幂函数函数的图象

幂函数函数的图象第一页，共五十四页，2022年，8月28日1.了解幂函数的概念.2.掌握函数：y=x,y=x2,y=x3,的图象特征，了解它们的变化情况.3.会用基本函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.4.会用数形结合的思想与化归转化的思想解决数学问题.

第二页，共五十四页，2022年，8月28日1.考纲对幂函数要求不高，只需了解幂函数的性质，掌握常见的几种幂函数图象即可.2.对基本函数的图象，考纲要求以图象为载体研究其单调性、奇偶性，能结合图象比较函数值的大小，利用图象解一些简单的方程、不等式.第三页，共五十四页，2022年，8月28日3.从能力上，要求学生具备基本的作图、识图能力和图象的简单应用能力.4.从题型上看，主要以选择、填空的形式考查，一般为低中档难度题.综合应用的题目有时难度会稍大一些.第四页，共五十四页，2022年，8月28日函数图象的判断高考指数:★★★★1.(2012·山东高考)函数y的图象大致为()第五页，共五十四页，2022年，8月28日【解析】选D.函数f(x)，f(-x)==-f(x)为奇函数，当x→0，且x>0时f(x)→+∞；当x→0，且x<0时f(x)→-∞；当x→+∞，2x-2-x→+∞，f(x)→0;当x→-∞,2x-2-x→-∞，f(x)→0.答案应选D.第六页，共五十四页，2022年，8月28日2.(2012·江西高考)如图|OA|=2(单位：m),|OB|=1(单位：m),OA与OB的夹角为，以A为圆心，AB为半径作圆弧与线段OA延长线交于点C.甲、乙两质点同时从点O出发，甲先以速率1(单位:m/s)沿线段OB行至点B，再以速率3(单位：m/s)沿圆弧行至点C后停止,乙以速率2(单位：m/s)沿线段OA行至A点后停止.设t时刻甲、乙所到达的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S(t)(S(0)=0)，则函数y=S(t)的图象大致是()第七页，共五十四页，2022年，8月28日【解析】选A.因为|OB|=1，甲在OB段的速率为1,所以在OB段行至点B恰好为1s,|OA|=2,乙在OA段的速率为2,所以在OA段行至点A恰好为1s,所以在甲由O至B，乙由O至A这段时间，S(t)=(0≤t≤1)是增函数，而且S(t)增大得越来越快.由于乙至A后停止，所以在甲由B沿圆弧运动过程中，面积S是在匀速增大，所以应为一段线段，而在甲到达C后面积S不再变化，应为一条平行于x轴的直线.第八页，共五十四页，2022年，8月28日3.(2012·湖北高考)已知定义在区间［0，2］上的函数y=f(x)的图象如图所示，则y=-f(2-x)的图象为()第九页，共五十四页，2022年，8月28日【解析】选B.由y=f(x)的图象向左平移两个单位得y=f(x+2);再把y=f(x+2)的图象关于原点对称得y=-f(-x+2)的图象,可知答案.第十页，共五十四页，2022年，8月28日4.(2011·江西高考)如图，一个“凸轮”放置于直角坐标系x轴上方，其“底端”落在原点O处，一顶点及中心M在y轴正半轴上，它的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成.第十一页，共五十四页，2022年，8月28日今使“凸轮”沿x轴正向滚动前进，在滚动过程中，“凸轮”每时每刻都有一个“最高点”，其中心也在不断移动位置，则在“凸轮”滚动一周的过程中，将其“最高点”和“中心点”所形成的图形按上、下放置，应大致为()第十二页，共五十四页，2022年，8月28日【解析】选A.“凸轮”的滚动如图所示.设PS=a，则PM=a,MN=a-a＜PM.所以M到x轴的距离先增大再减小再增大再减小……最高点到x轴的距离一直为圆的半径，所以选A.第十三页，共五十四页，2022年，8月28日5.(2010·重庆高考)函数f(x)=的图象()(A)关于原点对称(B)关于直线y=x对称(C)关于x轴对称(D)关于y轴对称第十四页，共五十四页，2022年，8月28日【解析】选D.方法一：函数f(x)的定义域为R.=f(x)，函数f(x)是偶函数，图象关于y轴对称.方法二：函数f(x)的定义域为R.有f(-x)=2-x+2x=f(x)，函数f(x)是偶函数，所以函数f(x)=的图象关于y轴对称.第十五页，共五十四页，2022年，8月28日函数图象的应用高考指数:★★6.(2012·安徽高考)若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是［3,+∞)，则a=_______.【解题指南】作出函数f(x)=|2x+a|的图象，根据图象可得函数的单调递增区间为［,+∞).第十六页，共五十四页，2022年，8月28日【解析】作出函数f(x)=|2x+a|的图象，大致如图，根据图象可得函数的单调递增区间为［,+∞),即=3,a=-6.