同济流体力学第五章相似原理与量纲分析课件

第五章

相似原理与量纲分析流体力学汽车学院同济大学

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ShanghaiAutomotiveWindTunnelCenter目录绪论第一章流体及其主要物理性质第二章流体静力学第三章流体运动学基础第四章流体动力学基础第五章相似原理和量纲分析第六章理想流体不可压缩流体的定常流动第七章粘性流体流动第八章定常一元可压缩气流第九章计算流体力学5-1，5-2，5-3，5-4，5-6，5-11，5-17第五章作业第五章相似原理和量纲分析

对于大多数实际流体力学问题，由于流动现象和结构的复杂性（比如粘性流体的湍流或紊流结构）理论计算尚有一定困难，因此，流体力学实验起着相当重要的作用，它是近百年来才发展起来的试验力学的一个新的分支。对许多实际流动，直接用实物（原型）进行实验会遇到很大困难：如新型飞机，汽车，大型流体机械因尺寸大，造价昂贵，没有足够把握是不能冒然投产并进行原型实验的；有的原型尺寸太小，实测非常困难。因此，在研究过程中，都必须要用一定尺度的模型进行实验。第五章相似原理和量纲分析模型实验方法起始于19世纪末。如今，随着工业技术的高速发展，应用模型实验方法进行科学研究和产品开发就更为普遍。例如用风洞模型实验研究航空航天飞行器的性能；用船模在水池或水洞中研究船只的航行性能；用气候风洞研究汽车在各种气候条件下的驾驶性能；用建筑物模型在风洞内进行风载实验；用环境风洞进行大气污染实验等等。第一节流动现象的相似一）相似的定义

如果描述一个系统中发生的全部物理量（线性尺寸、速度、力、时间间隔等）可以从另一个系统的同类量乘以相应的常数得到，则这两个系统中发生的现象称为相似。二）相似现象的分类

根据现象的性质和特点，相似现象可分为力学相似、热力学相似、电学相似等。三）相似理论的研究对象

相似理论主要研究的对象是发生在其和相似系统中的同一性质的物理现象之间的相似问题，即首先是两个系统确保几何相似，其次两个系统中的物理现象变化过程可以用同一个关系方程来描述。第一节流动现象的相似二、运动相似

在几何相似的两个流场中，所有对应点、对应时刻的流速方向相同，而流速大小成比例，则对应的速度场相似。（流场的几何相似是运动相似的前提）。速度比例时间比例加速度比例体积流量比例运动粘度比例角速度比例第一节流动现象的相似三、动力相似

在几何、运动相似的流场中，对应瞬间、在对应点上作用着同样性质的力，而且由各种力组成的力多边形几何相似，则称这两个流场动力相似。在动力相似条件下，模型与原型的流场所对应点作用在流体微团上的各种力彼此方向相同，大小成比例。第二节相似定理1、相似第一定理（相似性质）“彼此相似的现象必定具有数值相同的相似准则”2、相似第二定理（相似充要条件）“凡同一种类现象，当单值条件相似而且单值条件中的物理量所组成的相似准则在数值上相等时，则这些现象必定相似

”3、相似第三定理“描述某现象的各种量之间的关系可表示成相似准则之间的函数关系这种关系式称为准则关系方程式，这种准则关系方程可推广到与其相似的现象中”

