数学必修3精讲精练

目录

如何学好数学.......................................................2

第一章算法初步（精讲）............................................3

第一章算法初步（精练）............................................7

第一章算法初步（精练）答案.........................................11

第二章统计（精讲）.................................................14

第二章统计（精练）.................................................18

第二章统计（精练）答案................................................22

第三章概率精讲.....................................................25

第三章概率（精练）答案................................................35

2008-2009学年普通高中新课程模块结业考试试题（卷）................39

2008~2009学年普通高中新课程模块结业考试试题（卷）答案............44

2009-2010学年普通高中新课程模块结业考试试题（卷）................46

2009-2010学年普通高中新课程模块结业考试试题（卷）答案............51

2010-2011学年普通高中新课程模块结业考试试题（卷）................53

2010-2011学年普通高中新课程模块结'业考试试题（卷）答案............59

不管你想做什么事，不管你想学啥,只要你有决心，就一定能做得到，学得会.

我觉得学习要有四心：专心、恒心、开心、放心。“专心”是指聚精会神、一心一意、不

打折扣；“恒心”是指百折不挠，坚持不懈，义无反顾。至于“开心”就是往好的方面想，所

谓的“放心”是你要明白无论什么时候开始努力都不算晚。

应试技巧口诀

见了难题不必慌，要知咱难他更难，愈难愈喜欢，喜欢出灵感；见了易题不大意，要知

咱易，他更易，吩•厘不放心，越易心越细。

如何学好数学

一、解题目的

我们在解题时，常常只追求或满足于问题的答案，对于推理、计算的严密性，解法的简

捷性、合理性却不够重视.至于知识的用法，为何能应用此知识，条件与哪些知识有关，条

件有哪些变换形式，条件或条件的变换形式是怎样与目标（结论）联系的，解题的思路是什

么？是否有更简捷合理的解题方法等，若不予考虑，就失去了解题目的.只有明确了解题的

目的，才能更好地提高解决问题的能力.

解数学习题的目的是得出问题的答案，求出答案仅是解题本身的目的.它的根本目的在

于：①加强基本功训练，加深对知识的理解和掌握；②学会运用知识，增强解决问题的

能力；③掌握数学思想方法，培养数学创造思维能力.

明确了解题目的，就不会满足于求得的答案了，而要回顾一下为什么这样解，为什么能

这样解；应用了哪些知识，知识是怎样应用的，还有哪些知识与题目有联系，这些知识能否

将条件和目标沟通起来；推理是否严密，运算是否准确，依据是否充分，题目所涉及的各种

情形是否都能概括.在此基础上，继续考虑：能否找到其它解法，能否找到更简捷合理的解

法，这就是一题多解和最优解法的问题；还要考虑题目的条件不变，是否能够得到其他结论,

或结论不变，是否可以换成其他条件，这就是•题多变的问题，还有，将条件一般化，能否

得到类似的结论？这就是将题目拓宽、推广的问题了……

二、解题程序

解题就是运用自己掌握的知识，寻求、得出习题的答案.它是一项综合过程，需要一步

步的走，不是一下子就进行完的.如果把解题过程理解为从拿到这个题到完全解完这道题，

那么解题过程到底分哪些程序呢？

1、读题.当我们拿到题后，第一件要做的事就是读题，把题目一字不漏地读一遍，弄

清题型，是填空题还是选择题，是计算题还是证明题等.总之，题目应一字不漏地读，弄清

题目要求，明白题意.

2、审题.任何一道数学习题，一般是山已知条件和需求目标两部分组成.因此读题的

直接作用就是要从题目中找出已知条件和需求目标，储入大脑中，这是解题的第二程序——审

题.

3、分析.一般来说，分析包含以下内容：①根据题目所给的条件与要寻求的结论大

致需要哪些知识、概念与数量关系；②对题目的条件、结论进行剖析，通过联想、类比与

变换，确定应用某种知识、概念与数量关系；③综合应用逻辑思维与非逻辑思维的方法，

寻求解题思路.这就是解题的第三道程序——分析.

4、拟定解题计划.通过分析我们找到了解题途径，接着就要考虑怎样解题，先做什么，

后做什么，再做什么，需要分几步做完，整体上要有个计划，这就是解题的第四道程序一拟

定解题计划.

5、实施解题计划.按拟定的计划去进行推理、计算或作图，得出习题的答案，这是解

题的成果.到了这一步，解题的成败就取决于推理的严密性，计算或作图的准确性.解题的

每一步必须有充分的理论依据，前一步是后一步的依据，后一步是前一步的必然结果，保证

每个解题步骤都是严密的、正确的.

6、检验.得出了答案，还应检验是否有疏忽，是否有遗漏或多余的步骤，答案是否正确,

要检查每一步.这是解题的第六程序——检验.