答案：-6第十七页，共五十四页，2022年，8月28日7.(2012·天津高考)已知函数y的图象与函数y=kx的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是_______.【解题指南】化简函数y，在同一个坐标系中画出两个函数的图象，数形结合求得k的范围.第十八页，共五十四页，2022年，8月28日【解析】∵∴作出函数与函数y=kx的图象恰有两个交点可得k的取值范围是(0，1)∪(1，2).答案：(0，1)∪(1，2)第十九页，共五十四页，2022年，8月28日8.(2012·上海高考)已知函数y=f(x)的图象是折线段ABC，其中A(0,0)，B(,1),C(1,0)，函数y=xf(x)(0≤x≤1)的图象与x轴围成的图形的面积为________.第二十页，共五十四页，2022年，8月28日【解析】由题意得函数所以函数所以函数y=xf(x)(0≤x≤1)的图象与x轴围成的图形的面积为.答案：第二十一页，共五十四页，2022年，8月28日函数图象的判断【典例1】(2011·陕西高考)函数y=的图象是()

第二十二页，共五十四页，2022年，8月28日【解题视角】由题目获取已知信息并分析如下：(1)已知信息：函数关系式是y=，函数图象为过原点的曲线和直线(虚线，作为辅助线).图象关于原点对称，在定义域上是增函数.(2)信息分析：由已知函数关系式和图象，根据函数图象在［0,1］上的位置关系，可以用取点验证的方法判断．第二十三页，共五十四页，2022年，8月28日【规范解答】选B.取x=,-,则y=,-,选项B、D符合，取x=1,则y=1,选项B符合题意.第二十四页，共五十四页，2022年，8月28日【延伸探究】利用图象解不等式＞x.【解析】作出y=和y=x的图象比较可知，不等式＞x的解集为：(-∞，-1)∪(0,1).第二十五页，共五十四页，2022年，8月28日【命题人揭秘】命题规律:纵观历年来高考试题，该高频考点呈现如下命题规律:(1)考查内容主要有：函数的定义域、值域，函数图象的形状，函数图象的画法，函数图象上点的位置、坐标的确定，函数单调性、奇偶性、最值等.(2)题型有：已知函数关系式，判断图象的形状;已知函数图象判断函数关系式;已知函数的变化情况，绘制函数图象或判断函数图象.(3)命题形式：以选择题的形式考查.难度为中档难度.第二十六页，共五十四页，2022年，8月28日备考策略：1.对基本函数的关系式、定义域、值域细心研究，抓住其关键点、单调性、奇偶性等特征，作为判断图象的依据.2.要掌握判断函数图象的一些基本方法，如：特殊点法(利用特殊点筛选淘汰)，导数法(借助导数判断单调性、凹凸性)，辅助线法(借助辅助线判断点的位置、图象凹凸状况)，平移法，对称法等.第二十七页，共五十四页，2022年，8月28日函数图象的应用【典例2】(2011·新课标全国卷)已知函数y=f(x)的周期为2，当x∈[-1,1]时，f(x)=x2,那么函数y=f(x)的图象与函数y=|lgx|的图象的交点共有()(A)10个(B)9个(C)8个(D)1个第二十八页，共五十四页，2022年，8月28日【解题视角】由题目获取已知信息并分析如下：(1)已知信息：①函数y=f(x)的周期；②当x∈［-1,1］时f(x)的函数解析式；③另一个函数为y=|lgx|.(2)信息分析：①由已知函数解析式可以作出f(x)=x2在一个周期［-1,1］内的图象，然后利用周期性进行左右平移可得f(x)在其他区间上的图象，②再利用图象变换的原则画出函数y=|lgx|的图象，由两者图象得交点个数.第二十九页，共五十四页，2022年，8月28日【规范解答】选A.根据f(x)的性质及f(x)在［-1,1］上的解析式可作图如下可验证当x=10时，y=|lg10|=1；x>10时，|lgx|>1.因此结合图象及数据特点知y=f(x)与y=|lgx|的图象交点共有10个.第三十页，共五十四页，2022年，8月28日【命题人揭秘】命题规律：纵观历年来高考试题，该高频考点的考查内容主要有：(1)函数图象的对称性，周期性，奇偶性，单调性.(2)函数图象的变换(平移、伸缩、对称、翻转).题型有：①由函数图象求交点、交点个数，求解析式，求参数值，求最值等.②图象变换(求变换前后函数关系式、变换方法、变换过程).③利用图象性质解决综合性问题.考查形式一般为选择题、填空题.难度为中档或中档偏上.第三十一页，共五十四页，2022年，8月28日备考策略：1.解决图象问题，关键是要学会观察分析图象的关键点、关键值和主要性质.总结由图象特征提取信息，分析信息的规律方法.并通过练习应用，验证、补充，使之不断完善.2.对图象的变换原则，要进行针对性训练，熟练掌握基本函数的常见的变换方法.图象是数形结合思想应用的主体，对“数”与“形”结合的关键点和转化技巧要加强训练，高度重视.