数列的概念与简单表示法

数列的递推公式复习回顾:按一定顺序排成的一列数叫做数列.

如果数列的第n项与项数n之间的关系可以用一个公式an=f(n)来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.

2.

数列的通项公式：

1.

数列的定义：3.数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3,...n})为定义域的函数an=f(n)

4、写出下面数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数：(1)1，4，9，16；an=n2(6)9，99，999，9999,99999.

；

；

(7)1，11，111，1111，11111．能力提升：1、递推公式：

如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的另一项ak（或另几项）之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.

(递推关系式)（1）递推公式也是给出数列的一种方法.（2）注意定义中的逻辑联结词“且”所给出的含义.例如.已知数列{an}满足：

(初始条件)（3）数列的递推公式和通项公式的异同点是什么？数列的递推公式(1)通项公式和递推公式的区别通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，通过通项公式就可以求出该项an；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an.(2)如何用递推公式给出一个数列

例1

.

已知数列｛an｝的第1项是1，以后的各项由公式

给出，写出这个数列的前5项.

解:据题意可知：a1=1,的前5项是:题型一

根据递推关系求数列的项

已知数列

:1,12,123,1234,,123456789(在每一项的数字后面添写后一项的序号,便得到后一项)求数列的递推公式.解:【变式1】

例2.数列{an}中,a1=2,nan+1=(n+1)an

(1)求{an}的前4项;(2)先猜想{an}的通项公式并给予证明题型二

由递推关系式求数列的通项公式(1)写出数列{an}的前5项；(2)求数列{an}的通项公式．解答本题应利用【例3】【题后反思】由数列的递推公式求通项公式的常用方法有：(1)累加法：当an＝an－1＋f(n)时，常用an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1求通项．

已知数列{an}，a1＝2，an＝2an－1(n≥2)，求数列的通项公式an.【变式2】

题型三

判断数列的单调性[思路探索]

作差法，比较相邻两项an＋1与an的大小．【例4】

单调性是数列的一个重要性质．判断数列的单调性，通常是运用作差或作商的方法判断an＋1与an(n∈N*)的大小，若an＋1>an恒成立，则{an}为递增数列；若an＋1<an恒成立，则{an}为递减数列．用作差法判断数列增减性的步骤为：①作差；②变形；③定号；④结论．

已知函数f(x)＝2x－2－x，数列{an}满足f(log2an)＝－2n.(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明：数列{an}是递减数列．(1)解∵f(x)＝2x－2－x，f(log2an)＝－2n，∴2log2an－2－log2an＝－2n，【变式3】

已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4.(1)数列中有多少项是负数？(2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值．[思路探索](1)令an＜0即可；(2)利用求函数最值的方法求解；或利用an≤an＋1及an≤an－1求最小项．解

(1)由n2－5n＋4<0，解得1<n<4.∵n∈N*，∴n＝2,3.∴数列中有两项是负数．题型四

求数列的最大(小)项【例5】求数列{an}的最大项和最小项，一种方法是利用函数的最值法；另一种是不等式法，求最小项可由【变式4】当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an；当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1<an，故a1<a2<a3<…<a9＝a10>a11>a12>…，

函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区别，即数列所对应的函数若单调则数列一定单调，反之若数列单调，其所对应的函数不一定单调，关键原因在于数列是一个定义域为正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的特殊函数．故对于数列的单调性的判断一般要通过比较an＋1与an的大小来判断，若an＋1>an，则数列为递增数列；若an＋1<an，则数列为递减数列．课堂巩固训练2，4，8，16，32

2．已知数列满足：a1=2,an=2an－1（n≥2）,这个数列的前五项为

.3.已知数列:1,12,123,1234,,123456789(在每一项的数字后面添写后一项的序号,便得到后一项)求数列的递推公式.解:数列的函数性质(1)数列可以看成以__________(或它的有限子集_____________)为定义域的函数an＝f(n)，即当自变量按照_________的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．(2)在数列{an}中，若an＋1>an，则{an}是递增数列；若an＋1<an，则{an}为递减数列；若an＋1＝an，则{an}为常数列．数列的递推公式如果已知数列{an}的首项(或前n项)及相邻两项间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式．1．2．正整数集N*{1,2，…，n}从小到大课堂小结课堂小结3.给出了递推公式求通项公式，常用叠加、累乘等方法，即①累加法：an－an－1＝f(n)满足一定规律时，可以有an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1叠加．斐波那契数列若一个数列，首两项等于

1，而从第三项起，每一项是之前两项之和，则称该数列为斐波那契数列。即：1,1,2,3,5,8,13,…

…

1+1=21+2=32+3=53+5=85+8=13………斐波那契数列斐波那契（LeonardoPisanoFibonacci;11701250）意大利商人兼数学家他在著作《算盘书》中，首先引入阿拉伯数字，將「十进位值记数法」介绍给欧洲人认识，对欧洲的数学发展有深远的影响.问题提出在1202年，斐波那契在他的著作中，提出以下的一个问题：假设一对初生兔子要一个月才到成熟期，而一对成熟兔子每月会生一对兔子，那么，由一对初生兔子开始，12个月后会有多少对兔子呢？解答

1月 1对解答

1月 1对

2月 1对解答

1月 1对

2月 1对

3月 2对解答

1月 1对

2月 1对

3月 2对

4月 3对解答

1月 1对

2月 对

3月 2对

4月 3对

5月 5对解答

1月 1对

2月 1对

3月 2对

4月 3对

5月 5对

6月 8对解答

1月 1对

2月 1对

3