高数上复习5.3微积分基本定理

第三节微积分基本定一、两个问题的四、微积分第二基本 研究不从定义出在时间T1T2内物体经过的路程s

v(t若物体的位置ss(tT则T2v(t)dts(T)s(T1 1s(t)具有性质 s(t)v(tPreviousNext设y=f(x)在[a,b]上连 ,d对任xab面积A(x)如图所示,则 f(x)dxA(b)A(x)具有性质 A(x)f(xb

yf(c 思路对一般的积分 f(x)dx是否成ba f(x)dxF(b)F(a)其中FxfPreviousNext问题一能否求一个F(x使在[ab]F(x)f(x)?问题

对于求得ab]上满F(x)f(的函数 (x),是否有等a f(x)dxF(b)F(a成立PreviousNext二、变限积分函xyf(x在[a,b上连x[a,b]，考x部分区[ax上的定积

a f(t)dt.当x变动时，得到了一个函 变上限积分函xF(x)a f(t)dtxf(x)可积，则变上限积分函数连续(作业习题 提示：利用可积函数必有界PreviousNextyf(x在ab上连则变上限积分xF(x)a f(tx在[ab]上可导且它的导F(x)

d d

f(t)dt f(x其中axPreviousNextx证明任取x(abx0x+∆x(abx x F(x x)F(x) 分

f(t)dt

f(t值 值定

f(t)dt

f() F(x)limF(xx)F(x)limf()f(x x

xa取∆x0时F(a)f(a);xb取∆x0时fPreviousNext注 当f(x)在[a,b]上连续时,问题一有解x函数Fx)x

ft)dt就是问题一的解xF(x)df(t)dtf(xxxx xxx

F(x) f(t

F(t)dtadF(t dx

f(t)dtf(x)

f(t)dtf(x)x则微分运算d与变上限积分运算ax

是互逆PreviousNext由于定积分的值与积分变量的名称无关，所以 F(x) f(t)dt f(但要注意被积表f(xdx中的x是积分变量,积分上xF(x)的自变量.b变下限积分函数G(x)x f(tbb b

f(t)dt

f(t

f(PreviousNextx例x

y

sint

ysin1t0例已知1t0

dt,1 y1例

y

x2

0解yf(u) uet2404

ug(x)yf(u)g(x)e

2xe

2PreviousNext注其他变限积分函数求导 (x

f(t

f(x)(

复合函数d

f(t)dtf(x)(bdx(xb (x

d f(t)dt

f(t)dt

(x

f(t)dtdx(x

dx

f(x)(x)f(x)(PreviousNext例

y

xelnx

dt,

y(e2 ln lne解y

xe

exln2

e

lnexexelnxxy(e2)2

PreviousNext 例设函y=y(x)由方et2dtcost2dt 所确定，求解方程两边x求导4e

2yycosx2 y

2yey4PreviousNextt例求参数方t

x

1uln

所确定的函ydy,d2

1t

ln导数

dx2

t3ln tlnt,

t3ln

t2 tlnddyddy

d2y

dtdx

2t 2dt

dx

tlnt PreviousNextx0例已知Fx)x0

(xt)f(t)dt,

F x解Fxx

xf(t)dt0

tf(t)dtxxxxx

f(t)dt0

tf(tF(

f(t

xf(x)xf(x0x0

f(tPreviousNext例求

221 0 1 0cos 2 原

ecosx(sinx)2x 2e 确定常数a,b,c的值使

axsin c(cxln(1t2)db解 x0,axsinx0, c0,b0.洛 acosxlimacosx原式

ln(1x2

x2a1.

又由1cosx1x2c1 Previousf(x在[0,1]上连f(x1x2x f(t)dt 在[01上只有一个解x证令F(x)2x f(t)dt11则F(0111F(1)1

f(t)dt

[1f(t

f(x)

F(x)2f(x)F(x)在[0,1]上为单调增加函数所以Fx0即原方程在[0,1上只有一个解PreviousNext问题先讨论满足F(x) f(x)的函数的性质定义f(x在ab上有x[a,b]都有F(x) f(x)或dF(x)f(F(xf(x)f(x)dx在[ab上的一个原函.定理(原函数存在定理如果f(x在ab上连续x则Fxx

f(t)dtf(x在ab上的一个原即连续函数必有原函数 PreviousNext定理(原函数的性质F(xf(x在ab]上的一个原则任CR,F(xC也是f(x在ab上的原函数.f(x)的原函数不唯一.若F1(x) F2(x)是f(x)在[a,b]上的两个原函数，则存在CR使F1(x) F2(x)由此f(x的一个原F(x之后F(xCC为任意常表示f(x的所有原函数定义f(x在ab上的原函数的F(xC称为f(x在ab上的不定记为f(x)dx 即f( F(x)其中F(xf(x在ab上的某一个原函数PreviousNext—积分号 f( x积分变量

fx)dx被积表达式Fx)fx)不可fxdxFx)不可 exdxexx2dx

1x33sinxdxcosxPreviousNext说不定积分f(x)dx表示一族函 原函数全b定积分 f(x)dx表示一个数bF( dF(x)F(x)df( f(即不定积与微分d在相差一个常数的意义下互逆.故可从求导，得到不定积分的计算.PreviousNext常见的不定积 kdxkx

k为常数

xdx

x1

(1d1dxx1dx=1xxaxdx

xaxCln

exdxex

PreviousNext 1

arctanx arccotx

arcsinxC 或arccosx1cosxdxsinx sinxdxcos1 dx cos

tanx d sin

csc2xdxcotx

secxtanxdxsecxcscxcotxdxcscx PreviousNext下面研究问问题二:对于求得ab]上满F(x)f(的函F(x是否有等ba f(x)dxF(b)F(ab成立PreviousNext定理微积分第二基本定理 f(x在[ab上连续F(xf(x在[ab 的一个原函数

f(x)dxF(x)ax则证明x则

f(t)dtf(x的一个原xF(x) f(t)dtxa,得CF(a),

f(t)dtF(x)Fxaxb再令xb 得 f(t)dtF(b)F(a) 记 b 即 f(x)dxF(b)F

F(x)aF(x)PreviousNext33例计算 33 1解

arctan

3

1

π(π)7 例计算正弦ysinx在[0,π]上与xysinysinπ解A0sinxπcosxπ(11) 0

πPreviousNext 计 x

1x x1x

1dx1x

1

x21dx

x2 10(11

x2

)dxx2arctanx1012arctan1120412PreviousNext例

0 f(x)dx2x22

0x其中fx)x

1x2. 解0 f(x)dx 0 f(x)dx