复变函数课案积分变换第讲

复变函数课案积分变换第讲1第一页，共一百一十二页，2022年，8月28日§1Fourier积分公式1.1Recall:

在工程计算中,无论是电学还是力学,经常要和随时间而变的周期函数fT(t)打交道.例如:具有性质fT(t+T)=fT(t),其中T称作周期,而1/T代表单位时间振动的次数,单位时间通常取秒,即每秒重复多少次,单位是赫兹(Herz,或Hz).t2第二页，共一百一十二页，2022年，8月28日最常用的一种周期函数是三角函数。人们发现,所有的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的线性组合来逼近.----Fourier级数方波4个正弦波的逼近100个正弦波的逼近3第三页，共一百一十二页，2022年，8月28日研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期内的情况即可,通常研究在闭区间[-T/2,T/2]内函数变化的情况.4第四页，共一百一十二页，2022年，8月28日引进复数形式：5第五页，共一百一十二页，2022年，8月28日6第六页，共一百一十二页，2022年，8月28日7第七页，共一百一十二页，2022年，8月28日对任何一个非周期函数f(t)都可以看成是由某个周期函数fT(t)当T时转化而来的.

作周期为T的函数fT(t),使其在[-T/2,T/2]之内等于f(t),在[-T/2,T/2]之外按周期T延拓到整个数轴上,则T越大,fT(t)与f(t)相等的范围也越大,这就说明当T时,周期函数fT(t)便可转化为f(t),即有8第八页，共一百一十二页，2022年，8月28日例矩形脉冲函数为如图所示:1-1otf(t)19第九页，共一百一十二页，2022年，8月28日现以f(t)为基础构造一周期为T的周期函数fT(t),令T=4,则1-13T=4f4(t)t10第十页，共一百一十二页，2022年，8月28日则11第十一页，共一百一十二页，2022年，8月28日sinc函数介绍sinc(x)x12第十二页，共一百一十二页，2022年，8月28日前面计算出w13第十三页，共一百一十二页，2022年，8月28日现在将周期扩大一倍,令T=8,以f(t)为基础构造一周期为8的周期函数f8(t)1-17T=8f8(t)t14第十四页，共一百一十二页，2022年，8月28日则15第十五页，共一百一十二页，2022年，8月28日则在T=8时,w16第十六页，共一百一十二页，2022年，8月28日如果再将周期增加一倍,令T=16,可计算出w17第十七页，共一百一十二页，2022年，8月28日一般地,对于周期T18第十八页，共一百一十二页，2022年，8月28日当周期T越来越大时,各个频率的正弦波的频率间隔越来越小,而它们的强度在各个频率的轮廓则总是sinc函数的形状,因此,如果将方波函数f(t)看作是周期无穷大的周期函数,则它也可以看作是由无穷多个无穷小的正弦波构成,将那个频率上的轮廓即sinc函数的形状看作是方波函数f(t)的各个频率成份上的分布,称作方波函数f(t)的傅里叶变换.19第十九页，共一百一十二页，2022年，8月28日1.2

