多面体欧拉定理

多面体欧拉定理第一页，共十八页，2022年，8月28日1、多面体的概念：

一、复习由若干个多边形围成的空间图形叫多面体；每个多边形叫多面体的面，两个面的公共边叫多面体的棱，棱和棱的公共点叫多面体的顶点，连结不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线．

2、凸多面体：

把多面体的任一个面展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫凸多面体．

3、凸多面体的分类：

多面体至少有四个面，按照它的面数分别叫四面体、五面体、六面体等

第二页，共十八页，2022年，8月28日欧拉生平事迹简说：欧拉(Euler)，瑞士数学家及自然科学家1707年4月15日出生于瑞士巴塞尔的一个牧师家庭，自幼受父亲的教育，13岁入读巴塞尔大学15岁大学毕业，16岁获硕士学位，

欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域此外，他是数学史上最多产的数学家，写了大量的力学、分析学、几何学、变分法的课本，《无穷小分析引论》（1748），《微分学原理》（1755），以及《积分学原理》（1768-1770）都成为数学中的经典著作。1771年，一场重病使他的左眼亦完全失明但他以其惊人的记忆力和心算技巧继续从事科学创作他通过与助手们的讨论以及直接口授等方式完成了大量的科学著作，直至生命的最后一刻。1783年9月18日于俄国彼得堡去逝。第三页，共十八页，2022年，8月28日

考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面如图：象这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体

二、讲解新课：

1、简单多面体：第四页，共十八页，2022年，8月28日

第五页，共十八页，2022年，8月28日棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是

简单多面体

推广：简单多面体是否就是凸多面体？第六页，共十八页，2022年，8月28日第七页，共十八页，2022年，8月28日正多面体顶点数面数棱数正四面体446正六面体8612正八面体6812正十二面体201230正二十面体1220302．五种正多面体的顶点数、面数及棱数：

发现：它们的顶点数、面数及棱数有共同的关系式：V+F-E=2(V)(F)(E)第八页，共十八页，2022年，8月28日欧拉定理：简单多面体的顶点数、面数及棱数有关系式：

V+F-E=2第九页，共十八页，2022年，8月28日证明：以四面体为例来说明：

将它的一个面去掉，并使其变为平面图形，四面体的顶点数、棱数与剩下的面数变形后都没有变因此，要研究、和的关系，只要去掉一个面，将它变形为平面图形即可

第十页，共十八页，2022年，8月28日BCDABCDABCDABCDA第十一页，共十八页，2022年，8月28日BCDABAV+F1-E=1V+F-E=2注：对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。公式对任意简单多面体都是正确的。

第十二页，共十八页，2022年，8月28日练习：1、一个n面体共有8条棱，5个顶点，则n=_______.2、一个正n面体共有8个顶点，每个顶点处共有三条棱，则n=_______.56第十三页，共十八页，2022年，8月28日在欧拉公式中令f(p)=V＋F－E叫欧拉示性数

欧拉示性数：说明：简单多面体的欧拉示性数f(p)=2．

第十四页，共十八页，2022年，8月28日第十五页，共十八页，2022年，8月28日请查出下面各多面体的顶点数V、面数F、和棱数E，并计算欧拉示性数f(p)=V＋F－E＝？第十六页，共十八页，2022年，8月28日例1由欧拉定理证明：正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种。应用：第十七页，共十八页，2022年，8月28日例2．欧拉定理在研究化学分子结构中的应用：1996年诺贝尔化学奖授予对发现有重大贡献的三位科学家是由60个原子构成