连接PA、PC,计算四边形以8C的面积.

21.如图，在R&BC中，ZB=90",分别以点A、C为圆心，大于长为半径画弧,

两弧相交于点M、N,连接与AC、BC分别交于点。、E,连接4E.

(1)按要求作出草图，并求NAOE=；(直接写出结果)

(2)当AB=3,AC=5时，求△ABE的周长.

22.如图，ZVIBC中，AO是高，E、尸分别是48、AC的中点.

(1)若AB=10,AC=8,求四边形AEOF的周长；

(2)EF与有怎样的位置关系？请证明你的结论.

A

23.如图，四边形ABC。中，AB=20,BC=15,CD=1,A£>=24,ZB=90°.

(1)判断/D是否是直角，并说明理由.

(2)求四边形ABC。的面积.

24.定义：如图，等腰4ABC中，点E,尸分别在腰A8,4C上，连结EF,若AE=CE

则称EF为该等腰三角形的逆等线.

(1)如图1,E尸是等腰△4BC的逆等线，EFVAB,A8=AC=8,AE=3,求逆等线

EF的长;

(2)如图2,若直角三角形△OEf"的直角顶点。恰好为等腰直角△A8C底边BC上的中

点，且点E,尸分别在AB,AC上，求证：EF为等腰4ABC的逆等线.

若点P从点A出发，以每秒

2cm的速度沿折线4-B-C-A运动，设运动时间为/秒(/>0).

(1)若点尸在8C上且满足PA=PB,则此时t=

(2)若点P恰好在NABC的角平分线上，求此时f的值;

(3)在点尸运动过程中，若△4CP为等腰三角形，则此时f=

26.过三角形的顶点作射线与其对边相交，将三角形分成两个三角形.若得到的两个三角形

中有等腰三角形，这条射线就叫做原三角形的“友好分割线”.

(1)下列三角形中，不存在“友好分割线”的是(只填写序号).

①等腰直角三角形；②等边三角形；③顶角为150°的等腰三角形.

(2)如图1,在△ABC中，ZA=60°,NB=40°,直接写出△ABC被“友好分割线”

分得的等腰三角形顶角的度数；

(3)如图2,中，/A=30°,CO为AB边上的高，BD=2,E为AO的中点，

过点E作直线/交AC于点F,作CMJJ,DNLI,垂足为M,N.若射线为AABC

的“友好分割线”，求CM+DN的最大值.

参考答案

一.选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.下面是科学防控新冠知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形

打喷嚏，捂口鼻B.口罩，由卫生

密喷嚏后，慎揉眼

C勤洗手，勤通风

【分析】根据轴对称图形的概念求解.如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重

合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.

解：A.不是轴对称图形，故此选项不合题意；

B.是轴对称图形，故此选项符合题意；

C.不是轴对称图形，故此选项不合题意;

D.不是轴对称图形，故此选项不合题意.

故选:B.

【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分

沿对称轴折叠后可重合.

2.如图，已知下列所给条件不能证明△ABC四△DCB的是（）

A.B.AC=BDC.NACB=NDBCD.AB=DC

【分析】利用SSS、SAS.ASA、AAS.HL进行分析即可.

解：A、添加可利用AAS判定△ABC0△DCB,故此选项错误;

B、添加AC=BO不能判定△ABC会△■DCS,故此选项正确；

C、添加NACB=ND8C可利用4s4判定△ABC也△OC8,故此选项错误；

D、添加AB=C£＞可利用SAS判定△ABC丝△OCB,故此选项错误；

故选：B.

【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、

ASA、AAS,HL.

注意：414、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，

若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.

3.已知等腰三角形的两条边长分别是2和4,则它的周长是（）

A.8B.8或10C.10D.无法确定

【分析】根据2和4可分别作等腰三角形的腰，结合三边关系定理，分别讨论求解.

解：当2为腰时，三边为2,2,4,由三角形三边关系定理可知，不能构成三角形，

当4为腰时，三边为4,4,2,符合三角形三边关系定理，周长为：4+4+2=10.

故选：C.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理.关键是根据2,4,分别

作为腰，由三边关系定理，分类讨论.