7、解后研究.与题目有联系的知识是否都考虑到了？过去解过的题是否有与此题相似

的，是否可以利用？能否利用不同知识通过不同途径求得问题的解？通过对习题的再认识、

再联想得到不同的解法.通过对比，找到更简捷合理的解题方法.通过多途径、多角度的认

识问题，在加深对问题理解的基础上思考一下，此习题的结论是否可以推广，是否与见过的

习题有联系？从此题的解法中能得到什么启发？借用己解习题的结论或思路顺利地解出原来

不会解的习题，或对原来习题给出更简捷合理的解法.这是第七道程序一一解后研究.

第一章算法初步(精讲)

从数学发展的历史来看，算法的概念古已有之。

比如，在西方数学中很早就有了欧几里得算法，而中国古代数学中蕴涵着更丰富的算法内

容和思想，割圆术、秦九韶算法等等都是很典型的算法。

在这一章中我们将学习算法的概念和程序框图，理解算法的基本结构，基本算法语句，体

会算法的基本思想。

①算法的概念

(1)算法-词源于算术，即算术方法，是一个由已知推求未知的运算过程，后来，人们

把它推广到一般，把进行某一项工作的方法和步骤称为算法。

在数学中，现代意义上的“算法”通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步

骤。这些程序或步骤必须是明确的有效的，而且能够在有限步之内完成。比如解方程的算法、

函数求值的算法，作图的算法，等等。

(2)算法虽然没有一个明确的概念，但其特点还是鲜明的，不仅要注意理解算法的程序

性、有限性、构造性、精确性的特点，还应该充分理解算法的问题指向性，即算法往往指向

解决某一个或某一类问题，泛泛地谈算法是没有意义的，算法一定以问题为载体。

(3)算法可以用自然语言来描述，也可用程序框图直观地表达。

例1任意给定一个大于1的整数n,试设计一个程序或步骤对n是否为质数作出判断。

解：设计出下面的步骤：

第一步：判断n是否等于2.若n=2,则n是质数；若n>2,则执行第二步；

第二步：依次从2到(n-1)检验是不是n的因数，即整除n的数。若有这样的数，则n不是

质数；若没有这样的数，n是质数。

评注：这是一个大于1的整数n是否为质数的最基本算法.

例2用二分法设计一个求方程x2-2=0(x>0)的近似根的算法。

解析：回顾二分法解方程的过程，并假设所求近似根与

准确解的差绝对值不超过0.005.

解:算法如下：

第一步.令/(x)=/一2.因为/(I)<0,”2)>0,所以设

=1,%2=2.

第二步.令加=土产，判断了(⑼是否为o,若是，则血为所求;若否，则继续判断了(为>/(⑼大

于o还是小于0.

第三步.若/(xj•/(/«)〉0,则令玉=加；否则令々=m.

第四步.判断1<0.005是否成立?若是，则和々之间的

任意取值均为满足条件的近似根;若否，则返回第二步.

评注:算法实际上是一种独特的解题过程，与一般的解题过程比较，算法是构造性的,而且必

须在有限步之内完成.在这个过程中，递归性往往又是某些较为复杂的算法的特点，所以算法就

是一种利用有限构造或有限递归构造的方法解决问题的过程.

②程序框图

为了有条理地、清晰地表达算法，往往需要将解决问题的过程整理成程序框图。程序框

图是一种传统的算法表示，它利用几何图形的框来代表各种不同性质的操作，用流程线来指

示算法的执行方向。程序框图是表达算法的最为直观和明确的方式，由于它简单直观，所以

应用广泛。

程序框图又称流程图，是•种用程序框、流程线及文字说明来准确、直观地表示算法的

图形。

标准程序框图一般由终端框、输入、输出框、处理框、判断框、流程线组成。

口£7口。I

终端框输入输出框处理框判断框流程线

终端框又称起止框，分为起止框和终止框，它用一个近似椭圆的符号来表示一个程序的

起始和结束。框内可以写一些适当的文字，起始框有一个出口，终止框有一个入口。

输入、输出框用来表示一个算法输入输出的信息。

处理框又称执行框，它用矩形框来表示一种处理功能的模块（一个步骤或几个步骤）。它

有一个入口和一个出口，其框内可以写入简要的说明。

判断框用来指明判定点，框内指明判断条件，它有一个入口和两个以上的出口，在各出口

处写明条件，成立时标明"是"或"Y"，不成立时标明“否”或“N”。

流程线是带箭头的线段，它用来表示程序执行的顺序和各框之间的关系。

例如：我们打印x的绝对值，可以设计以下的框图。

从图中可以看到由判断框分出两支，构成一个选择性的结构，其中选择的标准是“XNO”,

若符合条件，则按“是”分支继续往下执行；若不符合这个条件，则按照“否”分支继续往

下执行。这样的话，输出的结果总是x的绝对值。

例3设计一个算法，求以贬为半径，2为高的圆链的体积，并画出程序框图。

解：算法步骤：

第一步.令R=VI,h=2.