Fourier积分公式与Fourier积分存在定理20第二十页，共一百一十二页，2022年，8月28日{O

w1

w2

w3

wn-1wn{w21第二十一页，共一百一十二页，2022年，8月28日22第二十二页，共一百一十二页，2022年，8月28日23第二十三页，共一百一十二页，2022年，8月28日也可以转化为三角形式24第二十四页，共一百一十二页，2022年，8月28日又考虑到积分25第二十五页，共一百一十二页，2022年，8月28日§2Fourier变换2.1Fourier变换的定义26第二十六页，共一百一十二页，2022年，8月28日Fourier积分存在定理的条件是Fourier变换存在的一种充分条件.27第二十七页，共一百一十二页，2022年，8月28日在频谱分析中,傅氏变换F(w)又称为f(t)的频谱函数,而它的模|F(w)|称为f(t)的振幅频谱(亦简称为频谱).由于w是连续变化的,我们称之为连续频谱,对一个时间函数f(t)作傅氏变换,就是求这个时间函数f(t)的频谱.28第二十八页，共一百一十二页，2022年，8月28日例1求矩形脉冲函数的付氏变换及其积分表达式。29第二十九页，共一百一十二页，2022年，8月28日30第三十页，共一百一十二页，2022年，8月28日tf(t)31第三十一页，共一百一十二页，2022年，8月28日2.2单位脉冲函数及其傅氏变换在物理和工程技术中,常常会碰到单位脉冲函数.因为有许多物理现象具有脉冲性质,如在电学中,要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电流;在力学中,要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等.研究此类问题就会产生我们要介绍的单位脉冲函数.32第三十二页，共一百一十二页，2022年，8月28日在原来电流为零的电路中,某一瞬时(设为t=0)进入一单位电量的脉冲,现在要确定电路上的电流i(t).以q(t)表示上述电路中的电荷函数,则当t0时,i(t)=0,由于q(t)是不连续的,从而在普通导数意义下,q(t)在这一点是不能求导数的.33第三十三页，共一百一十二页，2022年，8月28日如果我们形式地计算这个导数,则得这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够表示这样的电流强度.为了确定这样的电流强度,引进一称为狄拉克(Dirac)的函数,简单记成d-函数:有了这种函数,对于许多集中于一点或一瞬时的量,例如点电荷,点热源,集中于一点的质量及脉冲技术中的非常窄的脉冲等,就能够象处理连续分布的量那样,以统一的方式加以解决.34第三十四页，共一百一十二页，2022年，8月28日de(t)1/eeO（在极限与积分可交换意义下）工程上将d-函数称为单位脉冲函数。35第三十五页，共一百一十二页，2022年，8月28日可将d-函数用一个长度等于1的有向线段表示,这个线段的长度表示d-函数的积分值,称为d-函数的强度.tOd(t)1d-函数有性质：可见d-函数和任何连续函数的乘积在实轴上的积分都有明确意义。36第三十六页，共一百一十二页，2022年，8月28日d-函数的傅氏变换为:于是d(t)与常数1构成了一傅氏变换对.证法2：若F(w)=2pd(w),由傅氏逆变换可得例1证明：1和2pd(w)构成傅氏变换对.证法1：37第三十七页，共一百一十二页，2022年，8月28日由上面两个函数的变换可得38第三十八页，共一百一十二页，2022年，8月28日例如常数,符号函数,单位阶跃函数以及正,余弦函数等,然而它们的广义傅氏变换也是存在的,利用单位脉冲函数及其傅氏变换就可以求出它们的傅氏变换.所谓广义是相对于古典意义而言的,在广义意义下,同样可以说,原象函数f(t)和象函数F(w)构成一个傅氏变换对.在物理学和工程技术中,有许多重要函数不满足傅氏积分定理中的绝对可积条件,即不满足条件39第三十九页，共一百一十二页，2022年，8月28日例4求正弦函数f(t)=sinw0t的傅氏变换。tpp-w0w0Ow|F(w)|40第四十页，共一百一十二页，2022年，8月28日例5证明：证：41第四十一页，共一百一十二页，2022年，8月28日42第四十二页，共一百一十二页，2022年，8月28日§3Fourier变换与逆变换的性质

这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质,为了叙述方便起见,假定在这些性质中,凡是需要求傅氏变换的函数都满足傅氏积分定理中的条件,在证明这些性质时,不再重述这些条件.1.线性性质:43第四十三页，共一百一十二页，2022年，8月28日2.位移性质:证明：

返回44第四十四页，共一百一十二页，2022年，8月28日3.相似性：证明：45第四十五页，共一百一十二页，2022年，8月28日例1计算。

方法1：（先用相似性，再用平移性）46第四十六页，共一百一十二页，2022年，8月28日方法2：（先用平移性，再用相似性）47第四十七页，共一百一十二页，2022年，8月28日4.微分性：