4.如图，如果把△ABC沿40折叠，使点C落在边AB上的点E处，那么折痕（线段A。）

是△ABC的（）

A.中线

B.角平分线

C.高

D.既是中线，又是角平分线

【分析】根据翻折变换的性质可得对应的角相等，进而得出AZ）是角平分线.

解：由翻折变换的性质得，ZCAD=ZEAD,

二4。平分NBAC,

故选：B.

【点评】本题考查翻折变换，掌握翻折的性质，即对应角相等，对应边相等是解决问题

的关键.

5.下列说法正确的是（）

A.形状相同的两个三角形全等

B.角不是轴对称图形

C.全等的两个三角形一定成轴对称

D.等腰三角形的底角必小于90°

【分析】选项A根据全等三角形的定义判断即可；选项B根据角的性质以及轴对称图形

的定义判断即可；选项C根据全等三角形的定义判断即可；选项。根据等腰三角形的性

质以及三角形的内角和定理判断即可.

解：A.形状和大小相同的两个三角形全等，原说法错误，故本选项不合题意；

B.角是轴对称图形，原说法错误，故本选项不合题意；

C.全等的两个三角形不一定成轴对称，原说法错误，故本选项不合题意；

D.等腰三角形的底角必小于90°,说法正确，故本选项符合题意.

故选：D.

【点评】此题主要考查了全等三角形，等腰三角形的性质以及轴对称图形的定义，判断

是不是轴对称图形的关键是找出对称轴，看图形沿对称轴对折后两部分能否完全重合.

6.如图，已知△ABC中，ZB=50°,P为aABC内一点，过点P的直线分别交AB,

BC于点、M、N.若M在PA的中垂线上，N在PC的中垂线上，则/APC的度数为（）

A.100°B.105°C.115°D.120°

【分析】根据三角形的内角和得到/8AC+NACB=130。，根据线段的垂直平分线的性

质得到PN=CN,由等腰三角形的性质得到NCPN=/PCN,

进而得出/MAP+/PCN=/PAC+/ACP=*X130。=65°,根据三角形内角和定理计

算即可.

解:VZABC=50°，

：.ZBAC+ZACB=[30Q,

•.•M在PA的中垂线上，N在PC的中垂线上,

：.AM=PM,PN=CN,

NMAP=ZAPM,NCPN=ZPCN,

'：ZAPC=180°-ZAPM-NCPN=180°-ZPAC-ZACP,

：.AMAP+ZPCN^ZPAC+ZACP^—X130°=65°,

2

；./APC=115°,

故选：C.

【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和

定理，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键.

7.如图，两个正方形的面积分别为64和49,则AC等于（）

BC

A.15B.17C.23D.113

【分析】根据正方形的性质求出AB、BD、Z）C的长，再根据勾股定理求出AC的长即可.

解：•.•两个正方形的面积分别是64和49,

：.AB=BD=S,OC=7,

根据勾股定理得：AC=7AB2+BC2=17-

故选:B.

【点评】本题考查了勾股定理，求出AB、BC的长并熟悉勾股定理是解题的关键.

8.如图，在等边△4BC中，A。、CE是AABC的两条中线，AD=5,P是A£＞上一个动点,

则P8+PE最小值的是（)

A.2.5B.5C.7.5D.10

【分析】如图连接PC,只要证明PB=PC,即可推出PB+PE=PC+PE,由PE+PCNCE,

推出尸、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为A。的长度.

解：如图连接PC,

"：AB=AC,BD=CD,

：.AD±BC,

：.PB=PC,

：.PB+PE=PC+PE,

■:PE+PC>CE,

,P、C、E共线时，PB+PE的值最小,

最小值为CE的长度，即为AO的长为5.

故选：B.

【点评】本题考查轴对称-最短问题，等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等

知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

9.如图，已知Rt^ABC中，NC=90°,NA=30°,在直线BC或AC上取一点P,使得

△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有（）

B.6个C.7个D.8个

【分析】根据等腰三角形的判定定理，结合图形即可得到结论.

