高中抛物线知识点归纳总结与练习题及答案

ppppy

px

y

px

x

py

x

py(p

()

()

()抛物

l

l线

O

F

x

F

O

x

O

F

x

OF

xl点和线的物义物线的焦点，直线l叫做抛线的准{

M

MF

=点到直线l的距}范围

xy

x,

xy

xy对称

关x轴对称

关于轴焦点

(

p

(0,)

p

)顶点

焦在称O)率

e

准线

p

x

p

y

程顶点到准线的距离焦点到准线的距离

准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。pp1/实精品档焦半径AF1Ay)1

p2

AF1

p2

AFy1

p2

AF1

p2焦弦长AB

(xp1

)12

()p1

yy)12y点弦

o

1FBy2AB

几

以AB线切性质若的为，则

若AB的为则(xy)1(x,y)

2sin2

xx2

2

yy

AB

22112AF•BF•BF切线方程

yy(x)

(x)

xx(y)

(y)一．

线线，，y2/实精品档1）当时，直线与抛物线的对称轴平，有一个交点；2当0时，Δ＞0，直线l与抛物线相交，两个不同交点；Δ=0，l与抛物线相切，一个切点；Δ＜0，直线l与物线相离，无公共点。（3）直与抛物线有个共点则直与抛物线切吗?（不一）二．

线l：ykx

抛物线)①

px

()x

设交坐标为(x)

,

(x,y)

，则有,以及

xx,xx

，还可进一步求

kxkx(xb

，)(kx)xxkb()

在涉及弦长，中，对称，面积等问时，常用此法，1.

弦AB长

x

x

xx

yy

(yy)

yy

中点(x,)②

xx

，/用精文档222pAByx2xxAB1222pAByx2xxAB1设交坐标为()，(y)2

，代入抛物方程，得px1将两式相减，可得(y)(yy)p(x)21y2

y222

，在涉及中点轨迹问题时，设线段的中点为Mxy，00y222xyy120即，

，线(0)，线于、B点(x,y)00

AB的中点，则k1002（注意能用这个公式的条件1）直线与抛物线有两个不同的交点，2直线的斜率存在，且不等于零）、知点抛物线=4x，那么点到点－）的离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的标为4已知点是物线22x上的一个动点，点到点（0，2）距离与到该抛物线准线的距离和的最小值为4/实精品档

2x2yx2y直线x与抛物线2交于两点过,B两点向抛线的准线作垂线，垂分别为，梯形APQB面积为设O是坐标原，F抛物线22px(p0)的点，A是物上一点，FA与轴正向的夹为60，则OA为。、物线y4的焦点为，线为l，过且率为线与抛物线在轴上方部分相交于点，AKl，垂足为则的面积是已知抛物线C:的焦点为，准线与的交点为K，点在上且AF，则的面积为已知双曲线45

，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为。在平面直角坐标xoy中有一定点若线的垂直平分线过抛物线22px(p0)该抛物的方程是。在平面直角坐标系中，已知抛物线关于轴对称，顶点在原点，且过，4)则该物线的方程是、抛物线上点到线xy离的最小值是。43已知物线过点P(4,0)的直线与抛物线相交于),B(x)12两点，则+y的最小值是321若曲线2＝|x1与线b没公共点，则b分应满足的条件是。=0,-1<已知抛线y-x2+3存在关于直线称的相异两点AB，则AB|于C5/实精品档252222222212252222222212A.3

B.4

2

2已知物

2

p

的焦为点

(xy，(y1122

x，y)33在物上

2xx2

则有）ＣＡ

FP12

Ｂ．223

FP213

Ｄ．

FP13知点

Ay)1

y)(xx0)21

是抛物线y22pxp

上的个动

是坐标原点,向A

OB

.设的方程为x

y

xx)xy)y212

(1)证明线段

是圆

C

的直;圆圆心到直x-2y=0的距离的最值时，p值5解(1)证1:

OA()

OAOB)

