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文档简介
实际问题与一元二次方程(一)教学目标:1、会列一元二次方程解应用题;2、进一步掌握解应用题的步骤和关键;3、通过一题多解使学生体会列方程的实质,培养灵活处理问题的能力.重点:列方程解应用题.难点:会用含未知数的代数式表示题目里的中 间量(简称关系式);会根据所设的不 同意义的未知数,列出相应的方程。一、复习列方程解应用题的一般步骤?第一步:弄清题意和题目中的已知数、未知数,用字母表示题目中的一个未知数;第二步:找出能够表示应用题全部含义的相等关系;第三步:根据这些相等关系列出需要的代数式(简称关系式)从而列出方程;第四步:解这个方程,求出未知数的值;第五步:在检查求得的答数是否符合应用题的实际意义后,写出答案(及单位名称)。课前热身2:某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元,三月份产值为72亿元,问二月、三月平均每月的增长率是多少?解:设平均每月增长的百分率为x,根据题意得方程为50(1+x)2=72
可化为:解得:答:二月、三月平均每月的增长率是20%例1:平阳按“九五”国民经济发展规划要求,2003年的社会总产值要比2001年增长21%,求平均每年增长的百分率.(提示:基数为2001年的社会总产值,可视为a)设每年增长率为x,2001年的总产值为a,则2001年a2002年a(1+x)2003年a(1+x)2增长21%aa+21%aa(1+x)2=a+21%a分析:练习1:某药品经两次降价,零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样,求每次降价的百分率.(精确到0.1%)解:设原价为1个单位,每次降价的百分率为x.根据题意,得
解这个方程,得
答:每次降价的百分率为29.3%.
练习4.市第四中学初三年级初一开学时就参加课程改革试验,重视学生能力培养.初一阶段就有48人在市级以上各项活动中得奖,之后逐年增加,到三年级结束共有183人次在市级以上得奖.求这两年中得奖人次的平均年增长率.典型练习题1、一个两位数个位数字比十位数字大1,个位数字与十位数字对调后所得的两位数比原数大9,求:这个两位数2、一件商品原价200元经过两次降价后162元,求:平均降价的百分比3、某班同学在圣诞节期间互赠礼物182件,求:这个班级的人数4、某校进行乒乓球单循环比赛,共比赛55场,问:共有多少名同学参加5、一名同学进行登山训练,上山速度为2千米/小时,下山速度为6千米/小时,求:往返一次的平均速度一元二次方程及应用题1、直角三角形问题:(勾股定理)2、体积不变性问题:3、数字问题:4、互赠礼物问题:5、增长率问题:有关面积问题:常见的图形有下列几种:例1、用22cm长的铁丝,折成一个面积为30cm2的矩形。求这个矩形的长与宽.整理后,得x2-11x+30=0解这个方程,得x1=5,x2=6(与题设不符,舍去)答:这个矩形的长是6cm,宽是5cm。由x1=5得由x2=6,得解:设这个矩形的长为xcm,则宽为(cm).根据题意,得例2、在宽为20米、长为32米的矩形地面上,修筑同样宽的两条互相垂直的道路,余下部分作为耕地,要使耕地面积为540米2,道路的宽应为多少?32m20m而是从其中减去重叠部分,即应是米2所以正确的方程是:化简得,其中的x=50超出了原矩形的长和宽,应舍去.取x=2时,道路总面积为:=100(米2)耕地面积==540(米2)答:所求道路的宽为2米。解法二:我们利用“图形经过移动,它的面积大小不会改变”的道理,把纵、横两条路移动一下,使列方程容易些(目的是求出路面的宽,至于实际施工,仍可按原图的位置修路)横向路面为
,32m20mxmxm如图,设路宽为x米,32x米2纵向路面面积为
。20x米2耕地矩形的长(横向)为
,耕地矩形的宽(纵向)为
。相等关系是:耕地长×耕地宽=540米2(20-x)米(32-x)米即化简得:再往下的计算、格式书写与解法1相同。3.如图,在长为40米,宽为22米的矩形地面上,修筑两条同样宽的互相垂直的道路,余下的铺上草坪,要使草坪的面积为760平方米,道路的宽应为多少?40米22米4、如图,在宽为20m,长为32m的矩形耕地上,修筑同样宽的三条道路,(两条纵向,一条横向,横向与纵向相互垂直),把耕地分成大小相等的六块试验地,要使试验地面积为570m²,问道路的宽为多少?例3、求截去的正方形的边长用一块长28cm、宽20cm的长方形纸片,要在它的四角截去四个相等的小正方形,折成一个无盖的长方体盒子,使它的底面积为180cm2,为了有效地利用材料,求截去的小正方形的边长是多少cm?求截去的正方形边长解:设截去的正方形的边长为xcm,根据题意,得
(28-2x)(20-2x)=180x2-24x+95=0解这个方程,得:x1=5,x2=19经检验:x2=19不合题意,舍去.所以截去的正方形边长为5cm.例4:建造一个池底为正方形,深度为2.5m的长方体无盖蓄水池,建造池壁的单价是120元/m2,建造池底的单价是240元/m2,总造价是8640元,求池底的边长.分析:池底的造价+池壁的造价=总造价解:设池底的边长是xm.根据题意得:解方程得:∵池底的边长不能为负数,∴取x=4答:池底的边长是4m.3、小明把一张边长为10厘米的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形,再折合成一个无盖的长方体盒子。如果要求长方体的底面面积为81平方厘米,那么剪去的正方形边长为多少?