解：如图，第1个点在。延长线上，取一点P,使BA=AP；

第2个点在CB延长线上，取一点P,使

第3个点在4c延长线上，取一点P,使AB=P8；

第4个点在8c延长线上，取一点尸，使A8=PA；

第5个点在AC延长线上，取一点P,使AB=AP；

第6个点在AC上，取一点P,使=

符合条件的点尸有6个点.

【点评】本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题，其关键是根据题意，画出符合

实际条件的图形，再利用数学知识来求解.

10.已知：如图，ZXABC中，80为aABC的角平分线，且8Z）=8C,E为3。延长线上的

一点，BE=BA,过E作ERLA8,尸为垂足.下列结论：①△ABOg^EBC；②NBCE+

ZBCD=180°；®AD=AE=EC^®BA+BC=2BF.其中正确的是（）

E

D

A.①②③B.①③④C.①®@D.①②③④

【分析】易证可得/8CE=NBD4,4Z)=EC可得①②正确，再根据角

平分线的性质可求得ND4E=NOCE,即③正确，根据③可求得④正确.

解：

①;B。为△ABC的角平分线，.•./ABO=/CB£>,

'BD=BC

...在△AB。和△EBC中，，ZABD=ZCBD-

BE=BA

...△48。丝△EBC(SAS)，…①正确；

②为△ABC的角平分线，BD=BC,BE=BA,

：.NBCD=NBDC=ZBAE^乙BEN,

'：/\ABD^/^EBC,：.NBCE=NBDA,

：.ZBCE+ZBCD=ZBDA+ZBDC=\SO°,…②正确；

③•.,/BCE=NBQA,NBCE=NBCD+NDCE,NBDA=NDAE+/BEA,NBCD=N

BEA,

：.NDCE=NDAE,

...△ACE为等腰三角形，

.\AE=EC,

■:△ABDQ/XEBC,

:・AD=EC,

・,.AO=AE=EC・・•③正确；

④过E作EGLBC于G点，

是NABC的角平分线2。上的点，且EF_LA8,

:.EF=EG(角平分线上的点到角的两边的距离相等)，

BE=BE

•.,在RtAB£G和RtABEF中,

EF=EG'

：.Rt/\BEG^Rt/\BEF(HL),

：.BG=BF,

EF=EG

在Rt/XCEG和RtA^FE中,

AE=CE(

/.RtAC£G^RtAA£F(HL),

：.AF=CG,

：.BA+BC=BF+FA+BG-CG=BF+BG=2BF.…④正确.

故选：D.

【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的对应边、对应角相等的性

质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题

的关键.

二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)

11.在等腰三角形A8C中，ZA=120°,则N8=30°

【分析】题中没有指明这个角是底角还是顶角，故应该分两种情况时行分析，从而求解.

解：当/A是顶角时，/B=(180。-120°)+2=30。；

当/A是底角时，则另一个底角也是120°,因为120°+120°>180°,所以不符合三

角形内角和定理，故舍去;

故答案为：30。.

【点评】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用.

12.已知△A8C的三边长分别为6、8、10,则最长边上的中线长为5.

【分析】根据勾股定理的逆定理得到这个三角形是直角三角形，根据直角三角形的性质

计算即可.

解:•••62+82=100,

102=100,

.,.62+82=102,

这个三角形是直角三角形，

最长边上的中线长为5,

故答案为：5.

【点评】本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理的逆定理的应用，掌握直角三角形

中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键.

13.在直角^ABC中，ZC=90°,平分/8AC交BC于点。，若C£)=4,则点。到斜

边A3的距离为4.

【分析】根据角平分线的性质定理，解答出即可；

解：如右图，过。点作DELAB于点E,则。E即为所求,

VZC=90°,平分/BAC交8c于点£),

：.CD=DE(角的平分线上的点到角的两边的距离相等)，

VC£>=4,

：.DE=4.

故答案为：4.

【点评】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等.

14.如图，△4BC中，CDJ_A8于。，AC=BC,E是AC的中点.若A£>=12,DE=10,

R

【分析】先利用等腰三角形的性质得到AD=BD=U,即。为A8的中点，则判断DE

为△ABC的中位线，则BC=2DE=20,然后利用勾股定理计算CD的长.