OAOAy01

得

OA

设M(x,y)是以线段AB直径圆上任意

MA

xy)(yy)011

，整理得:

xy2xx)xy)y212

故线段是C的直径证2:

OA()

OAOB)

OAOA..(1)y01

得

OA

(x,y)是线AB为直径的圆上则

yyy2x,x)xx2

去分:

xy)(yy)011

y),(x,y),(yxy12

满足上方程展开并(1)代入得6/实精品档2222y2y2pyy4，p252222y2y2pyy4，p25x

y

xx)xy)y212

，故线段是圆C的直径证3:

OA()

OAOB)

，OAOA

，整理:

OA

，xy01

线段AB为径的圆的方程为xxy1(1)2y)224

[(xx)2y)1

2

]

，展开并将代入得

x

y

xx)xy)y212

，故线段是圆C的直径法圆的圆心为

xxx12yyy122ypx22(p

，xx，又因xy，x12

，12，0,y2

，yp

，x

x224p

(yy

)

14

yy(yy2yy)112

1(ypp

)

，所以圆心的轨迹方程为y2

pxp

2

，设圆C到直线的距离为d,|(y2p)y||y||22|5p

|(p2p|p当,最小值由题设得5解圆的圆C(x,y),则

，p57/实精品档y2y2p12252y2y2p122525p2

xxx12yyy122y,y22px(0)

，xx，又因y，x12

，yy

，0122

，p

，x

xyy2(y2)(y2yy)24pp

1p

(y2p2)

，所以圆心的轨迹方程为2

，设直线直线x-2y=0距离为5与px

2

无公共,所以当与离最小值为5xy(2)y22

2

仅有一个公共点该点到直线距((3)得

2

py

2

p0

，

2

4(2

2

)0

，解圆的心为C(x,y),则

xxx12yyy122圆心到直线距离为则d

xx|12yy)|158/实精品档2pp11222线程22pp11222线程2y,y22px(0)

，xx

y2yp2

，又因y，112x12

，yy

，0，y2122

，|(yy)yy)|p|yyyyy)p125

|

(ypp

，当y2,d有小值得，p5、已知圆:抛物线:y)43

p0)

,且的公共12弦过椭圆的右焦.1当⊥轴求m、值，并判断抛物线C的焦点是否在直线AB上；是否存在m、的值，使抛物线的点在线AB？若存在，求符条的m、值；若不存在，请说明理解1）当x轴时，点B关于轴对称，所以0，直线AB的方程为从而点的坐为1，）或（1－.因为点在2

2抛线，以，即9此时2的焦点坐标（焦点416不直线上.解法一焦点在AB时，（Ⅰ知直线AB斜率在，2设直方(x.(x由消去y4

.①y得)xkxk29/实精品档

y

Ax2128k2pm或m，方；直程线为6m直程线为因的线，x222128k2pm或m，方；直程线为6m直程线为因的线，x22设A、B的坐标分别为x,y）x,y,122则,x方程①的两根，x＋x＝123因为AB既是过的右焦点的弦，又是过的焦点的弦，12所以2

x2

x)4

(xx)2

，且x1

p)x2

)xp1

从而xp(xx)12

所以12

4p3

，即3k23解得2即6.因为2的焦点m)在直线(x上，所以.3即633

当时的x3当3

时，方.解法二焦点在AB时由（Ⅰ）知直线AB的斜率在，直线2AB的方程为(x

由)y(x

83

x

消去

y得)

83

x

①为2焦点)在直上3所以(，即m代入①2)8334k.即24()39

x

②设A、B的坐标分别为x,y）x,y,122则,x方程②的两根，x＋x＝k)12310/用精文档48m或m，方；直程线为6m直程线为由（m12是，48m或m，方；直程线为6m直程线为由（m12是，)xm或mm，方；直程线为6m直程线为(x由y4

消去得2)xkxk2

③于也是方程③的两根，所以x＝113从而＝2,k6.33因为2的焦点m)在直线(x上，所以.3即633

当时的x3当3

时，方.解法三B坐分别为（x）,y12因为AB既过1右焦点(，是过2的焦点)，3所以x

p)x2

)2

x2

x)

