光纤光学光纤传输的基本理论课件

光纤传输的基本理论返回主目录光纤结构光纤如何导光？如何分析光纤传输？

几何光学法

麦克斯韦波动方程法

根据全反射原理，存在一个临界角θc。

•当θ<θc时，相应的光线将在交界面发生全反射而返回纤芯，并以折线的形状向前传播，如光线1。根据斯奈尔(Snell)定律得到n0sinθ=n1sinθ1=n1cosψ1(1.1)

•当θ=θc时，相应的光线将以ψc入射到交界面，并沿交界面向前传播(折射角为90°)，如光线2，

•当θ>θc时，相应的光线将在交界面折射进入包层并逐渐消失，如光线3。由此可见，只有在半锥角为θ≤θc的圆锥内入射的光束才能在光纤中传播。Acceptanceangle:(接受角)定义临界角θc的正弦为数值孔径(NumericalAperture,NA)。根据定义和斯奈尔定律NA=n0sinθc=n1cosψc，n1sinψc=n2sin90°(1.2)n0=1，由式（2.2）经简单计算得到式中Δ=(n1-n2)/n1为纤芯与包层相对折射率差。

NA表示光纤接收和传输光的能力。？NA越大越好，or越小越好？NA(或θc)越大，光纤接收光的能力越强，从光源到光纤的耦合效率越高。对于无损耗光纤，在θc内的入射光都能在光纤中传输。NA越大，纤芯对光能量的束缚越强，光纤抗弯曲性能越好;但NA越大，经光纤传输后产生的信号畸变越大，因而限制了信息传输容量。所以要根据实际使用场合，选择适当的NA。

(1.3)时间延迟根据图1.4，入射角为θ的光线在长度为L(ox)的光纤中传输，所经历的路程为l(oy)，在θ不大的条件下，其传播时间即时间延迟为式中c为真空中的光速。由式(2.4)得到最大入射角(θ=θc)和最小入射角(θ=0)的光线之间时间延迟差近似为(1.4)(5.5)这种时间延迟差在时域产生脉冲展宽，或称为信号畸变。由此可见，突变型多模光纤的信号畸变是由于不同入射角的光线经光纤传输后，其时间延迟不同而产生的。式中，n1和n2分别为纤芯中心和包层的折射率，r和a分别为径向坐标和纤芯半径，Δ=(n1-n2)/n1为相对折射率差，g为折射率分布指数g→∞，(r/a)→0的极限条件下，式(2.6)表示突变型多模光纤的折射率分布

g=2，n(r)按平方律(抛物线)变化，表示常规渐变型多模光纤的折射率分布。具有这种分布的光纤，不同入射角的光线会聚在中心轴线的一点上，因而脉冲展宽减小

2.渐变型多模光纤渐变型多模光纤具有能减小脉冲展宽、增加带宽的优点。渐变型光纤折射率分布的普遍公式为n1［1-Δ］=n2r≥a0≤r≤an(r)=(2.6)渐变折射率光纤的纤芯可以看作是一组层与层之间有细微的折射率变化的薄层,其中在中心轴线处的层具有的折射率为n1，在包层边界的折射率为n2。这也是制造商如何来制造光纤的方法。图1.5渐变型多模光纤的光线传播原理

射线方程的解

式中，ρ为特定光线的位置矢量，s为从某一固定参考点起的光线长度。选用圆柱坐标(r,φ，z)，把渐变型多模光纤的子午面(r-z)示于图1.5。如式(1.6)所示，一般光纤相对折射率差都很小，光线和中心轴线z的夹角也很小，即sinθ≈θ。由于折射率分布具有圆对称性和沿轴线的均匀性，n与φ和z无关。在这些条件下，式(1.7)可简化为(1.8)

射线方程的解

用几何光学方法分析渐变型多模光纤要求解射线方程，射线方程一般形式为(1.7)由图1.5的入射光得到dr/dz=tanθi≈θi≈θ0/n(r)≈θ0/n(0)，把这个近似关系代入式(1.11)得到由出射光线得到dr/dz=tanθ≈θ≈θ*/n(r)，由这个近似关系和对式(2.10)微分得到

