素养培优课2　向心力的应用与计算

素养培优课练习(二)向心力的应用与计算(教师用书独具)(建议用时：25分钟)1．如图所示，两根长度不同的细绳，一端固定于O点，另一端各系一个相同的小球，两小球恰好在同一水平面内做匀速圆周运动，则()A．A球受细绳的拉力较大B．它们做圆周运动的角速度不相等C．它们所需的向心力跟轨道半径成反比D．它们做圆周运动的线速度大小相等A[设细绳与竖直方向之间的夹角为θ，对小球进行受力分析，在竖直方向上的合力等于零，有mg＝Fcosθ，解得F＝eq\f(mg,cosθ)，可知A球受细绳的拉力较大，A正确；在水平方向上的合力提供向心力，有mgtanθ＝mω2lsinθ，两球距O点的竖直高度相同，即lcosθ相同，则ω相等，B错误；线速度v＝ωlsinθ，角速度相等，运动半径lsinθ不同，则线速度不相等，D错误；小球做匀速圆周运动所需的向心力等于合力，即F向＝mgtanθ＝mgeq\f(r,h)＝mgeq\f(r,lcosθ)，则F向与r成正比，C错误。]2．如图所示，两个用相同材料制成的靠摩擦传动的轮A和B水平放置，两轮半径RA＝2RB，当主动轮A匀速转动时，在A轮边缘上放置的小木块恰能相对静止在A轮边缘上，若将小木块放在B轮上，欲使小木块相对B轮也静止，则小木块距B轮转轴的最大距离为()A．eq\f(RB,2)B．eq\f(RB,4)C．eq\f(RB,3)D．RBA[A和B两轮用相同材料制成且靠摩擦传动，边缘线速度相等，则ωARA＝ωBRB，而RA＝2RB，所以eq\f(ωA,ωB)＝eq\f(1,2)。对于在A轮边缘的小木块，最大静摩擦力恰好提供向心力，即mωeq\o\al(2,A)RA＝fmax，当在B轮上恰要滑动时，设此时半径为R，则mωeq\o\al(2,B)R＝fmax，解得R＝eq\f(RA,4)＝eq\f(RB,2)，选项A正确。]3．如图所示，“旋转秋千”中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上。不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是()A．A的线速度比B的大B．A与B的向心力大小相等C．悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等D．悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小D[当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，A与B的角速度相等，A的运动半径比B的小，由v＝ωr得，A的线速度比B的小，A错误；由Fn＝mω2r得，A的向心力比B的小，B错误；设缆绳与竖直方向的夹角为θ，座椅受重力mg和拉力FT的作用，其合力提供向心力，有mgtanθ＝mω2r，得tanθ＝eq\f(ω2r,g)，由于ωA＝ωB，rA＜rB，故悬挂A的缆绳与竖直方向的夹角比B的小，C错误；拉力FT＝eq\f(mg,cosθ)，由于θA＜θB，故FTA＜FTB，由牛顿第三定律知悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小，D正确。]4．如图所示，长为L的轻杆，一端固定一个质量为m的小球，另一端固定在水平转轴O上，杆随转轴O在竖直平面内匀速转动，角速度为ω，某时刻杆对球的作用力恰好与杆垂直，则此时杆与水平面的夹角θ是(重力加速度为g)()A．sinθ＝eq\f(ω2L,g) B．tanθ＝eq\f(ω2L,g)C．sinθ＝eq\f(g,ω2L) D．tanθ＝eq\f(g,ω2L)A[小球所受重力和轻杆的作用力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律有mgsinθ＝mLω2，解得sinθ＝eq\f(ω2L,g)，故A正确，B、C、D错误。]5．(多选)如图所示，一根细线下端拴一个金属小球P，细线的上端固定在金属块Q上，Q放在带小孔的水平桌面上，小球在某一水平面内做匀速圆周运动(即圆锥摆)。现使小球在一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动(图上未画出)，两次金属块Q都保持在桌面上静止，则后一种情况与原来相比较，下列说法正确的是()A．小球P运动的周期变大B．小球P运动的线速度变大C．小球P运动的角速度变小D．Q受到桌面的支持力不变BD[设细线与竖直方向的夹角为θ，细线的长度为L。