第二步.计算底面积S=M?2和体积y=_Ls6.

3

第三步.输出锥体体积V.

程序框图如右图：

评注:用程序框图描述算法更加清楚简练，形象直观，流向清楚，而且更容易改写

成程序设计的语言.

通过学习我们知道，算法就是解决问题的步骤，在我们利用计算机解决问题的时候,首先我

们要设计计算机程序，在设计计算机程序时我们首先要画出程序运行的流程图，使整个程序的

执行过程直观化,使抽象的问题变得十分清晰和具体.有了这个流程图，再去设计程序就有了依

据，从而就可以把整个程序用机器语言表达出来，因此程序框图是我们设计程序的基本和开端.

③算法的基本逻辑结构

用程序框图表示算法时，算法的逻辑结构展现得非常清楚.程序框图中包含三种逻辑结构:

顺序结构、条件结构，循环结构。

以下我们分别做一讨论：

(1)顺序结构

顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的，这是任何一个算法都离不开的基

本结构.顺序结构描述的是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按照

从上到下的顺序进行的.

顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而下地连接起来，按

顺序执行算法步骤.如在示意图中,A框、B框、C框是依次执行的，只有在执行完

A框指定的操作后，才能执行B框所指定的操作，然后再执行C框。

例4-个三角形的三边边长分别为2、3、4.画出一个求出它的面积算法的程

序框图.

解析:这是一个简单的问题，利用海伦一秦九韶公式，只要先求出p的值，再将它代入公式,

最后输出结果，只用顺序结构就能表达出算法.画

解：程序框图如右：

评注(I)顺序结构描述的是最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间/^入2,3,4/

是按照从上到下的顺序进行的.

(2)顺序结构的特点:计算机按书写的先后次序，自上而下逐条顺序执行

程序语句，中间没有选择或重复执行的过程.

(3)顺序结构描述的是最简单的算法结构,是按照步骤依次执行的一个

算法，它可以单独出现，也可以出现在条件结构或循环结构的局部.

(2)一些简单的算法可以用顺序结构来表示，但顺序结构无法描述那些

需要进行逻辑判断并根据判断结果进行不同处理的情况.而条件结构就是

以条件的判断为起始点,根据条件是否成立而决定执行哪一个处理步骤的

结构.

其基本的结构形式：

此图结构中包括一个判断框，根据给定的条件P是否成立而选择执行A框或B框.无论条

件P是否成立，只能执行A框或B框之一，不可能同时执行A框和B框，也不可能A框、B框

都不执行。

例5设计求解不等式ax+b>O(a^O)的一个算法，流程图表示。

解析：求解过程中，需要对系数。的符号做出判断。

解:第一步.输入入

第二步.判断。的符号.

第三步.若a>0，解不等式;若a<0,解不等式.

第四步.输出不等式的解.

流程图：

与7国

条件结构是以条件的判断为起始点，根据条件是否成立而决定执行哪一个处理步骤的结

构.

(2)循环结构

循环结构是指在算法设计中，从某处开始有规律地反复执行某一处理步骤,这个处理步骤

称为循环体.循环体的执行次数由一个控制循环的条件决定.满足条件反复做，不满足则停止.

循环结构不能是永无停止的“死循环”，•定要在某个条件下终止循环，这就需要条件结

构来作出判断，因此，循环结构中一定包含条件结构。

・般地，循环结构中都有一个计数变量和•个累加变量，计数变量用于记录循环次数，

同时它的取值还用于判断循环是否终止。累加变量用于输出结果，累加变量和计数变量一般

是同步执行的，累加一次，计数一次。

循环结构又称重复结构，循环结构可细分为两类：

①一类是当型循环结构，如图所示，它的功能是当给定的条件成立时，执行A框，A框

执行完毕后，再判断条件P是否成立，如果仍然成立，再执行A框，如此反复执行A框，直

到某一次条件P不成立为止，此时不再执行A框，离开循环结构。

②另一类是直到型循环结构，如图所示，它的功能是先执行A框，然后判断给定的条件P

是否成立，如果P仍然不成立，则继续执行A框，直到某••次给定的条件P成立为止，此时

不再执行A框，离开循环结构。

任何高级程序语言都包含输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句和循环语句5种基

本语句。这5种基本算法语句与算法的三种基本结构基本上是相互对应的。为了进一步理解

算法的基本逻辑结构，我们在学习中要注意体会下面的对应关系。

顺序结构—输入、输出语句和赋值语句

条件结构3条件语句

循环结构―循环语句

第一章算法初步（精练）

一、选择题

1.看下面的四段话，其中是解决问题的算法的是（）.

