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文档简介
数列的递推公式复习回顾:按一定顺序排成的一列数叫做数列.
如果数列的第n项与项数n之间的关系可以用一个公式an=f(n)来表示,那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
2.
数列的通项公式:
1.
数列的定义:3.数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3,...n})为定义域的函数an=f(n)
4、写出下面数列的一个通项公式,使它的前几项分别是下列各数:(1)1,4,9,16;an=n2(6)9,99,999,9999,99999.
;
;
(7)1,11,111,1111,11111.能力提升:1、递推公式:
如果已知数列的第1项(或前几项),且任一项与它的另一项ak(或另几项)之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.
(递推关系式)(1)递推公式也是给出数列的一种方法.(2)注意定义中的逻辑联结词“且”所给出的含义.例如.已知数列{an}满足:
(初始条件)(3)数列的递推公式和通项公式的异同点是什么?数列的递推公式(1)通项公式和递推公式的区别通项公式直接反映an和n之间的关系,即an是n的函数,知道任意一个具体的n值,通过通项公式就可以求出该项an;而递推公式则是间接反映数列的式子,它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系,不能由n直接得出an.(2)如何用递推公式给出一个数列
例1
.
已知数列{an}的第1项是1,以后的各项由公式
给出,写出这个数列的前5项.
解:据题意可知:a1=1,的前5项是:题型一
根据递推关系求数列的项
已知数列
:1,12,123,1234,,123456789(在每一项的数字后面添写后一项的序号,便得到后一项)求数列的递推公式.解:【变式1】
例2.数列{an}中,a1=2,nan+1=(n+1)an
(1)求{an}的前4项;(2)先猜想{an}的通项公式并给予证明题型二
由递推关系式求数列的通项公式(1)写出数列{an}的前5项;(2)求数列{an}的通项公式.解答本题应利用【例3】【题后反思】由数列的递推公式求通项公式的常用方法有:(1)累加法:当an=an-1+f(n)时,常用an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1求通项.
已知数列{an},a1=2,an=2an-1(n≥2),求数列的通项公式an.【变式2】
题型三
判断数列的单调性[思路探索]
作差法,比较相邻两项an+1与an的大小.【例4】
单调性是数列的一个重要性质.判断数列的单调性,通常是运用作差或作商的方法判断an+1与an(n∈N*)的大小,若an+1>an恒成立,则{an}为递增数列;若an+1<an恒成立,则{an}为递减数列.用作差法判断数列增减性的步骤为:①作差;②变形;③定号;④结论.
已知函数f(x)=2x-2-x,数列{an}满足f(log2an)=-2n.(1)求数列{an}的通项公式;(2)证明:数列{an}是递减数列.(1)解∵f(x)=2x-2-x,f(log2an)=-2n,∴2log2an-2-log2an=-2n,【变式3】
已知数列{an}的通项公式为an=n2-5n+4.(1)数列中有多少项是负数?(2)n为何值时,an有最小值?并求出最小值.[思路探索](1)令an<0即可;(2)利用求函数最值的方法求解;或利用an≤an+1及an≤an-1求最小项.解
(1)由n2-5n+4<0,解得1<n<4.∵n∈N*,∴n=2,3.∴数列中有两项是负数.题型四
求数列的最大(小)项【例5】求数列{an}的最大项和最小项,一种方法是利用函数的最值法;另一种是不等式法,求最小项可由【变式4】当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an;当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;当n>9时,an+1-an<0,即an+1<an,故a1<a2<a3<…<a9=a10>a11>a12>…,
函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区别,即数列所对应的函数若单调则数列一定单调,反之若数列单调,其所对应的函数不一定单调,关键原因在于数列是一个定义域为正整数集N+(或它的有限子集{1,2,3,…,n})的特殊函数.故对于数列的单调性的判断一般要通过比较an+1与an的大小来判断,若an+1>an,则数列为递增数列;若an+1<an,则数列为递减数列.课堂巩固训练2,4,8,16,32
2.已知数列满足:a1=2,an=2an-1(n≥2),这个数列的前五项为
.3.已知数列:1,12,123,1234,,123456789(在每一项的数字后面添写后一项的序号,便得到后一项)求数列的递推公式.解:数列的函数性质(1)数列可以看成以__________(或它的有限子集_____________)为定义域的函数an=f(n),即当自变量按照_________的顺序依次取值时,所对应的一列函数值.(2)在数列{an}中,若an+1>an,则{an}是递增数列;若an+1<an,则{an}为递减数列;若an+1=an,则{an}为常数列.数列的递推公式如果已知数列{an}的首项(或前n项)及相邻两项间的关系可用一个公式来表示,那么这个公式叫做数列的递推公式.1.2.正整数集N*{1,2,…,n}从小到大课堂小结课堂小结3.给出了递推公式求通项公式,常用叠加、累乘等方法,即①累加法:an-an-1=f(n)满足一定规律时,可以有an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1叠加.斐波那契数列若一个数列,首两项等于
1,而从第三项起,每一项是之前两项之和,则称该数列为斐波那契数列。即:1,1,2,3,5,8,13,…
…
1+1=21+2=32+3=53+5=85+8=13………斐波那契数列斐波那契(LeonardoPisanoFibonacci;11701250)意大利商人兼数学家他在著作《算盘书》中,首先引入阿拉伯数字,將「十进位值记数法」介绍给欧洲人认识,对欧洲的数学发展有深远的影响.问题提出在1202年,斐波那契在他的著作中,提出以下的一个问题:假设一对初生兔子要一个月才到成熟期,而一对成熟兔子每月会生一对兔子,那么,由一对初生兔子开始,12个月后会有多少对兔子呢?解答
1月 1对解答
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2月 1对解答
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3月 2对解答
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4月 3对解答
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5月 5对解答
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2月 1对
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