带导数的插值

带导数的插值第一页，共二十一页，2022年，8月28日华长生制作2Newton插值和Lagrange插值虽然构造比较简单，但都存在插值曲线在节点处有尖点，不光滑，插值多项式在节点处不可导等缺点--------(1)第二页，共二十一页，2022年，8月28日华长生制作3--------(2)第三页，共二十一页，2022年，8月28日华长生制作4定义1.称满足(1)或(2)式的插值问题为Hermite插值，称满足(1)或(2)式的插值多项式P(x)为Hermite插值多项式，记为Hk(x),k为多项式次数两点三次Hermite插值先考虑只有两个节点的插值问题第四页，共二十一页，2022年，8月28日华长生制作5希望插值系数与Lagrange插值一样简单重新假设第五页，共二十一页，2022年，8月28日华长生制作6其中可知由第六页，共二十一页，2022年，8月28日华长生制作7可得Lagrange插值基函数第七页，共二十一页，2022年，8月28日华长生制作8类似可得即将以上结果代入第八页，共二十一页，2022年，8月28日华长生制作9得两个节点的三次Hermite插值公式第九页，共二十一页，2022年，8月28日华长生制作10二、两点三次Hermite插值的余项两点三次Hermite插值的误差为第十页，共二十一页，2022年，8月28日华长生制作11构造辅助函数均是二重根连续使用4次Rolle定理，可得，使得第十一页，共二十一页，2022年，8月28日华长生制作12即所以,两点三次Hermite插值的余项为以上分析都能成立吗？第十二页，共二十一页，2022年，8月28日华长生制作13

例

设f(x)=lnx，给定f(1)=0,f(2)=0.693147,f’(1)=1,f’(2)=0.5。用三次Hermite插值多项式H3(x)计算f(1.5)的近似值。解记x0=1,x1=2,可得得三次Hermite插值多项式由此得f(1.5)的近似值H3(1.5)=0.409074第十三页，共二十一页，2022年，8月28日华长生制作14例1.解:第十四页，共二十一页，2022年，8月28日华长生制作15作为多项式插值,三次已是较高的次数，次数再高就有可能发生Runge现象,因此，对有n+1节点的插值问题，我们可以使用分段两点三次Hermite插值第十五页，共二十一页，2022年，8月28日华长生制作16

Hermite插值是带导数的插值，除了可以要求插值多项式与被插值函数在插值节点上取值相等外，还可以要求在节点上它们的导数值也相等，甚至要求高阶导数也相等。下面只讨论在插值节点上函数值和函数的一阶导数值都给定的情形。

设在n+1个不同点的插值节点上，给定。要求一个次数不超过2n+1的多项式H2n+1(x),试的满足插值条件同样Hermite插值多项式可以用类似于求Lagrange插值多项式的方法给出，这种插值多项式是唯一存在的。

先求出插值基函数每个基函数为2n+1次多项式，并且满足如下条件一般的Hermite插值多项式第十六页，共二十一页，2022年，8月28日华长生制作17利用构造多项式这是一个次数不超过2n+1的多项式。其中li(x)为Lagrange插值基函数，由条件得由此得（）第十七页，共二十一页，2022年，8月28日华长生制作18同理可得

下面讨论唯一性问题，设还有一个次数不超过2n+1的多项式Gn+1(x)满足相同的插值条件。令，则有因为R(x)是一个次数不超过2n+1的多项式，最多有2n+1个零点，但现在它有n+1个二重根，即有2n+2个零点，所以，必有R(x)=0,即H2n+1(x)=G2n+1(x)。第十八页，共二十一页，2022年，8月28日华长生制作19同样仿照Lagrange插值余项的证明方法，可得下面的余项定理定理设为[a,b]上相异节点，,并且f(2n+2)(x)在(a,b)内存在，Hn+1(x)是满足前面插值条件的插值多项式，则对任何x∈[a,b],存在ξ∈(a,b),使得第十九页，共二十一页，2022年，8月28日华长生制作20带不完全导数的埃尔米特插值多项式举例例建立埃尔米特插值多项式使之满足如下插值条件：解二次牛顿插值多项式