即xx12

(4)

9

①Ⅰ）kyymx且直线AB的方程

，所以(x)121

m

.③又为1y2

1212

以y2y1121

.④将①、②、③代入④得，即63当时的x3

当3

时，方.、如图倾斜角为的直线经过抛物线x焦点，且与抛物线于A、B两点。11/用精文档又准的为。求的x|又准的为。求的x|解求抛物线的焦点的坐标及线的方程；若为锐角，作线段的直平分线交轴于点，证明FP|为定值，并求此定值。物线的标准方程为2而此焦点(,)的坐标为（20）线方程式从而所方程为。答21）图解法一：如图21）图作AC⊥l，BDl，垂足为D，则由抛物线的定义知,|FB|=|BD|记AB的横坐标分别为x，则FA|AC|＝xxx

FA|aFA|a2

解得4a

，类似地

||a

，

。记直线与AB为则|FE||

|||2

(||)

41

41cos

4a

，12/用精文档2故，的(x)4k)kk而2，122故，的(x)4k)kk而2，122122所以FP|a

。|2a

4

a

(1cos

2

a

。解法二：设(,y)，(,)AAB

直线斜率为为()

。将此式代入2x得x2x4k

，故xA

kk

k

)

。记直线与为(,)E

则

E

kA2k

2)

，E

线的为42kkk

k

4

令得的横坐标24故FPPP

4

a

。从FP|a

4

a

(1cos

2

a

为定值。、已知正三角形

AB

的三个顶点都在抛物线2上，其O为坐点，设的内接圆点C为圆心求的方程；2）设M的方程为7cosy7cos

，过M上任一点分别作圆

C

的两条切线，PF点为，的最值和最小值．解法一：设B两坐标，2，y由题设22

2

解得2y2

以(63)，(63)

(6，3)设圆心C的坐标为，则，所以的方程为x23解法二：设点标别为，)，(x，题设122

16

x

222

．又因为2x，222

，可得2x12

．)(x12

x1

，0，可故x213/用精文档，222x4所121642，222x4所1216422020称，以圆心在轴上．设点的坐标为r，则坐为r，r是有rr，得，所以圆C方程为x．22解：设则CF||2RtPCE中，，由圆的几何性质得|PC|||，||MC|，|||

．以≤2

，由此可得CECF≤

169

则CF最大值为，9最小值为．若AB是物线y2

=4x上不同两点，AB（不平行于轴）的垂直分线x轴相交点则称弦AB点的相关弦.已知当x>2，点（）在穷“相.定x>2.0证明：点（的所“相关弦”的中点的横坐标相同；0试问：点（）“相”的长中是否存在大值？若存在，0求最值用表示若不存在，请说明理.0:（设为点（x,0）的意一条相关弦”，点B的坐标0分别是（x,y1,y2x2）则1y2=4x2两式减得y1+y2）y12）（x-x2）因为,以+y20.设直AB的率是，弦AB的中点是Mx,）,则12y121m

而AB垂直平分线l的方程为m(xmm又点（x）在直l上，所以m().m0m

y0,m

于是故点x的所有“相关弦的中点的横坐标都是mx-2.014/用精文档mmmmm02015O2QB1mmmmm02015O2QB128(1)知，弦在直线的方程是yyxx，代入2x，m整理得xk(ykx)xykx)mm

）则x、x是方程（）的两个实根，x1

(ykx)2m.设点的相关弦的弦为l，则l

xxyy)22)(xx)221

)[(xx)xx]4(11(yxy)[2m]y24y2m

2

)(xm

2

xx1(4xy)(xxmmmmmmxyxxyx3)]2mmm因为0<

ym

=4(x于是设t=y2m

,则0-8).记l2=g(t)=-[t-2(x0-3)]+4(x0-1)，若x则04x0-8),所以当t=2(x-3),y2m

=2(x-3)时,l有大值-1).若0<3,则2(x0在区间（上是减函数，所以0<l2-2),l不存在大0综上述，x时（x）的相”弦长存在大值，且0最大为2（x-12<0时点Px0,0“相关弦的长中在最、已知线是到点（,）和直线y距离相等的点的轨迹。28