解：•；AC=BC,CDLAB,

.\AD^BD=\2,即。为A8的中点，

YE是AC的中点，

.♦.DE为aABC的中位线，

：.DE^—BC,

2

:.BC=2DE=20,

22

在RtZiBCQ中，CD=VBC-BD=V202-122=16.

故答案为：16.

【点评】本题考查了三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三

边的一半.也考查了等腰三角形的性质和勾股定理.

15.如图，把一个长方形的纸片沿E尸折叠后，点。、C分别落在点M、N的位置，如果/

【分析】根据两直线平行，内错角相等可得再根据翻折的性质和平角

等于180°列式计算即可得解.

解：•.,矩形对边AO〃BC,

；.NDEF=NEFB=65°,

♦.•沿EF折叠后，点。、C分别落在点M、N的位置，

NDEF=NMEF,

：.ZAEM=\S00-65°X2=50°.

故答案为：50。.

【点评】本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，熟记各性质是解题的关键.

16.如图，线段A8、8c的垂直平分线/i、/2相交于点。，若N1=39°,则N4OC=78°

H

【分析】解法一：连接80,并延长80到P,根据线段的垂直平分线的性质得40=。8

=。（：和/8。0=/3£。=90。，根据四边形的内角和为360。得N£»0E+/ABC=180。，

根据外角的性质得NAOP=/A+/A8O,NCOP=NC+NOBC,相加可得结论.

解法二：连接08,同理得AO=OB=OC,由等腰三角形三线合一得NA0D=N80。，

ZBOE=ZCOE,由平角的定义得/800+/8。后=141。，最后由周角的定义可得结

论.

解：解法一：连接80,并延长80到P,

•.•线段AB、BC的垂直平分线/卜/2相交于点0,

：.AO=OB=OC,NBDO=NBEO=90°,

：.ZDOE+ZABC=180°,

VZDOE+Z1=180°,

.../42C=/1=39°,

'：OA=OB=OC,

：.ZA=ZABO,ZOBC=ZC,

'：ZAOP^ZA+ZABO,ZCOP^ZC+ZOBC,

：.ZAOC^ZAOP+ZCOP^ZA+ZABC+ZC=2X39°=78°；

解法二：

连接OB,

・・♦线段A3、3c的垂直平分线八、/2相交于点。，

.\AO=OB=OC,

：.ZAOD=/BOD,NBOE=乙COE,

VZDOE+Z1=180°,Zl=39°,

AZDOE=141°,即N30Z)+NB0E=141。,

AZAOD+ZCOE=141°,

・・・NAOC=360°-(NBOD+NBOE)-(NAOO+NCOE)=78°；

故答案为：78。.

【点评】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性

质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.

17.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如下图所

示的‘‘赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设

直角三角形较长直角边长为“，较短直角边长为b,若(〃+/2=21,大正方形的面积为

13,则小正方形的面积为5.

【分析】观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积-4个直角三角形的面积，利

用已知("+b)2=21,大正方形的面积为13,可以得出直角三角形的面积，进而求出答

案.

解：如图所示：

'/(。+6)2=21,

".a2+2ab+b2=2l,

•.•大正方形的面积为13,

2ab=2\-13=8,

二小正方形的面积为13-8=5,

【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练应用勾股定理是解题关键.

18.如图，RtZ\ABC中，/ACB=90。，NABC=30。，AC=6,。是线段AB上一个动点，

以BD为边在△ABC外作等边若尸是OE的中点，当C尸取最小值时，ABDE

的周长为18.

【分析】连接BF,过点C作交BF的延长线于H,由等边三角形的性质可知

NABF=30°,则点尸在射线BF上运动，当点F与点，重合时，CF最小，从而解决问

题.

解：连接8凡过点C作CHLBF.交8尸的延长线于H,

是等边三角形，点F是OE的中点,

，/ABF=30°,

.•.点F在射线8F上运动，

当点尸与点H重合时，CF最小，

VZACB=90°，ZABC=30°,

AZA=60°，AB=2AC=12,

'：ZABF=30°,

AZBD'H=ZAD'C=60°,

.♦.△AC。是等边三角形，

：.AD'=AC=6,

：.BD'=AB-AD'=\2-6=6,

的周长为：18,

故答案为：18.

