模拟考试试题（理数）

数学(理工类)

本卷分第I卷和第n卷两部分，共4页.满分150分.考试用时120分钟.考试结束后将答题卡交回.

注意事项：

1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和

试卷规定的位置上.

2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净

后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.

3.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写

在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不

按以上要求作答的答案无效.

4,填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

参考公式：

样本数据“电,…，X”的方差S2=3(凡4)2+(々4)2+…+(居4)2］，其中最为样本的平均数；

n

锥体体积公式：V^-Sh,其中S为锥体底面的面积，力为锥体的高；

3

圆锥的侧面积公式：S=7irl,其中r是圆锥的底面半径，/是圆锥的母线长；

圆柱的侧面积公式：S=270-1,其中r是圆柱的底面半径，/是圆柱的母线长.

第I卷(共60分)

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1、若全集U=R,集合A={x||2x+3卜5},B={x|y=log3(x+2)},则CJAB)=

A.艮xWT敢21}B.{x|x＜T或＞1}C.麻＜一2物＞1}D.＞1}

7T

2.已知非零向量a、分满足向量a+》与向量a-b的夹角为一，那么下列结论中一定成立的是

2

A.a=bB.|a|=|6|C.aLbD.ab

3.S,是数列{《}的前〃项和，则“S,是关于〃的二次函数”是“数列{q}为等差数列”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件I).既不充分也不必要条件

4、如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”.给出下列函数：

@/(x)=sinxcosx；②/(x)=2sin(x+—)；③/(x)=sinx+＞/3cosx

4

④/(x)=&sin2x+1.

其中“同簇函数”的是()

A.①②B.①④C.②③D.③④

22

5.若双曲线二-4=1(。＞0,。＞0)与直线丁=6%无交点，则离心率e的取值范围

ab~

A.(1,2)B.(1,2]c.D.a>/5]

6.一个几何体的三视图如右图所示，则这个几何体的体积等于（）

A.4B.6C.8D.12

/输出x/

[结束|

7.已知实数xe[0,8],执行如右图所示的程序框图，则输出的无不

小于54的概率为（）

8.函数f(x)=log2|A|,g(x)=-f+2,则f(x)•g(x)的图象只可能是()

1

9.已知a、夕是三次函数/（x）U+-ax2+2bx(a,0eR)的两个极值点，且aw(0,l),/?e(l,2),

32

b-3

则的取值范围是

a-2

,2、B.(|,D2

A.(-℃,-)C.(l,+oo)D.(-oo,-)u(l,+oo)

10.过抛物线V=2px焦点F作直线/交抛物线于A,B两点,0为坐标原点，则ABC为

A.锐角三角形B.直角三角形C.不确定D.钝角三角形

11.将1,2,3,--9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从

左到右，每一列从上到下分别依次增大，当3,4固定在图中的位置时，

填写空格的方法数为

34

A.6种B.12种

C.18种D.24种

12.定义在R上的函数/（x）满足（x-l）/（x）W0,且y=/（x+l）为偶函数，当归一1|＜人一]时，有

A./（2-玉）＞/（2—赴）B./（2—万）=/（2一9）

-2-

C./(2-^)</(2-X2)D./(2-%,)<7(2-^)

第II卷(非选择题共90分)

二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.

13.i是虚数单位，在1,2,3…2012中有个正整数〃能使得(1+牙"=—2"」成立；

14.已知函数/(x)=3d+2x+l,若JJ(x)出：=2/(。)(a〉0)成立，则。=.

232

解析：因为/f(x)dx=/(3x+2x+l)dx=(x+x+x)|-1=4,所以2(3a2+2a+l)=4na=-l或a

-1-1

=1

一3，

田田1

答案：3

15.在A48C中，角A、B、C所对的边为a,b,c,若成等差数歹(],则角B的范围是

16.下列正确命题的序号是

(1)"m=-2”是直线(m+2)x+my+1=0与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直的必要不充分条件

(2)mac使得函数y=|x+l|+|x+a|是偶函数

(3)不等式：—12---,

2124

由此猜测第〃个不等式为」-a+，+2+…+」一)》!(‘+』+2+…+」•)

〃+1352n-ln2462n

2

(4)若二项式(x+r)?的展开式中所有项的系数之和为243,则展开式中方’的系数是4()

三、解答题：本大题共6个小题.共74分.