48第四十八页，共一百一十二页，2022年，8月28日5.积分性：

6.帕塞瓦尔(Parserval)等式49第四十九页，共一百一十二页，2022年，8月28日实际上,只要记住下面五个傅里叶变换,则所有的傅里叶变换都无须用公式直接计算而可由傅里叶变换的性质导出.50第五十页，共一百一十二页，2022年，8月28日例2利用傅氏变换的性质求d(t-t0),性质性质51第五十一页，共一百一十二页，2022年，8月28日例3若f(t)=cosw0t

u(t),求其傅氏变换。52第五十二页，共一百一十二页，2022年，8月28日7.卷积与卷积定理卷积定义：卷积的简单性质：53第五十三页，共一百一十二页，2022年，8月28日例1求下列函数的卷积：由卷积的定义有54第五十四页，共一百一十二页，2022年，8月28日卷积定理：55第五十五页，共一百一十二页，2022年，8月28日例2求的傅氏变换。性质56第五十六页，共一百一十二页，2022年，8月28日利用卷积公式来证明积分公式：证明：57第五十七页，共一百一十二页，2022年，8月28日§1.5Fourier变换的应用＊微分、积分方程的Fourier变换解法＊根据Fourier变换的线性性质、微分性质和积分性质，对欲求解的方程两端取Fourier变换，将其转换为象函数的代数方程，由这个代数方程求出象函数，然后再取Fourier逆变换就得到原方程的解。58第五十八页，共一百一十二页，2022年，8月28日例１、求积分方程的解，其中

59第五十九页，共一百一十二页，2022年，8月28日例２、求解积分方程其中为已知函数，且和的Fourier变换都存在。60第六十页，共一百一十二页，2022年，8月28日例３、求常系数非齐次线性微分方程的解，其中为已知函数。61第六十一页，共一百一十二页，2022年，8月28日例４、求微分积分方程的解，其中均为常数。62第六十二页，共一百一十二页，2022年，8月28日第二章Laplace变换Fourier变换的两个限制：63第六十三页，共一百一十二页，2022年，8月28日§1Laplace变换的概念

64第六十四页，共一百一十二页，2022年，8月28日tf(t)Otf(t)u(t)e-btO65第六十五页，共一百一十二页，2022年，8月28日1.定义：66第六十六页，共一百一十二页，2022年，8月28日例1求单位阶跃函数根据拉氏变换的定义,有这个积分在Re(s)>0时收敛,而且有67第六十七页，共一百一十二页，2022年，8月28日例2求指数函数f(t)=ekt的拉氏变换(k为实数).这个积分在Re(s)>k时收敛,而且有其实k为复数时上式也成立,只是收敛区间为Re(s)>Re(k)根据拉氏变换的定义,有68第六十八页，共一百一十二页，2022年，8月28日2.拉氏变换的存在定理若函数f(t)满足:

(1)在t0的任一有限区间上分段连续;

(2)当t时,f(t)的增长速度不超过某一指数函数,即存在常数M>0及c0,使得

|f(t)|Mect,0t<

则f(t)的拉氏变换在半平面Re(s)>c上一定存在,并且在Re(s)>c的半平面内,F(s)为解析函数.69第六十九页，共一百一十二页，2022年，8月28日MMectf(t)tO70第七十页，共一百一十二页，2022年，8月28日说明：由条件2可知,对于任何t值(0t<),有

|f(t)est|=|f(t)|e-btMe-(b-c)t,Re(s)=b,

若令b-ce>0(即bc+e=c1>c),则

|f(t)e-st|Me-et.所以注1:大部分常用函数的Laplace变换都存在(常义下);注2：存在定理的条件是充分但非必要条件.