θ*=-An(r)risin(Az)+θ0cos(Az)(1.12b)取n(r)≈n(0)，由式(2.12)得到光线轨迹的普遍公式为把C1和C2代入式(1.10)得到r(z)=ricos(Az)+(1.12a)

rθ*=cos(Az)-An(0)sin(Az)cos(Az)r1这个公式是自聚焦透镜的理论依据。(1.13)由此可见，渐变型多模光纤的光线轨迹是传输距离z的正弦函数，对于确定的光纤，其幅度的大小取决于入射角θ0，其周期Λ=2π/A=2πa/，取决于光纤的结构参数(a,Δ)，而与入射角θ0无关。自聚焦效应为观察方便，把光线入射点移到中心轴线(z=0,ri=0)，由式(1.12)和式(1.13)得到(1.14a)

θ*=θ0cos(Az)(1.14b)这说明不同入射角相应的光线，虽然经历的路程不同，但是最终都会聚在P点上，见图1.5和图1.2(b)，这种现象称为自聚焦(Self-Focusing)效应。

1.2.2光纤传输的波动理论波动理论是一种比几何光学方法更为严格的分析方法，其严格性在于：(1)从光波的本质特性─电磁波出发，通过求解电磁波所遵从的麦克斯韦方程，导出电磁场的场分布,具有理论上的严谨性；(2)未作任何前提近似，因此适用于各种折射率分布的单模和多模光波导。MAXWELL’SEQUATIONS∇·B=0∇·D=ρ∇×E=−∂B/∂t∇×H=J+∂D/∂t

Fromthefirstline,thenormalcomponentsofDandBarecontinuousacrossadielectricinterface

Fromthesecondline,thetangentialcomponentsofEandHarecontinuousacrossadielectricinterface分析思路麦克斯韦方程组波动方程（亥姆赫兹方程）特征方程本征解传输特性分析时、空坐标分离：亥姆霍兹方程，是关于E(x,y,z)和H(x,y,z)的方程式单色波：矢量的Helmholtz方程空间坐标纵、横分离：得到关于E(x,y)和H(x,y)的方程式；用纵向场表示横向场波动光学方法的最基本方程。它是一个典型的本征方程。当给定波导的边界条件时，求解波导场方程可得本征解及相应的本征值。通常将本征解定义为“模式”。模式的概念从而光场可表示为分离的形式：式中为相移常数，也称为传播常数；和都是复矢量，有幅度、相位和方向，表示了和沿光纤横截面的分布，称为模式场。特征解—模式根据偏微分方程理论，对于给定的边界条件，简化的麦克斯韦方程组有无穷多个离散的特征解，并可进行排序。每一个特征解为：一个特征解为一个模式，光纤中总的光场分布则是这些模式的线性组合：一系列模式可以看成是一个光波导的场分布的空间谱。模式的基本特性稳定性：一个模式沿纵向传输时，其场分布形式不变，即沿z方向有稳定的分布。有序性：模式是波动方程的一系列特征解，是离散的、可以排序的。排序方法有两种：一种是以传播常数的大小排序，越大，序号越小；另一种是以两个自变量排序，所以有两列序号。叠加性：光波导中总的场分布是这些模式的线性叠加。正交性：一个正规光波导的不同模式之间满足正交关系。模式的基本特征每一个模式对应于沿光波导轴向传播的一种电磁波；每一个模式对应于某一本征值并满足全部边界条件；模式具有确定的相速群速和横场分布。模式是波导结构的固有电磁共振属性的表征。给定的波导中能够存在的模式及其性质是已确定了的，外界激励源只能激励起光波导中允许存在的模式而不会改变模式的固有性质。数学表达式：物理意义：光波导中所有模式（导模、漏摸、辐射摸）相互正交，模式独立载运光能量，光波场总功率等于各个模式携带功率的迭加；光波导实际场分布可以表示为各个模式本征函数的迭加。模式正交归一性模式命名根据场的纵向分量Ez和Hz的存在与否，可将模式命名为：(1)横电磁模(TEM)：Ez＝0，Hz＝0；(2)横电模(TE)： Ez＝0，Hz≠0；(3)横磁模(TM)： Ez≠0，Hz＝0；(4)混杂模(HE或EH)：Ez≠0，Hz≠0。阶跃折射率光纤中的场解数学模型圆柱坐标系中的波导场方程边界条件本征解与本征值方程本征值与模式分析数学模型数学模型：阶跃折射率分布光纤是一种理想的数学模型，即认为光纤是一种无限大直圆柱系统，芯区半径a，折射率为n1；包层沿径向无限延伸，折射率为n2。光纤材料为线性、无损、各向同性的电介质。图2.6光纤中的圆柱坐标六个场分量：Er，Eφ，Ez，Hr，Hφ，Hz。