第三十二页，共五十四页，2022年，8月28日函数中的新定义问题【典例3】(2011·天津高考)对实数a和b,定义运算“”:ab=设函数f(x)=(x2-2)(x-1),x∈R.若函数y=f(x)-c的图象与x轴恰有两个公共点,则实数c的取值范围是()(A)(-1,1］∪(2,+∞)(B)(-2,-1］∪(1,2］(C)(-∞,-2)∪(1,2］(D)［-2,-1］第三十三页，共五十四页，2022年，8月28日【解题视角】由题目获取已知信息并分析如下：(1)已知信息：①新定义实数a、b满足运算“”.②函数f(x)是满足新定义运算的关系式.③函数y=f(x)-c的图象与x轴恰有两个公共点.(2)信息分析：①根据新信息规定，可得出f(x)的解析式，f(x)解析式应该是分段函数.②y=f(x)-c的图象是由y=f(x)的图象上下平移得到的,数形结合平移图象即可得出所需结论.第三十四页，共五十四页，2022年，8月28日【解题流程】选B.第三十五页，共五十四页，2022年，8月28日【阅卷人点拨】创新点拨1.本题在给出题目条件时有创新，新定义了两个实数的运算法则.考查了学生的审题能力和面对新问题的分析思维能力.2.本题在问题设置上也有创新，求函数f(x)-c与x轴的交点，实际在考查函数f(x)的图象变换，改变设问方式，旨在考查学生的灵活应变能力.第三十六页，共五十四页，2022年，8月28日备考策略1.对待新定义问题，应该首先仔细审题，把新定义的规定理解透彻，并对各项要求认真分析作出标记，找出问题的关键点、易混易错点.2.在复习中要利用专题训练的方式，把新定义问题归类研究，找出各种条件下的新定义问题，比较异同，归纳出通性通法，达到举一反三、触类旁通的效果.第三十七页，共五十四页，2022年，8月28日幂函数的概念、图象、性质1.幂函数的定义形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.【考点突破区】第三十八页，共五十四页，2022年，8月28日2.五种幂函数的图象第三十九页，共五十四页，2022年，8月28日3.五种幂函数的性质y=xy=x2y=x3y=y=x-1定义域_________________________值域________________________________奇偶性__________________单调性____________________________________________________________________定点______函数特征性质RRR［0,+∞){x|x∈R且x≠0}R［0,+∞)R［0,+∞){y|y∈R且y≠0}奇偶奇非奇非偶奇x∈［0,+∞)时,增x∈(-∞,0］时，减增增x∈(0,+∞)时,减x∈(-∞,0)时,减(1,1)增第四十页，共五十四页，2022年，8月28日【状元心得】1.幂函数的三个特征(1)指数为常数；(2)底数为自变量x;(3)xα的系数为1.2.比较幂函数值的大小的常用方法(1)若幂的指数相同，构造幂函数，利用幂函数的单调性比较大小；第四十一页，共五十四页，2022年，8月28日(2)若幂的底数相同，构造指数函数，利用指数函数的单调性比较大小；(3)若幂的底数和指数均不相同，找一个中间量，使它与一个幂的底数相同，而与另一个幂的指数相同，分别将此中间量与它们比较.第四十二页，共五十四页，2022年，8月28日【特别提醒】比较既有幂值，又有对数值的大小问题时，一般引入中间量，分组比较大小.

第四十三页，共五十四页，2022年，8月28日3.幂函数y=xα图象特征(1)当α>0时，①图象都过(0,0)点，(1，1)点.②在第一象限内函数值随着x的增大而增大.③在第一象限内，α>1时，图象向下凸；0<α<1时，图象向上凸.(2)当α<0时,①图象都过(1，1)点.②在第一象限内，函数值随着x的增大而减小，图象是向下凸的.第四十四页，共五十四页，2022年，8月28日函数图象的画法1.描点法作图的三个步骤通过列表、描点、连线三个步骤画出函数的图象.第四十五页，共五十四页，2022年，8月28日2.两种图象变换法作图(1)平移变换①y=f(x)的图象向左平移a(a>0)个单位得到函数_________的图象.②y=f(x-b)(b>0)的图象可由y=f(x)的图象________________得到.(2)对称变换(在f(-x)有意义的前提下)①y=f(-x)与y=f(x)两个函数的图象________对称；②y=-f(x)与y=f(x)两个函数的图象________对称；y=f(x+a)向右平移b个单位关于y轴关于x轴第四十六页，共五十四页，2022年，8月28日③y=-f(-x)与y=f(x)两个函数的图象__________对称；④作y=|f(x)|的图象可将y=f(x)的图象在x轴下方的部分_____________，其余部分不变；⑤作y=f(|x|)的图象可先作出y=f(x)当x≥0时的图象，再利用偶函数的图象关于y轴对称，作出___________的图象.关于