17.(本题满分12分)已知函数/(x)=J5asinx+Z>cos(x-

326

(1)求实数a,〃的值;

(2)求函数/(x)的周期及单调增区间.

解:⑴\•函数解x)=V^asinx+18s(x-g)的图象经过点(乙」象？',0),

3326

层争+7

3分

一金一旦=0

22

解得：a=\,b=-l6分

(2)由(1)知:f(2x)-V3sin2x-cos(2x——)=-ysin2x--cos2x=sin(2x——)

函数F(x)的周期丁=1(10分)

JIJIIT,,or2冗

由2A■冗——^：2x——^2k7i+—,解得24人一4兀〃金Z.

ZbZoo

rrTC

即函数的增区间kn一一,2&%+—kcz.(12分)

63

18.（本题满分12分）

为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情

况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），

已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3,其中第

2小组的频数为12.

（1）求该校报考飞行员的总人数；

（2）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）

任选三人，设X表示体重超过60公斤的学生人数，求X的分布列和数学期望.

18.解：（1）设报考飞行员的人数为〃，前三小组的频率分别为p「P2,“3,则由条件可得:

P2=2Pl

p3=3p,解得P1=0.125%=0.25,p3=0.375....4分

Pi+〃2+〃3+(0-037+0.013)x5=1

又因为小=0.25=—,故〃=48.......................6分

n

⑵由（1）可得，一个报考学生体重超过60公斤的概率为p=〃3+（0.037+0.013）x5=*……8

8

分

所以x服从二项分布,p（x=幻=或4）*弓产

88

・•.随机变量X的分布列为：

X0123

27135225125

P512512512512

c27,135c225+3x生15

则Er=0x---+1x---+2x----................12分

512512512512

（或：E"x=3Qx-5=—15）、

88

18、（本题满分12分）学、

在斜三棱柱ABC-A.B.C,中,侧面ACC,A±ffiA5C,

⑴求证：CD_L面A84A；///

（2）在侧棱84上确定一点E,使得二面角E-4G-A的大小为/

18.（1）证：•.•面而ABC,AB1AC/产、、/

.•.ABHfiACOi，即有AB_LC£＞；

又AC=AC,。为AA中点，则CDIAA,

.•.Cai面AB4A......................4分

⑵如图所示以点C为坐标系原点，C4为x轴，C4]为z轴,

建立空间直角坐标系C-孙z,则有

A(a,0,0),B(a,a,0),A}(0,0,a),B}(0,a,a)

G(—a,0,a)，设E(x,y,z),且瓦：=义丽，即有

(x—a,y—a,z)=2(—tz,O,a),

所以E点坐标为

((1—A)a,a,Ad)..........................7分

由条件易得面AGA地一个法向量为

〃]=(0,1,0)8分

设平面EAG地一个法向量为Z=(X，XZ)，

।卜,±4。][-ax-0

由《一，可得4,.

[/?_LA]E[(1-A.)ax+ay+^A-l)az=0

令y=l,则有方2=(0,L/))，.........

10分

1—A

一^4得g邛

则cos-=

3

"(1一为2

所以，当兽=1-立时，二面角E—4G—A的大小为色...............12分

RR33

20.(本题满分12分)

经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t天(lWtW30,teN+)的旅游人数(万

人)近似地满足/(。=4+；,而人均消费g(t)(元)近似地满足g(t)=120-It-20I.

⑴求该城市的旅游日收益w(t)(万元)与时间t(lWtW30,tWN+)的函数关系式；

(2)求该城市旅游日收益的最小值.

(1)解：W«)=/(t)g(r)=(4+-120—卜—2q)....................4分

401+4r+^(l<r<20)

6分

559+--4/(20<r<30)

(2)当fe[l,20],401+4f+-^N401+2,4j^=441(t=5时取最小值)....9分

当fe(2Q,30],因为W(f)=55升,—今递减，所以t=30时，W(t)有最小值W(30)=

2

443-......11分

3

所以/w[l,30]时，W(t)的最小值为441万元....12分

3Y2v2

21.已知直线/:y=x+l,圆0:/+y2=—，直线/被圆截得的弦长与椭圆c：+r=13>〃>0)

2ab

的短轴长相等，椭圆的离心率e=—

2

(1)求椭圆C的方程；

(II)过点M(0,-g)的动直线/交椭圆C于A、3两点，试问：在坐标平面上是否存在一

个定点T,使得无论/如何转动，以A8为直径的圆恒过定点T?若存在，求出点T的坐标；

若不存在，请说明理由.