第二节相似定理

2、相似第二定理（相似充要条件）“现象相似的必要和充分条件是单值条件相似，并且由单值条件中的物理量所组成的相似准则在数值上相等”服从同一方程组的同类现象可以有许许多多，如何把所要研究的具体现象从这无数现象中单一地划分出来，便耍靠它的单值条件。若两种流动状态的单值条件相同，则由上述方程组得到的解是一个，即这两种流动状态是完全相同的一种流动，若两种流动的单值条件相似，则得到的解是相似的，即这两种流动相似，若它们的单值条件既不相同也不相似，则得到的仅是服从同一自然规律的两个互不相同又不相似的流动。因此，单值条件相似是现象相似的第二个必要条件。由单值条件中的物理量所组成的相似准则数相等是现象相似的充分条件。这是显而易见的，两现象相似，它们的相似准则数必相等，反之，同样可以证明，相似准则数相等的两个现象必定相似。第二节相似定理3、相似第三定理“描述某现象的各种量之间的关系可表示成相似准则之间的函数关系，。这种关系式称为准则关系方程式，可以推广到与其相似的现象中。”因为对于所有彼此相似的现象，相似准则都保持同样的数值，所以他们的准则方程式也应相同。由此，如果按相似第二定理的规定把模型试验的结果整理成准则方程式，则该方程可以应用到实物中去。通过试验得到的准则方程式就是描述流动现象的微分方程组的解。也就是说，对于复杂的流动现象，当靠数学分析无法求解时，相似原理提供了通过试验求解的可能。因此，相似原理是模型试验研究的理论基础。第二节相似定理1、要进行模型试验，首先会遇到如何设计模型，如何选择模型中的流动介质，才能保证与原型中的流动相似？

相似第二定理表明，凡同类现象，当单值条件相似，而且由单值条件的物理量所组成的相似准则在数值上相等时，则这些现象必定相似。这就是说，设计模型和选择介质必须使单值条件相似，而且由单值条件的物理量所组成的定性相似准则在数值上要相等。

2、试验过程中需要测定哪些物理量、试验数据如何整理、才能找到规律性？

相似第一定理表明，彼此相似的现象必定具有数值相同的相似准则。这就是说，试验中应测定各相似准则中所包含的一切物理量，并把它们整理成相似准则。相似三定理解决了模型试验中必须解决的一系列问题，归纳起来可概述如下：第三节相似准则

根据相似三定理可知：判断原型与模型流场相似，没有必要用一一检查各物理量的比例尺的方法去判断两个流动是否力学相似，这样做是极不合适的。在进行模型设计或组织模型试验前应该首先找出研究对象的全部相似准则即可（因为判断相似的标准是相似准则）。相似准则的推导方法有两种:

1）微分方程法2）量纲分析法第三节相似准则1）相似准则的导出对应点上的无量纲量速度对应点上的无量纲坐标对应点上的其他无量纲量速度特征量的概念——用来形成各物理量之无量纲量的参考量称之为特征量第三节相似准则雷诺数是惯性力与粘性力的比值。两流动的粘滞力作用相似，它们的雷诺数必定相等，反之亦然。这便是粘滞力相似准则。