但并不是相互独立的，横向分量由两个纵向分量唯一确定。式中，E和H分别为电场和磁场在直角坐标中的任一分量，c为光速。选用圆柱坐标(r，φ，z)，使z轴与光纤中心轴线一致，如图2.6所示。将式(2.18)在圆柱坐标中展开，得到电场的z分量Ez的波动方程为(2.18a)(2.18b)(2.19)1.波动方程和电磁场表达式设光纤没有损耗，折射率n变化很小，在光纤中传播的是角频率为ω的单色光，电磁场与时间t的关系为exp(jωt)，则标量波动方程(Helmholtz方程)为

磁场分量Hz的方程和式(2.19)完全相同，不再列出。解方程(2.19)，求出Ez和Hz，再通过麦克斯韦方程组求出其他电磁场分量，就得到任意位置的电场和磁场。

变量分离法：把Ez(r,φ,z)分解为Ez(r)、Ez(φ)和Ez(z)。从物理概念出发，可直接写出Ez(φ)和Ez(z)的形式。设光沿光纤轴向(z轴)传输，其传输常数为β，则Ez(z)应为exp(-jβz)。由于光纤的圆对称性，Ez(φ)应为方位角φ的周期函数，设为exp(jvφ)，v为整数。现在Ez(r)为未知函数，利用这些表达式，电场z分量可以写成Ez(r,φ,z)=Ez(r)ej(vφ-βz)(2.20)把式(2.20)代入式(2.19)得到式中，k=2π/λ=2πf/c=ω/c，λ和f为光的波长和频率。这样就把分析光纤中的电磁场分布，归结为求解贝塞尔(Bessel)方程(2.21)。贝塞尔(Bessel)方程有不同的解，取什么解要根据物理意义来确定。设纤芯(0≤r≤a)折射率n(r)=n1，包层(r≥a)折射率n(r)=n2，实际上突变型多模光纤和常规单模光纤都满足这个条件。为求解方程(2.21)，引入无量纲参数u,

w和V。(2.21)因为光能量要在纤芯(0≤r≤a)中传输，在r=0处，电磁场应为有限实数；在包层(r≥a)，光能量沿径向r迅速衰减，当r→∞时，电磁场应消逝为零。根据这些特点，式(2.23a)的解应取v阶贝塞尔函数Jv(ur/a)，而式(2.23b)的解则应取v阶修正的贝塞尔函数Kv(wr/a)。

u2=a2(n21k2-β2)(0≤r≤a)

w2=a2(β2-n22k2)(r≥a)V2=u2+w2=a2k2(n21-n22)利用这些参数，把式(2.21)分解为两个贝塞尔微分方程：(2.22)(0≤r≤a)(r≥a)(2.23a)(2.23b)图2.7（a)贝赛尔函数；（b)修正的贝赛尔函数Jv(u)1.00.80.60.40.20-0.2-0.4-0.643210246810uv=1v=0v=2(a)(b)v=112345wkv(w)因此，在纤芯和包层的电场Ez(r,φ,z)和磁场Hz(r,φ,z)表达式为Ez1(r,φ,z)(0<r≤a)Hz1(r,φ,z)=Ez2(r,φ,z)Hz2(r,φ,z)(0<r≤a)(r≥a)(r≥a)(2.24a)(2.24b)(2.24c)(2.24d)式中，脚标1和2分别表示纤芯和包层的电磁场分量，A和B为待定常数，由激励条件确定。Jv(u)和Kv(w)如图2.7所示，Jv(u)类似振幅衰减的正弦曲线，Kv(w)类似衰减的指数曲线。式(2.24)表明，光纤传输模式的电磁场分布和性质取决于特征参数u、w和β的值。u和w决定纤芯和包层横向(r)电磁场的分布，称为横向传输常数；β决定纵向(z)电磁场分布和传输性质，所以称为(纵向)传输常数。圆柱坐标系下纵向分量与横向分量的关系