21.解：(I)则由题设可知6=1,2分

c

又e=—a=V23分

2

2

所以椭圆C的方程是三+y2=1........4分

2

(H)解法一：假设存在点T(〃,v).若直线/的斜率存在，设其方程为y=日」，

3

将它代入椭圆方程，并整理，得(18公+9)/72履-16=0.……5分

r12k

…侬、9，

设点A、8的坐标分别为A(否,乂)，吃⑼，则

-16

MH

1,1

因为。=(可一％y-y),TB=(X-u,y-v)及y=g-不必=kx、一二,

223一~3

所以97B=(5-〃)(工2-〃)+(y[-v)(y2-v)

—(k~+1)X|X2-(〃+q左+AT)(XJ+X2)4~W~4~v~++—

_(61/+6y-6)注一4a+(3〃2+3廿+20-5)

....8分

6k2+2

当且仅当苏•而=0恒成立时，以AB为直径的圆恒过定点T,……9分

6〃2+18^2-18=0,

所以＜〃=0,解得"=0,v=L

3H2+3V2+2V-5=0.

此时以AB为直径的圆恒过定点T(0,1).……10分

当直线/的斜率不存在，/与y轴重合，以AB为直径的圆为x?+y2=i也过点T(0,1).

综上可知，在坐标平面上存在一个定点T(0,1),满足条件......12分

解法二：若直线/与y轴重合，则以为直径的圆是Y+y2=l.

若直线I垂直于y轴，则以AB为直径的圆是f+(＞乎=£........6分

x+y~=L(_()

由一1、216解得x:

x-+(y+-)2=—•ly=i

由此可知所求点T如果存在，只能是(0,1).……7分

事实上点T(0,1)就是所求的点.证明如下：

当直线/的斜率不存在，即直线/与y轴重合时，以A8为直径的圆为x、y2=],过点了

(0,1)；

当直线/的斜率存在，设直线方程为y=fcr-g,代入椭圆方程，并整理，得

22

(18A:+9)x-12fcc-16=0.8分

\2k

X,+x=——z——,

12218^+9

设点A、B的坐标为B(x,y),财

22-16

XX=------z------.

12'18公+9

因为771=(X1，x-l),TB=(x2,y2-l),

416

TATA=xlx2+yty2-(%+%)+l=(K+1)'工2+x2)+—

-16公-16-163+32公+16八

=-----------5-----------=0.

18/+9

所以m_L7B,即以A8为直径的圆恒过定点T(0,1).……11分

综上可知，在坐标平面上存在一个定点T(0,1)满足条件..........12分

(22)(本小题满分14分)

设函数/(x)=炉-2(—1)*lnx(ZeAT)J(x)表示于(x)导函数。

⑴求函数/(X)的单调递增区间；

(II)当k为偶数时，数歹(]｛%｝满足4=1，4/(。“)=匕|一3.证明：数列｛4｝中

不存在成等差数列的三项；

(III)当々为奇数时，设仇=(尸⑺—〃，数列也｝的前〃项和为S”，证明不等式

(1+2)土〉e对一切正整数〃均成立，并比较S2012T与姑2012的大小.

解：⑴定义域为｛小>0｝,/(%)=2A:-2(-1/1

2

当女为奇数时，f'(x)=2x+—>0恒成立，

x

.・"(x)的单调递增区间为(0,+oo),2分

当k为偶数时，/'(X)=2x—2=2d)=2。+1)(D,

XXX

又%£(0,+oc),/.x>0,x+l>0,

由/(x)>0,X>1,

••J(x)的单调递增区间为(1,也0).4分

2?

(H)当上为偶数时，f(x)=2x一一，/.f'(an)=2an一一

%4

,02

由已知，%=l,a,j(a“)=a“+]—3,.二a“(2a”)—。，用一3

22

.•.2a„-2=<,-3,:.2a,^=a；+i-l,2(«„+1)=<>+1

/.+1｝是以2为公比的等比数列.

.•.aj+i=2.2"T,，a"2=2”—l.6分

数列｛a；｝中假设存在三项al，q；成等差数列，不妨设机<女<〃，

则2a；=片+«〉

又a/=2，”—1,aj=2&-1,a^=2