是过-1，的直线，

M

M是上不在）的点A、B在上，MAMBx（如图Q求曲线的方求出直线的方，使得QA解：N(，y)上的点则NP|15/用精文档

，离由到直的518281而．214，|QB2离由到直的518281而．214，|QB2从而211．|QB2为，N

线距为设得8

58

．化简得曲线C的方程为()．2解法一：设M，，则()，从12|QMA

中，因为QM2

，||2

22

2

．|QA|2MA|

(2

)

(

|

|1|||2

|QB2(1)1|QA|||2k

．k2时，|QA|

，从而所求直线l方程为．解法二：设M，，则(，)，．||12|Q(直l的线:(．k

1

M

因为QA|MH|

，|QA

||kx|22

，

Q

O

|QB2(1)1|QA|||2kk2时，l方程为．|QA|F、如图，已知F(10)，线，P面上的

作直线l垂线，垂足为Q，QFFQ求动轨的方程16/用精文档

．24，1m22m1224，1m22m12点的直线轨迹C于点直线l点知MA，1MB2

，求值；1解法一设点(，y)，(y，由QPQFFQ(xxy)(y)，化得:24x．设直线的方程为：

得：．xmym设(x，y1)，(x，2，又M，联立方程组，去x得：x，

Q

ymy

，2

0

，故

O

F

yym，1yy．1由MA，BF12

得：

M

2y11

，y2

，整理得：1

my1

，2

my2

，21yy12

yy12yy12

m

．用例、设是抛线4x上的个动点．点到点－距离与点直线1的距离和的最小值；若(3,2)，求PB|PF的最小值．例、(2011·山东高考设x0，为抛物线x2＝y上一为抛物线的焦点，以F圆心、|为半径圆和抛物线准线交，17/实用精品文档OCADOCAD则取值围是()A．(0,2)B[0,2]C．(2＋∞D[2＋∞质例抛物线2pxp>0)的点为准线为经过的直线与抛物线交于点交准线于点，点在轴上方，⊥，垂足为，若＝，且AF|＝，的面积是()A．4B33C43D．8例、过抛物线＝2px>0)的焦点的直线交抛物线于点B，交准线于点若|＝BF|，且|＝则抛物线的方程为()3A．y＝2

B．y2＝

9C．y＝2

D．y3x题例、(2011·江西高考)已过抛线＝pxp>0)的焦点斜为2的线抛线于xy)，(x，)(x<)两点，且|AB|＝112212求该抛物线方程；坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋，求λ的值．例湖南高)分已知平面内一动点到点距与点到y的距离的差等于求动点轨迹C方程过点作两斜率存在且互相垂的直线，l与轨迹相交121于点，l轨迹C交于点，求218/用精文档