球P做匀速圆周运动时，由重力和细线的拉力的合力提供向心力，则有mgtanθ＝mω2Lsinθ，得角速度ω＝eq\r(\f(g,Lcosθ))，周期T＝eq\f(2π,ω)＝2πeq\r(\f(Lcosθ,g))，线速度v＝rω＝Lsinθ·eq\r(\f(g,Lcosθ))＝eq\r(gLtanθsinθ)，小球改到一个更高一些的水平面上做匀速圆周运运动时，θ增大，cosθ减小，角速度增大，周期T减小，线速度变大，选项B正确，A、C错误；金属块Q保持在桌面上静止，对金属块和小球研究，在竖直方向没有加速度，根据平衡条件可知，Q受到桌面的支持力等于Q与小球的总重力，保持不变，选项D正确。]6．如图所示，竖直固定的圆锥形漏斗内壁是光滑的，内壁上有两个质量相等的小球A和B，在各自不同的水平面内做匀速圆周运动。以下关于A、B两球做圆周运动时的线速度大小(vA、vB)、角速度(ωA、ωB)、向心力大小(FA、FB)和对内壁的压力大小(FNA、FNB)的说法正确的是()A．vA＞vB B．ωA＞ωBC．FA＞FB D．FNA＞FNBA[小球受重力和支持力，二力的合力提供其做圆周运动的向心力，如图所示，由于两个小球的质量相同，并且都是在水平面内做匀速圆周运动，所以两个小球的受力情况相同，它们的向心力大小相等，受到的支持力大小也相等，则根据牛顿第三定律可知，它们对内壁的压力大小也相等，即FA＝FB，FNA＝FNB，C、D错误；由于它们的向心力的大小相等，由向心力的公式Fn＝meq\f(v2,r)可知，运动半径大的小球线速度大，所以vA＞vB，A正确；由向心力的公式Fn＝mω2r可知，运动半径大的小球角速度小，所以ωA＜ωB，B错误。]7．(多选)如图所示，质量为m的小球用长为L的细线悬挂在O点，在O点的正下方L/2处有一个钉子，把小球拉到水平位置由静止释放。当细线摆到竖直位置碰到钉子时，下列说法正确的是()A．小球的线速度大小保持不变B．小球的角速度突然增大为原来的2倍C．细线的拉力突然变为原来的2倍D．细线的拉力一定大于重力ABD[细线碰到钉子的前后瞬间，由于重力方向与拉力方向都与速度方向垂直，所以小球的线速度大小不变，根据ω＝eq\f(v,r)，半径变为一半，可知角速度变为原来的2倍，选项A、B正确；根据牛顿第二定律得，F－mg＝meq\f(v2,r)，则F＝mg＋meq\f(v2,r)，可知细线的拉力增大，但不是原来的2倍，故D正确，C错误。]8．如图所示，长均为L的两根轻绳，一端共同系住质量为m的小球，另一端分别固定在等高的A、B两点，A、B两点间的距离也为L。重力加速度大小为g。现使小球在竖直平面内以AB为轴做圆周运动，若小球在最高点速率为v时，两根绳的拉力恰好均为零，则小球在最高点速率为2v时，每根绳的拉力大小为()A．eq\r(3)mgB．eq\f(4,3)eq\r(3)mgC．3mgD．2eq\r(3)mgA[设小球在竖直面内做圆周运动的半径为r，小球运动到最高点时轻绳与圆周运动轨道平面的夹角为θ＝30°，则有r＝Lcosθ＝eq\f(\r(3),2)L。根据题述小球在最高点速率为v时，两根绳的拉力恰好均为零，有mg＝meq\f(v2,r)；小球在最高点速率为2v时，设每根绳的拉力大小为F，则有2Fcosθ＋mg＝meq\f(2v2,r)，联立解得F＝eq\r(3)mg，选项A正确。]9．如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止。物体与盘面间的动摩擦因数为eq\f(\r(3),2)(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为30°，g取10m/s2。则ω的最大值是()A．eq\r(5)rad/s B．eq\r(3)rad/sC．rad/s D．rad/sC[物体随圆盘做圆周运动，分析可知当物体运动到最低点时最可能出现相对滑动，因此物体在圆盘最低点刚好要滑动时对应的圆盘角速度最大，对物体进行受力分析，由向心力公式有μmgcos30°－mgsin30°＝mωeq\o\al(2,m)r，代入数据解得ωm＝rad/s，C正确。](建议用时：15分钟)10．如图甲所示，A、B为钉在光滑水平面上的两根铁钉，小球C用细绳拴在铁钉B上(细绳能承受足够大的拉力)，A、B、C在同一直线上。t＝0时，给小球一个垂直于绳的速度，使小球绕着两根铁钉在水平面上做圆周运动。在0≤t≤10s时间内，细绳的拉力随时间变化的规律如图乙所示，则下列说法正确的有()甲乙A．小球的速率越来越大B．细绳第三次到第四次撞击钉子经历的时间是4sC．在t＝s时，细绳的拉力为ND．