【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，垂线段最短等知识，确定点尸的运

动路径是解题的关键.

三、解答题（本大题有8小题，共66分）

19.已知：如图，点E、F在线段8。上，BE=DF,AB//CD,/A=NC.

求证：AB^CD.

【分析】利用AAS证明△ABF也△(?£)£即可解决问题.

【解答】证明：•；8E=£>F,

：.BE+EF=DF+EF,

：.BF=DE,

,JAB//CD,

,NB=ND,

在△AB尸和△(?£>£：中，

'NA=NC

<ZB=ZD«

BF=DE

/.AABF^ACDE(AAS),

：.AB=CD.

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到aAB尸丝△COE.

20.如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1.

（1）画出△ABC关于直线/对称的图形△ABC”

（2）在直线/上找一点P,使PB=PC；（要求在直线/上标出点P的位置）

（3）连接PA、PC,计算四边形PABC的面积.

【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于直线/的对称点4、Bi、G的位置，

然后顺次连接即可；

（2）根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等，过BC中点D作DPJ_8C交直线

/于点尸，点P即为所求；

（3）根据S四边杉PA8C=SAA8C+SZMPC歹！］式计.算即可得解.

解：（1）△Ai3iG如图所不；

（2）如图所示，过BC中点。作。尸，BC交直线/于点P,此时PB=PC；

【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等

的性质，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键.

21.如图，在Rt/XABC中，NB=90°,分别以点A、C为圆心，大于aAC长为半径画弧,

两弧相交于点M、N,连接与AC、BC分别交于点。、E,连接AE.

（1）按要求作出草图，并求/ADE=90。：（直接写出结果）

（2）当48=3,AC=5时，求aABE的周长.

【分析】（1）根据题意作出图形；根据题意可知MN是线段4c的垂直平分线，由此可

得出结论；

（2）先根据勾股定理求出3c的长，再根据线段垂直平分线的性质即可得出结论.

解：（1）如图所示.

•.•由题意可知MN是线段AC的垂直平分线，

:.NADE=90°.

故答案是：90。；

(2)是线段AC的中垂线，

：.EA=EC,

在RtAABC中，BC=hc2TB2=^52-32=4，

/.C^ABE^AB+BE+EA=AB+BE+EC=AB+BC=3+4^1.

【点评】本题考查的是作图-基本作图，勾股定理，熟知垂直平分线上任意一点，到线

段两端点的距离相等是解答此题的关键.

22.如图，△4BC中，AD是高，E、尸分别是AB、AC的中点.

（1）若48=10,AC=8,求四边形AEE（尸的周长；

（2）EF与A。有怎样的位置关系？请证明你的结论.

【分析】（1）根据线段中点的性质、直角三角形的性质计算；

（2）根据线段垂直平分线的判定定理得到E、F在线段的垂直平分线上，得到答案.

解：（1）•••£、F分别是A3、AC的中点，

：.AE=—AB=5,AF=2AC=4,

22

•.•A。是高，E、F分别是AB、AC的中点，

：.DE=—AB=5,DF^—AC^4,

22

四边形AEDF的周长=AE+E£>+OF+FA=18；

（2）E尸垂直平分AO.

证明：是ABC的高，

.•./AQB=NAOC=90°,

是A8的中点，

：.DE=AE,

同理：DF^AF,

：.E,F在线段AO的垂直平分线上，

垂直平分AO.

【点评】本题考查的是三角形中位线定理、线段垂直平分线的判定，掌握三角形的中位

线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键.

23.如图，四边形ABCC中，AB=20,BC=15,CQ=7,AD=24,ZB=90°.

（1）判断/£>是否是直角，并说明理由.

（2）求四边形ABC。的面积.

B

【分析】（1）连接AC,根据勾股定理可知A^=8A2+8C2,再根据ACuOAZ+nc?即可

得出结论；

（2）根据S四边柩ABCD=SAABC+SAADC即可得出结论.

解：（1）NO是直角.