2.特征方程和传输模式由式(2.24)确定光纤传输模式的电磁场分布和传输性质，必须求得u,w和β的值。由式(2.22)看到，在光纤基本参数n1、n2、a和k已知的条件下，u和w只和β有关。利用边界条件，导出β满足的特征方程，就可以求得β和u、w的值。由式(2.24)确定电磁场的纵向分量Ez和Hz后，就可以通过麦克斯韦方程组导出电磁场横向分量Er、Hr和Eφ、Hφ的表达式。因为电磁场强度的切向分量在纤芯包层交界面连续，在r=a处应该有Ez1=Ez2Hz1=Hz2Eφ1=Eφ2Hφ1=Hφ2(2.25)由式(2.24)可知，Ez和Hz已自动满足边界条件的要求。由Eφ和Hφ的边界条件导出β满足的特征方程为这是一个超越方程，由这个方程和式(2.22)定义的特征参数V联立，就可求得β值。但数值计算十分复杂，其结果示于图2.8。图中纵坐标的传输常数β取值范围为n2k≤β≤n1k(2.27)(2.26)横坐标的V称为归一化频率，根据式(2.22)(2.29)图中每一条曲线表示一个传输模式的β随V的变化，所以方程(2.26)又称为色散方程。图2.8若干低阶模式归一化传输常数随归一化频率变化的曲线01234560b1n1n2b/kHE11TE01HE31TM01HE21EH11EH12HE41EH21TM02TE02HE22V对于每个确定的v值，可以从特征方程(2.26)求出一系列β值，每个β值对应一定的模式，具有特定的电磁场分布。当v=0时，电磁场可分为两类。一类只有Ez、Er和Hφ分量，Hz=Hr=0，Eφ=0，这类在传输方向无磁场的模式称为横磁模(波)，记为TM0μ。另一类只有Hz、Hr和Eφ分量，Ez=Er=0，Hφ=0，这类在传输方向无电场的模式称为横电模(波)，记为TE0μ。当v≠0时，电磁场六个分量都存在，这些模式称为混合模(波)。混合模也有两类，一类Ez<Hz，记为HEvμ，另一类Hz<Ez，记为EHvμ。下标v和μ都是整数。第一个下标v是贝塞尔函数的阶数，称为方位角模数，它表示在纤芯沿方位角φ绕一圈电场变化的周期数。第二个下标μ是贝塞尔函数的根按从小到大排列的序数，称为径向模数。波动方程和特征方程的精确求解都非常繁杂，一般要进行简化。大多数通信光纤的纤芯与包层相对折射率差Δ都很小(例如Δ<0.01)，因此有n1≈n2≈n和β=nk的近似条件。这种光纤称为弱导光纤，对于弱导光纤β满足的本征方程可以简化为（2.30）由此得到的混合模HEv+1μ和EHv-1μ(例如HE31和EH11)传输常数β相近，电磁场可以线性叠加。用直角坐标代替圆柱坐标，使电磁场由六个分量简化为四个分量，得到Ey、Hx、Ez、Hz或与之正交的Ex、Hy、Ez、Hz。这些模式称为线性偏振(LinearlyPolarized)模，并记为LPvμ。LP0μ即HE1μ，LP1μ由HE2μ和TE0μ、TM0μ组成，包含4重简并，LPvμ(v>1)由HEv+1μ和EHv-1μ组成，包含4重简并。LP01HE11LP11HE21TM01TE01

LP02HE12LP12HE22TM02TE02LP03HE13LP13HE23TM03TE030~2.4052.405~3.8323.832~5.5205.520~7.0167.01