71第七十一页，共一百一十二页，2022年，8月28日§2Laplace变换的性质与计算

本讲介绍拉氏变换的几个性质,它们在拉氏变换的实际应用中都是很有用的.为方便起见,假定在这些性质中,凡是要求拉氏变换的函数都满足拉氏变换存在定理中的条件,并且把这些函数的增长指数都统一地取为c.在证明性质时不再重述这些条件.72第七十二页，共一百一十二页，2022年，8月28日例3求f(t)=sinkt(k为实数)的拉氏变换同理可得73第七十三页，共一百一十二页，2022年，8月28日2.微分性质:此性质可以使我们有可能将f(t)的微分方程转化为F(s)的代数方程.特别当时，有74第七十四页，共一百一十二页，2022年，8月28日例4求的拉氏变换（m为正整数）。75第七十五页，共一百一十二页，2022年，8月28日象函数的微分性质:例5求(k为实数)的拉氏变换.76第七十六页，共一百一十二页，2022年，8月28日3.积分性质:例6求的拉氏变换.77第七十七页，共一百一十二页，2022年，8月28日象函数积分性质:则78第七十八页，共一百一十二页，2022年，8月28日例7求函数的拉氏变换.79第七十九页，共一百一十二页，2022年，8月28日函数f(t-t)与f(t)相比,f(t)从t=0开始有非零数值.而f(t-t)是从t=t开始才有非零数值.即延迟了一个时间t.从它的图象讲,f(t-t)是由f(t)沿t轴向右平移t而得,其拉氏变换也多一个因子e-st.Ottf(t)f(t-t)80第八十页，共一百一十二页，2022年，8月28日例8求函数的拉氏变换.1u(t-t)ttO81第八十一页，共一百一十二页，2022年，8月28日例9求的拉氏变换.82第八十二页，共一百一十二页，2022年，8月28日§3Laplace逆变换

前面主要讨论了由已知函数f(t)求它的象数F(s),但在实际应用中常会碰到与此相反的问题,即已知象函数F(s)求它的象原函数f(t).本节就来解决这个问题.由拉氏变换的概念可知,函数f(t)的拉氏变换,实际上就是f(t)u(t)e-bt的傅氏变换.83第八十三页，共一百一十二页，2022年，8月28日因此,按傅氏积分公式,在f(t)的连续点就有等式两边同乘以ebt,则84第八十四页，共一百一十二页，2022年，8月28日积分路线中的实部b有一些随意,但必须满足的条件就是e-btf(t)u(t)的0到正无穷的积分必须收敛.计算复变函数的积分通常比较困难,但是可以用留数方法计算.右端的积分称为拉氏反演积分.85第八十五页，共一百一十二页，2022年，8月28日RO实轴虚轴LCRb+jRb-jR为奇点b解析86第八十六页，共一百一十二页，2022年，8月28日87第八十七页，共一百一十二页，2022年，8月28日88第八十八页，共一百一十二页，2022年，8月28日§4卷积

1.卷积的概念：两个函数的卷积是指如果f1(t)与f2(t)都满足条件:当t<0时,f1(t)=f2(t)=0,则上式可以写成：89第八十九页，共一百一十二页，2022年，8月28日90第九十页，共一百一十二页，2022年，8月28日卷积定理：注：卷积公式可用来计算逆变换或卷积.91第九十一页，共一百一十二页，2022年，8月28日例292第九十二页，共一百一十二页，2022年，8月28日例393第九十三页，共一百一十二页，2022年，8月28日§5Laplace变换的应用

对一个系统进行分析和研究,首先要知道该系统的数学模型,也就是要建立该系统特性的数学表达式.所谓线性系统,在许多场合,它的数学模型可以用一个线性微分方程来描述,或者说是满足叠加原理的一类系统.这一类系统无论是在电路理论还是在自动控制理论的研究中,都占有很重要的地位.本节将应用拉氏变换来解线性微分方程.94第九十四页，共一百一十二页，2022年，8月28日微分方程的拉氏变换解法

首先取拉氏变换将微分方程化为象函数的代数方程,解代数方程求出象函数,再取逆变换得最后的解.如下图所示.象原函数(微分方程的解)象函数微分方程象函数的代数方程取拉氏逆变换取拉氏变换