理由：连接AC,

VZB=90°,

：.AC2=BA2+BC2=^400+225=625,

DA2+CD2=242+72=625,

.•.AC^^DA^DC2,

.•.△4£>C是直角三角形，即/£>是直角；

（2）四边形ABCD=SZXABC+SAADC,

•"•SmiliKABCD=—AB-BC+—AD'CD

22

=—X20X15+—X24X7

22

=234.

【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长。，b,c满足/

=cV那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键.

24.定义：如图，等腰AABC中，点E,F分别在腰AB,AC±,连结EF,若AE=CF,

则称EF为该等腰三角形的逆等线.

(1)如图1,所是等腰AABC的逆等线，EFVAB,AB=AC=8,AE=3,求逆等线

EF的长；

(2)如图2,若直角三角形△£>£/的直角顶点。恰好为等腰直角△ABC底边8c上的中

点，且点E,尸分别在A8,4c上，求证：EF为等腰4ABC的逆等线.

【分析】(1)由等腰三角形的逆等线的定义可得CF=AE=3,由勾股定理可求解;

(2)由“ASA”可证△ED4Z△尸力C,可得AE=C/，可得结论.

【解答】(1)解：尸是等腰△ABC的逆等线，

：.CF=AE^3,

又：A8=AC=8,

：.AF=5,

'：EFLAB,

£F=VAF2-AE2=V25-9=4；

(2)证明：连接A。，

在等腰Rt^ABC中，点。为底边上中点，

：.AD=CD,ZADC=90°,ZBAD=ZC=45°

又,.,N£DF=90°,

ZEDA=900-ZADF=NFDC,

在△EDA和△FQC中，

'NBAD=/C

<AD=CD，

ZADE=ZCDF

：./\EDA^/\FDC(ASA),

：.AE=CF,

：.EF为等腰△ABC的逆等线.

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，理

解等腰三角形的逆等线定义是解题的关键.

25.如图，ZVIBC中，乙4cB=90°,AB=5cm,BC=4cm,若点P从点A出发，以每秒

2cm的速度沿折线4-8-C-A运动，设运动时间为/秒(/>0).

(1)若点P在上且满足PA=PB,则此时f=.

(2)若点P恰好在/ABC的角平分线上，求此时f的值；

(3)在点P运动过程中，若尸为等腰三角形，则此时f=2或盘或2或3.

-4—2-5-------

【分析】(1)设PB=PA=x,贝iJPC=4-x,在RtZVICP中，依据AG+PCZMAP?,列

方程求解即可得到f的值.

(2)设PO=PC=y,则AP=3-y,在RtZ\AOP中，依据4£>2+p£)2=4p2,列方程求解

即可得到，的值.

(3)分四种情况：当尸在AB上且AP=CP时，当P在AB上且AP=CA=3时，当尸

在AB上且AC=PC时，当尸在BC上且AC=PC=3时，分别依据等腰三角形的性质即

可得到/的值.

解：(1)如图，设PB=PA=x,贝iJPC=4-x,

.\AC=3cm,

222

在RtZ\ACP中，AC+PC=AP9

32+(4-%)

解得X=--,

8

8

25

,,_AB+BP_5^_65

••i--------x-------.

216

故答案为：黑.

16

(2)如图，过P作P£»，AB于。,

♦・,3尸平分NA3CZC=90°,

：.PD=PC,BC=BD=4,

・・・AO=5-4=1,

设PD=PC=y,则AP=3-y,

222

在Rt/XADP中，AD+PD=APf

：.l2+f=(3-y)2,

解得产4，

o

4

._AB+BC<P-5+4+v-31

••if~0~，

26

当点尸与点8重合时，点P也在/ABC的角平分线上，

此时，胃学=堤.

22

综上所述，点尸恰好在/A8C的角平分线上，f的值为雪或号.

62

（3）分四种情况：

①如图，当P在48上且AP=CP时,

N

NA=NACP,而NA+NB=90°,ZACP+ZBCP=90°,

・・・NB=/BCP,

:・CP=BP,

1R

・・・P是AB的中点，即AP=$B=»|,

・,AP5

24

②如图，当尸在48上且AP=CA=3时，

22

_AC>BC_12

③如图，当P在AB上