弗劳德数是惯性力与重力的比值。两流动的重力作用相似，它们的弗劳德数必定相等，反之亦然。这便是重力相似准则。

斯特劳哈尔数是当地惯性力与迁移惯性力的比值。两非定常流动相似，它们的斯特劳哈尔数必定相等，反之亦然。这便是非定常流动相似准则。

第三节相似准则3）相似准则数的物理意义欧拉数是总压力与惯性力的比值。两流动的压力作用相似，它们的欧拉数必定相等，反之亦然。这便是压力相似准则。

马赫数反映流体的压缩性大小。两流动的气动弹性力作用相似，它们的马赫数必定相等，反之亦然。这便是压缩性相似准则。第三节相似准则4）决定性相似准则数以上得到的相似准则数，是任意两个力学相似的流动应当满足的条件，即满足以上相似准则数全部相等的两个流动称为完全相似流动。由于实际流动是非常复杂的，要同时满足所有相似准则数相等时十分困难的，而且有些相似准则要同时满足相等也是不可能的。由试验分析知道，在流体流动的力学现象中，通常只有一到二种力起着主要作用，决定力学相似的本质，因此，在流体力学试验中往往只需满足主要作用力的力学相似即可，其它对流动现象不起主要作用的力则可忽略不计，这种相似流动成为近似相似或部分相似。满足主要作用力相似的相似准则数成为决定性相似准则数。第三节相似准则5）自模化性和稳定性在稳定有压流动情况下，不可压缩粘性流体通常还具有“自模性”和“稳定性”两种特性，在这两种特性下的流动模化条件还可进一步简化。对于有压流动，决定性相似准则为雷诺数。流动分层流，过渡和紊流三种状态，由临界雷诺数决定。（第一临界雷诺数）流动处于层流状态，这时模型与实物管路中的断面上的速度分布彼此相似，流动不再与有关；当（大于第二临界值），紊流状态的速度分布不随雷诺数增加而变化，这时的流动又进入自动模化状态。当实物与模型都处于同一种自模化区，模型试验的数可不必与在实物的数相等。自模化性第四节模型试验方法模型试验（又称模化试验）是指，把通常比较大型（或小型）的原型工程设备按一定比例缩小（或放大）成通道内部几何相似的模型试验台，利用试验台进行流动规律的测试和研究。这样做的原因是，由于在许多原型设备上利用试验手段去测试和研究流体的流动规律，常常是很不方便的，甚至是很难办到的。设计一种新设备，事先进行模型试验，探索内部的流动规律，然后根据相似原理推广应用于原型设计，便可为设计提供依据，少走弯路，节省时间和经费器材。第四节模型试验方法在进行流体动力的模型试验时，为保证模型与原型中的现象相似，应按相似原理规定的条件去设计模型和安排试验。这些条件是：（1）模型与原型流体通道的内廓几何相似；（2）在模型与原型设备对应截面或对应点上流体的物性，即流体的密度与粘度具有固定的比值；（3）模型与原型进口截面的速度分布相似，（4）对于粘性不可压缩流体的定常流动，模型与原型进口处按平均流速计算的Re数、Fr数相等。满足以上条件的流动为完全相似流动。实践表明，尽管粘性不可压缩流体的定常流动只有两个定性准则，要同时相等常常也是很困难的，决定性准则数越多，模型设计越困难。因此，需要考虑采用近似模型试验方法。

第四节模型试验方法三、近似模型试验的三种方法

1．弗劳德模型法在水利工程及明渠无压流动中．处于主要地位的力是重力。用水位落差形式表现的重力是支配流动的原因，用静水压力表现的重力是水工结构中的主要矛盾。粘性力有时不起作用，有时作用不甚显著，因此弗劳德模型法的主要相似准则是弗劳德数弗劳德模型法在水利工程，船模水洞试验等领域应用甚广，大型水利工程设计，船舶设计等必须首先经过模型实验的论证而后方能投入施工。第四节模型试验方法

2．雷诺模型法

管中有压流动是在压差作用下克服管道摩擦而产生的流动，粘性力决定压差的大小，粘性力决定管内流动的性质，此时重力是无足轻重的次要因因此雷诺模型法的主要相似准则是雷诺数雷诺模型法的应用范围也很广泛，管道流动、液压技术、水力机械等方面的模型实验多数采用雷诺模型法。第四节模型试验方法3．欧拉模型法

随着管道流动的雷诺数的增大，（即惯性力与粘性力之比增大），粘性力的影响会逐渐减弱，当达到一定数值后，继续提高雷诺数，再也不会对流动现象和流动性能发生质和量的影响，（即此时尽管雷诺数不同，但粘性效果却是一样的）。这种现象叫作自动模化，产生这种现象的雷诺数范围叫作自动模化区，雷诺数处在自动模化区时，雷诺准则失去判别相似的作用。研究雷诺数处于自动模化区时的粘性流动，流动阻力主要是紊流阻力而不是粘性阻力。因此，在设计模型时，粘性力的影响不必考虑了；如果是管内气体流动，其重力的影响也不必考虑；这样我们只需考虑代表压力和惯性力之比的欧拉数。欧拉模型法用于自动模化区的管中流动、风洞实验及气体绕流等情况。弗劳德模型法