EB

的最小值例、已知点M(1，)在抛物线C2

＝2px(p>0)上，M到抛物1点的距离为2，直线l＝－x＋b与抛物线C点2求抛物线的方若以AB直径的圆与x相切，求该圆的方程用例图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准是x＝－1.由抛物线的定义知到直线x＝－1距离于焦点F距离．于是，问题转化为：在曲线上求一，使到点A－1,1)的距与点到(1,0)的距离之和最小显然，连结AF交线点，则求19/用精文档11小值为|AF|，即为图自点作垂直线于抛物线于点|1|＝|PF|.则|PB|＋|≥B＋|1|＝|＝即|PB|＋|的最小值为例析心到抛物线准线的离为即4据已|FM|>4即可．根据物线|FM＝y0＋2由＋2>4，解得，故取值范围∞)．质例点x中>0.点作抛物线的准线的垂线，垂足为111.则有|＝FB，因此|CB|＝|，cos∠111|BB|1ππCBB＝＝直线与的夹角为|AK|1|BC|2133π1＋此＝4sin23，的面积等于＝12132124×23＝43.例分别过点B作BB垂直于且垂足分别为、B，由已知1111条件||＝|得BC|＝2||∴∠＝30°，|AA|＝|AF|＝，111|AC＝2||＝6∴|CF|＝|－|AF|＝6－3＝3∴F为的中113点．故点到准线的距离为＝|＝抛物线的方程为3.21例(1)线方程是2x－)与2联立从而有225p－5＋2＝所x＋x＝义得|AB|＝＝9，12412所以p＝，从而物线方程是＝x.由4,4x2－5＋2＝0可简化为x＋＝0，从而x1＝4，12＝－22＝42，从而A(1，－22)，(4,42)；1220/用精文档OC当1ADOC当1AD设2)(4,42)＝(41,42λ－．33又＝x即2(21)]2＝8(4＋．33(2λ－1)＝4λ得λ＝或2.例、动点坐标(y)，由有y2－||＝化简得＝2x＋2||.当0，2＝x；当，＝0.所以，动点的迹的程为＝4xx0)和＝x<0)．题意知，直线的斜率存在且不为，设为，则方程为＝x1kx－．，得－2＋x＋＝分)设，B(，y)，则，x是上述方程的两个实，于是1122121242＋1.(8分)k2121因为，以的斜率－12

设，)，(x，，则同3344理可得＋＝2＋4k2，x＝1.3434(x1)(x＋1)＋＋1)·1)124＝＋＋＋x＋＋＋1(11分)12123434411＝1＋(2＋1＋(2＋k2)184(k2＋2k2·＝k22k216.且当即时，·最小值16.k2例物线2px>0)的线为＝－物线定义和已知2件可知21/用精文档1111|MF＝1－(－＋解得2,故所求抛物线方程为224xy＝－，联立2消去化简整理得＋8y－b＝依题意应有Δ＝32b>0，得－设A(x，y，B(x)，则1122＋－y＝－b设圆心(x)则应用＝＝1212000202＝4.因为以AB直径的圆与x轴切，所以圆半径为|y|＝4.0|AB＝2＋2＝y－＝12212y＋2－yy]＝32b12128所以|＝r＝64＋32＝8，解得＝－5所以＋＝2b－22b－＝b＋16＝，12125圆心坐标(4)故所圆的方程为x－4)＝16.5522/用精文档练习题1已知抛物线ay焦点恰好为曲线2＝上焦点，则等于A．1B．4C．8D．2抛物线－x2上一点到焦点的离为点的坐标是()A－

B－

7C.

3．(2011·辽宁高考已知拋物线x焦点，，B是该物线上的两，|AF|＋|BF|＝3则线段AB中点到轴的离为3A.4

5B．C.4

744已知抛物线2以过焦点的弦为直径的圆与抛物准线的位置关系是)A相离C．相切D不确定．(2012·宜宾检测已知为抛物线＝8的焦点，过F且斜率为的线抛物线于、点则－的等于()A．42B．．D．在y＝x上有一点它到(1,3)的距与它到焦点的距离之和最小，则

点

的

坐

标

是()A．(－2,1)B．(1,2)C．(2,1)D．－7．抛物线＝x的焦点为准为为抛物线上一点PA⊥，A为垂足．果直线的率为－PF|＝)A．4B．8C83D．23/用精文档8．(2011·陕西高考)设物线的顶点在点，准线方程为＝－2，则抛物线方程A．2＝－8

B2＝8x

()C．y＝－4

D．y2＝4．永州)以抛物线x＝16的点为圆心，且与抛物线的线相切的圆方程为________．．已知抛物线的顶点在点，对称轴为y轴抛物线上一点(－3，)到点距是则抛物线的程_______．．已知抛线y直线2＋＝0交于A、点，抛物线的焦点，那么|FA|＋|

FB

|．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于(1，y1)，(22)两点，若x2＝6，那么|AB等于________．根据下列件求抛物线的标准方程：物线的焦点是双曲线16x2点P(2，－4)．

－9y2＝144的左顶点；．知(－1,0)，－1)抛