4、学校课外生物(小组的试验园地是一块长35米、宽20米的矩形,为便于管理,现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小路(如图),要使种植面积为600平方米,求小道的宽。(精确到0.1米)5、
在长方形钢片上冲去一个长方形,制成一个四周宽相等的长方形框。已知长方形钢片的长为30cm,宽为20cm,要使制成的长方形框的面积为400cm2,求这个长方形框的框边宽。
XX30cm20cm解:设长方形框的边宽为xcm,依题意,得30×20–(30–2x)(20–2x)=400整理得x2–25+100=0得x1=20,x2=5当=20时,20-2x=-20(舍去);当x=5时,20-2x=10答:这个长方形框的框边宽为5cm列一元二次方程解应题6、放铅笔的V形槽如图,每往上一层可以多放一支铅笔.现有190支铅笔,则要放几层?解:要放x层,则每一层放(1+x)支铅笔.得x(1+x)=190×2
X+X-380=0解得X1=19,X2=-20(不合题意)答:要放19层.2列一元二次方程解应题补充练习:(98年北京市崇文区中考题)如图,有一面积是150平方米的长方形鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长18米),墙对面有一个2米宽的门,另三边(门除外)用竹篱笆围成,篱笆总长33米.求鸡场的长和宽各多少米?通过这节课的学习:我学会了……使我感触最深的是……我发现生活中……我还感到疑惑的是……实际问题与一元二次方程(三)质点运动问题有关“动点”的运动问题”1)关键——以静代动把动的点进行转换,变为线段的长度,2)方法——时间变路程求“动点的运动时间”可以转化为求“动点的运动路程”,也是求线段的长度;由此,学会把动点的问题转化为静点的问题,是解这类问题的关键.3)常找的数量关系——面积,勾股定理等;例1在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点B移动,点Q从点B开始以2cm/s的速度沿BC边向点C移动,如果P、Q分别从A、B同时出发,几秒后⊿PBQ的面积等于8cm2?解:设x秒后⊿PBQ的面积等于8cm2根据题意,得整理,得解这个方程,得所以2秒或4秒后⊿PBQ的面积等于8cm2例2:等腰直角⊿
ABC中,AB=BC=8cm,动点P从A点出发,沿AB向B移动,通过点P引平行于BC,AC的直线与AC,BC分别交于R、Q.当AP等于多少厘米时,平行四边形PQCR的面积等于16cm2?例3:⊿ABC中,AB=3,∠BAC=45°,CD⊥AB,垂足为D,CD=2,P是AB上的一动点(不与A,B重合),且AP=x,过点P作直线l与AB垂直.i)设⊿ABC位于直线l左侧部分的面积为S,写出S与x之间的函数关系式;ii)当x为何值时,直线l平分⊿ABC的面积?例4:客轮沿折线A-B-C从A出发经B再到C匀速航行,货轮从AC的中点D出发沿某一方向匀速直线航行,将一批物品送达客轮,两船若同时起航,并同时到达折线A-B-C上的某点E处,已知AB=BC=200海里,∠ABC=90°,客轮速度是货轮速度的2倍.
(1)选择:两船相遇之处E点()A.在线段AB上;B.在线段BC上;C.可以在线段AB上,也可以在线段BC上;ii)求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里?(结果保留根号)解:设货轮从出发到两船相遇共航行了x海里,过D作DF⊥CB,交BD于F,则DE=x,AB+BE=2x,DF=100,EF=300-2x在Rt⊿DEF中,练习1:在△ABC中,AC=50cm,CB=40cm,∠C=9
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