弧形闸门放水时的情景如图所示，已知水深。模型闸门是按长度比例尺制作的，试验时的开度与原型的相同。试求流动相似时模型闸门前的水深。在模型上测得收缩截面的平均流速，流量，水作用在闸门上力，绕闸门轴的力矩。试求原型上收缩截面的平均流速、流量以及作用在闸门上的力和力矩。解：1、模型闸门前的水深水在重力作用下流过闸门，要使流动相似，弗劳德数必须相等。2、原型收缩截面上的流速3、原型上的流量4、作用在原型闸门上的力5、作用在原型闸门轴上的力矩雷诺模型法为了探索用输油管上的一段弯管的压强降来计量油的流量，进行水模拟试验。选取的长度比例尺。已知输油管内径，油的流量运动粘度，密度，水的运动粘度，密度。为了保证流动相似，试求水的流量。如果测得在该流量下模型弯管的压强降，试求原型弯管在对应流量下的压强降。解：粘性有压管流，要使流动相似，雷诺数必须相等。欧拉数相等欧拉模型法（1）输水管道的内径，内装蝶阀。当蝶阀开度为、输送流量时，流动已进入自动模化区。利用空气进行模拟试验，选用的长度比例尺。为了保证模型内的流动也进入自动模化区，模型蝶阀在相同开度下的输送流量。试验时测得经过蝶阀的压强降，气流作用在蝶阀上的力，绕蝶阀轴的力矩。试求原型对应的压强降、作用力和力矩。已知时水的密度，粘度，时空气的密度，粘度，声速

解：1、求原型中的雷诺数2、求模型中的雷诺数3、求模型中的马赫数欧拉模型法（2）

根据以上计算，原型和模型中流动均进入自动模化区，且马赫数小于0.3属不可压缩流动范围。在流动进入自动模化区后，雷诺数不相等也能保持两流动相似。此时只要保证两流动的欧拉准则相等即可。根据欧拉准则根据力的比例关系根据力矩的比例关系第五节量纲分析

量纲分析法是依据物理方程量纲一致性原则(量纲齐次性原理）对一些机理尚不清楚地物理现象从量纲分析入手，找出流动过程的相似准则数，并借助试验找出这些相似准则数之间的函数关系，即准则方程。准则方程就是无量纲的物理方程，是用相似准则数表示的物理方程。根据相似原理，可以将准则方程式直接应用到原型及其它相似流动中去。用量纲分析法，结合试验研究，不仅可以找出尚无物理方程表示的复杂流动的流动规律，而且找出的流动规律还是同一类相似流动的普遍规律。因此，量纲分析法是与相似原理密切相关的另一种通过实验探索流动规律的重要方法。

常用的量纲分析法有瑞利法和定理。

基本量和导出量

——对应于基本单位和导出单位的物理量，分别称为基本量和导出量（速度、力等物理量）。基本单位

——相互独立的单位称为基本单位。力学中通常用长度、时间、质量作为基本单位。

第五节量纲分析物理量——物理现象中有关的各种变量称为物理量。物理量是用数值和单位表示的。

1、物理量纲和量纲导出单位

——由基本单位组成的单位称为导出单位。基本量选取不是固定的，只要三个物理量的单位相互独立即可基本量纲

——通常取表示长度、表示时间和表示质量的量纲为基本量纲。

第五节量纲分析

量纲——不考虑物理量单位中的基本单位的大小，而只用其单位的种类性质的符号及其组成方式的表达式，称为量纲或量纲式，也可称为因次。即量纲不是物理量的单位，只是物理单位组成规律的抽象表示

导出量纲——任意物理量的量纲可由基本量纲导出量纲相同的物理量具有相同单位的关系，并不代表它们的物理意义和数值相同无量纲量——任意物理量与量纲相同的基本量组合之比称为该物理量的无量纲两或无量纲数，用表示。

第五节量纲分析由于基本量选取是随意性的，故物理量的无量纲形式随基本量的选取而不同第五节量纲分析2、物理方程量纲一致性原则

一切物理过程都可以用物理方程来表示。任何一个物理方程中各项的量纲必定相同，因此，用量纲表示的物理方程必定是齐次性的。若用方程中的任何一项去通除整个方程，便可将该方程化为无量纲方程量纲分析法就是根据以上物理方程量纲一致性原则，从量纲分