细绳每撞击一次钉子，小球运动的半径减小绳长的eq\f(1,3)C[小球在水平方向只受垂直于速度方向的细绳的拉力作用，小球速度大小不变，故A错误；0～6s内细绳的拉力不变，则有F1＝meq\f(v2,l)，6～10s内拉力大小不变，则有F2＝meq\f(v2,l′)，因为F2＝eq\f(6,5)F1，则l′＝eq\f(5,6)l，两钉子之间的间距Δl＝l－eq\f(5,6)l＝eq\f(1,6)l，第一个半圈经历的时间为6s，则eq\f(πl,v)＝6s，则第二个半圈的时间eq\f(πl′,v)＝5s，细绳每跟钉子碰撞一次，转动半圈的时间减少1s，则细绳第三次碰钉子到第四次碰钉子的时间间隔Δt＝6s－3×1s＝3s，根据上述分析可知，11～15s内，小球在转第三个半圈，则细绳的拉力为F3＝meq\f(v2,l－2×\f(1,6)l)＝eq\f(3,2)·meq\f(v2,l)＝eq\f(3,2)F1＝N，故B、D错误，C正确。]11．如图所示，有一质量为M的大圆环，半径为R，被一轻杆固定后悬挂在O点，有两个质量均为m的小环(可视为质点)，同时从大环两侧的对称位置由静止滑下。当两小环同时滑到大圆环底部时，速度大小都为v，重力加速度为g，则此时大环对轻杆的拉力大小为()A．(2m＋2M)g B．Mg－eq\f(2mv2,R)C．2meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(g＋\f(v2,R)))＋Mg D．2meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(v2,R)－g))＋MgC[当两小环滑到大圆环底部时，设小环受到的大圆环的支持力为FN，对小环，由向心力定义及公式有FN－mg＝meq\f(v2,R)；对大圆环受力分析可知，其受重力Mg、小环的压力F′N和轻杆的拉力F，由平衡条件得F＝Mg＋2F′N，由牛顿第三定律得FN＝F′N，联立以上各式解得，轻杆对大环的拉力大小F＝2meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(g＋\f(v2,R)))＋Mg，由牛顿第三定律知，大环对轻杆的拉力大小为2meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(g＋\f(v2,R)))＋Mg，C正确。]12．有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图所示。长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘。转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动。当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转动轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ。不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系。[解析]对座椅受力分析，如图所示。转盘转动的角速度为ω时，钢绳与竖直方向的夹角为θ，则座椅到转轴的距离即座椅做圆周运动的半径R＝r＋Lsinθ，根据牛顿第二定律得mgtanθ＝mω2R，解得ω＝eq\r(\f(gtanθ,r＋Lsinθ))。[答案]ω＝eq\r(\f(gtanθ,r＋Lsinθ))13．小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动。当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离d后落地，如图所示。已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为eq\f(3,4)d，重力加速度为g，忽略手的运动半径和空气阻力。(1)求绳断时球的速度大小v1和球落地时的速度大小v2；(2)求绳能承受的最大拉力；(3)改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应是多少？最大水平距离为多少？[解析](1)设绳断后球飞行时间为t，由平抛运动规律得竖直力向eq\f(1,4)d＝eq\f(1,2)gt2 ①水平方向d＝v1t ②联立①②解得v1＝eq\r(2gd) ③在竖直方向上有vy＝gt＝eq\f(\r(2gd),2) ④则v2＝eq\r(v\o\al(2,1)＋v\o\al(2,y)) ⑤联立③④⑤解得v2＝eq\f(\r(10gd),2)。(2)设绳能承受的最大拉力大小为FT，这也是球受到绳的最大拉力大小。球做圆周运动的半径为R＝eq\f(3,4)d，小球在最低点时，由牛顿第二定律得：FT－mg＝eq\f(mv\o\al(2,1),R)，解得FT＝eq\f(11,3)mg；(3)设绳长为l，绳断时球的速度大小为v3，绳承受的最大拉力不变。