【优选】常微分方程数值解PPT文档

其中r为甲独立生存的增长率：a反映捕食者对食饵的捕食能力。

d为乙无甲的死亡率；b反映食饵对捕食者的供养能力。

初值为x（0）=x0y（0）=y0……（2）

2；试用数值解讨论以下问题：[（1）无解析解]

设r=1，d=0.5,a=0.1b=0.02,

x0=25,y0=2

求模型(1)在(2)下的数值解,画出函数x(t),y(t)图形以及相图(x,y),观察x(t),y(t)的周期变化,近似地确定争的周期和x,y的最大、小值,近似计算x,y在一周期内的平均值.

与(掠俘问题讨论过的理论值)比较.3:导弹跟踪问题：

某军的一导弹基地（位于坐标原点（0，0））发现基地正北方向120km处海面（位于坐标原点（0，120））上有敌舰一艘正以90km/h的速度向正东方向行驶，该基地立即发射导弹跟踪追击敌舰,导弹速度为450km/h，自动导航系统使导弹在任意时刻都能对准敌舰，试问导弹在何时何处击中敌舰？

（1）假设：在t时刻导弹位于P(x(t),y(t)),敌舰位于M(90t,H)(其中H=120)（2）：建模：三:欧拉方法和龙格--库塔方法.

常微分方程初值问题的提法是:设有一阶方程

和初始条件:

B:(6)式的计算：因为（6）式为隐式，无法用它直接计算yn+1:(6)式通常用迭代法计算即先由向前欧拉公式（5）产生初值:d为乙无甲的死亡率；A:引言：向前欧拉公式（5）计算简单，但精度只有1阶；C:对于这四种欧拉方法：通常用向前欧拉公式（5）和改进的欧拉公式（8）。局部误差是假定前一步没有误差，这一步的近似值与精确值的差。如果A:设一种单步法（14）具有局部误差精度为p阶；B:(7)式也需要象向后欧拉公式一样进行迭代求yn+1；ts=t0:k:tk;再把它代入梯形公式（7）右端，作为校正，即：D:缺点：需要迭代，计算量大。如果A:设一种单步法（14）具有局部误差精度为p阶；2:龙格--库塔方法:

(1):思想:欧拉方法的基本思想用差商代替导数;

由微分中值定理:x0表示函数的初值；C:对于这四种欧拉方法：通常用向前欧拉公式（5）和改进的欧拉公式（8）。（2）：如果yn有误差n，而以后得的yn+k(k=1,2,……）的误差不超过n，则称该方法是稳定的。（6）：用欧拉方法解微分方程组（和高阶微分方程）

A:例掠俘问题的方程组；B：几何意义：C:误差估计：局部截断误差精度为2阶。A:引言：向前欧拉公式（5）计算简单，但精度只有1阶；（1）假设：在t时刻导弹位于P(x(t),y(t)),敌舰位于M(90t,H)(其中H=120)得到数值解及图形和相图：（1）不妨设a=b=0,否则可作代换ts=t0:k:tk;常微分方程初值问题的提法是:设有一阶方程

和初始条件:如果A:设一种单步法（14）具有局部误差精度为p阶；（2）：如果yn有误差n，而以后得的yn+k(k=1,2,……）的误差不超过n，则称该方法是稳定的。gtext('x2(t)');gtext('x1(t)');梯形公式精度提高，但迭代太繁；4阶龙格--库塔公式收敛；C:对于这四种欧拉方法：通常用向前欧拉公式（5）和改进的欧拉公式（8）。B:先由向前欧拉公式（5）计算yn+1的预测值；C:对于这四种欧拉方法：通常用向前欧拉公式（5）和改进的欧拉公式（8）。(5):龙格--库塔公式的MATLAB实现(MATLAB5.当局部截断误差为0()时，我们称具有p阶精度。C:误差估计：假设yn没有误差，则由（不考虑累积误差）B:(6)式的计算：因为（6）式为隐式，无法用它直接计算yn+1:(6)式通常用迭代法计算即先由向前欧拉公式（5）产生初值:C:误差估计：局部截断误差精度为1阶。

D:几何意义：（3）：梯形公式：

A:方法：B:(7)式也需要象向后欧拉公式一样进行迭代求yn+1；C:误差估计：局部截断误差精度为2阶。D:缺点：需要迭代，计算量大。（4）：改进的欧拉公式：A:引言：向前欧拉公式（5）计算简单，但精度只有1阶；梯形公式精度提高，但迭代太繁；结合两者得改进的欧拉公式。B:先由向前欧拉公式（5）计算yn+1的预测值；再把它代入梯形公式（7）右端，作为校正，即：C:对于这四种欧拉方法：通常用向前欧拉公式（5）和改进的欧拉公式（8）。（5）：实例：（6）：用欧拉方法解微分方程组（和高阶微分方程）

A:例掠俘问题的方程组；

B:例：C:解高阶微分方程，只需先把它化为方程组2:龙格--库塔方法:

(1):思想:欧拉方法的基本思想用差商代替导数;

由微分中值定理:(2):2阶龙格--库塔公式:

可以证明2阶龙格--库塔公式就是改进的欧拉公式.(3):4阶龙格--库塔公式为:(4):龙格--库塔公式为也可以推广至解微分方程组和高阶方程.(5):龙格--库塔公式的MATLAB实现(MATLAB5.0)2阶,3阶用[t,x]=ode23(‘f’,ts,x0,options);4阶,5阶用[t,x]=ode45(‘f’,ts,x0,options);参数意义:其中f是由待解方程写成的m文件名;其中ts=[t0,tf];ts=[t0,t1,t2,……，tf];ts=t0:k:tk;t0表示自变量的初值，tf为终值；x0表示函数的初值；options用于设定误差限，确省时误差限（相对误差为0。001，相对误差0.000001）程序为：options=odeset(‘reltol’,rt,’abstol’,at)

rt,at分别设定相对绝对误差；

用于解n个未知函数的方程组时，m文件中的待解方程组应以X的向量形式给出，x0亦然。四：计算实际例：

把模型（1）改写成矩阵形式1：对于给定数据r=1,d=0.5,a=0.1,b=0.02,x10=25,x20=2,t的终值经试验确定为15，以便于观察编制程序如下：functionxdot=shier(t,x)r=1;d=0.5;a=0.1;b=0.02;xdot=diag(r-a*x(2),-d+b*x(1))*x;ts=0:0.1:15;x0=[25,2];[t,x]=ode45('shier',ts,x0);[t,x]plot(t,x);grid;gtext('x1(t)');gtext('x2(t)');plot(x(:,1),x(:,2));grid;得到数值解及图形和相图：五：任务：解导弹跟踪问题；(todaodan.m)六：数值解的收敛性及稳定性：1：数值方法收敛的定义：用一种数值方法解方程（3），对于任意固定的xn=x0+nh,近似解和精确解分别记作yn,y(xn)，若当时h0（必然n），有yny(xn)，则称该数值方法收敛。2:局部误差与整体误差：局部误差是假定前一步没有误差，这一步的近似值与精确值的差。当局部截断误差为0()时，我们称具有p阶精度。3：单步法的统一格式：4：单步法的收敛性与整体误差定理：如果A:设一种单步法（14）具有局部误差精度为p阶；B:对y满足利普希茨条件，即L>0,证明：5：结论：向前欧拉公式收敛；改进欧拉公式收敛；4阶龙格--库塔公式收敛；它们的整体误差为6：稳定性：

（1）：由于每一步均有舍入误差，希望这种误差不会传播；

（2）：如果yn有误差n，而以后得的yn+k(k=1,2,……）的误差不超过n，则称该方