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3.3垂径定理第1课时垂径定理【明目标、知重点】

1.理解并掌握垂径定理；2.会利用垂径定理解决实际问题．填要点·记疑点1．圆的轴对称性

圆是_____________，每一条过圆心的直线都是圆的__________．2．垂径定理

定理：垂直于弦的直径________这条弦，并且___________________．3．弧的中点及弦心距

弧的中点：____________成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点．轴对称图形对称轴平分平分弦所对的弧分一条弧探要点·究所然类型之一垂径定理例1圆的半径为5cm，两弦AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm，那么两弦AB，CD的距离是 () A．7cm B．1cm C．3cm D．7cm或1cm 【解析】(1)当圆心O在AB，CD同一侧时，如答图①所示，过O作OE⊥AB于E，延长交CD于F，连结OC，OA， ∵AB∥CD，∴OF⊥CD.D例1答图(2)当圆心O在AB，CD之间时，如答图②所示，过O作OE⊥AB于E，延长EO交CD于F，连结OC，OA，同样可得OF＝4cm，OE＝3cm.∴EF＝OE＋OF＝7cm.∴AB，CD之间的距离为1cm或7cm.【点悟】(1)此题主要考查分类讨论思想，培养严密性思维和解题方法：确定图形——分析图形——数形结合——解决问题；(2)学会作辅助线的方法．变式跟进1如图3－3－1，⊙O的直径CD＝10，弦AB＝8，AB⊥CD，垂足为M，那么DM的长为_____．图3－3－1变式跟进1答图8变式跟进2如图3－3－2所示，AB为⊙O的直径，且弦CD⊥AB于E，CD＝16，AE＝4，求OE的长．图3－3－2变式跟进2答图解：连结CO，如答图所示，由AB⊥CD，AB为⊙O的直径，可得CE＝ED＝8.在Rt△CEO中，CO2＝OE2＋CE2.设OE＝x，那么AO＝EO＋AE＝x＋4，又CO＝AO＝x＋4，所以(x＋4)2＝x2＋82，解得x＝6，即OE＝6.例2“圆材埋壁〞是我国古代著作?九章算术?中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？〞答曰：“26寸〞．

图3－3－3类型之二垂径定理在实际生活中的应用

题目用现在的数学语言表达是：如图3－3－3所示，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长．例2答图【解析】这是一道用垂径定理和勾股定理解决的题目．解得x＝13，∴OA＝13寸，∴CD＝2OA＝26寸，∴直径CD的长为26寸．

【点悟】解决此类问题的关键是要抽象出由弦心距、弦长一半及半径构成的直角三角形这一几何模型．变式跟进3如图3－3－4所示，是一个单心圆形隧道的截面，假

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