A.把高一5班的同学分成两组，高个子参加篮球赛，矮个子参加拔河比赛

B.把高一5班的同学分成两组，身高达到170cm的参加篮球赛，不足170cm的参加拔

赛

C.把a,b的值代入x=2,求方程的解

a

D.从2开始写起，后一个数为前一个数与2的和，不断地写，写出所有偶数

2.任何一个算法都必须有的基本结构是

（）.

A.顺序结构B.条件结构

C.循环结构D.三个都有

3.右边的程序框图（如图所示），能判断任意输

入的整数x的奇偶性：其中判断框内的条件是

（）.

A.〃?=0?B.x=0?

C.x=l?D.m=l?

4.给出以下一个算法的程序框图（如图所示），该程序框

图的功能是（）.

A.求输出a,b,c三数的最大数

B.求输出a,b,c三数的最小数

C.将。，6,c按从小到大排列

D.将a,b,c按从大到小排列

（第4图

5.右图给出的是计算;+；+：+-+

一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（

A.；>10?B.z<10?

C.(>20?D./<20?

AB

7.下列给出的赋值语句中正确的是（）.

A.4=MB.M——MC.2B=A-3D.jc+y=O

8.右边程序执行后输出的结果是（）.

n=5

A.-1B.0

B=0

C.1D.2WHILEs<15

n=n-1

WEND

PRINTn

END

（第8匐

9.我国古代数学发展曾经处于世界领先水平，特别是宋、元时期的“算法”，其中可以

同欧几里德辗转相除法相媲美的是（）.

A.割圆术B.更相减损术C.秦九韶算法D.孙子乘余定理

10.下面是一个算法的程序.如果输入的x的值是20,则输出的y的值是（）.

便10题）

A.100B.50C.25D.150

二、填空题

11.下列关于算法的说法正确的是.（填上正确的序号）

①某算法可以无止境地运算下去

②一个问题的算法步骤不能超过1万次

③完成一件事情的算法有且只有一种

④设计算法要本着简单方便可操作的原则

12.下列算法的功能是__________________

5,输入A,B；（A,B均为数据）

S2A=A+B；

S3B=A-B；

S4A―B；

S5输出A,B.

13.如图，输出的结果是.

(第13®(914M)

14如图，输出的结果是.

x+2

15已知函数丫=；流程图表示的是给定x值，求其相应函数值的算法.请将

3x~,x>3

该流程图补充完整.其中①处应填，②处应填,若输入x=3,则输出结

果为.

（第15S）（笫16n

16.如图，输出结果为

三、解答题

17.某小区每月向居民收取卫生费，计费方法是：3人和3人以下的住户，每户收取5元;

超过3人的住户，每超出1人加收1.2元.设计一个算法，根据输入的人数，计算应收取的卫

生费，并画出程序框图.

18.编写程序，计算一个学生数学、语文、英语三门课的平均成绩.

19.假定在银行中存款10000元，按11.25%的利率，一年后连本带息将变为11125元，

若将此款继续存人银行，试问多长时间就会连本带利翻一番？请用直到型和当型两种语句写

出程序.

20.用辗转相除法求91和49的最大公约数.

第一章算法初步（精练）

参考答案

一、选择题

1.解析：

A.何为高个子，何为矮个子，标准不明确.

C.当a=0时公式是无效的.

D.非有限步可以完成.

只有B符合算法的三个要求，所以答案是B.

解：选B.

2.A解析：顺序结构是最简单的结构，也是最基本的结构.

3.A解析：x除以2,如余数为0,则x为偶数；余数不为0,则尤为奇数.

4.B解析：从程序框图可知：输出的是三个数中的最小值.

（第4题）

5.A解析：这是一个10项求和问题.

6.B解析：直到型循环在执行了一次循环体之后，对控制循环条件进行判断，当条件不

满足时反复做，满足则停止.

7.B解析：依据赋值语句的概念，选B是正确的.

8.B解析：程序执行后输出的结果是0,故选B.

9.B

10.D解析：V20>5,.•.y=20X7.5=150,.,.选D.

二、填空题

11.答案：④.解析：由算法的特点所确定.

12.答案：实现数据A,8的互换.

解析：利用赋值语句的意义与题中算法的步骤进行分析.

13.答案：12.解析：机=2,p=7,m=12.

14.答案：105.解析：T=\,I=\,T=\,1=3,不满足条件；7=3,/=5,不满足条件;

T=15,1=7,不满足条件；T=105,1=9,满足条件.输出7.

15.答案：①xW3?：②y=-3x2：5.

解析：根据给出函数的解析式分析可填出.

16.答案：9.解析：逐个取值计算.

三、解答题

17.解析：根据题意，可考虑用条件结构来进行算法设计.

解：算法步骤：

第一步，输入人数x,设收取的卫生费为"(元).

第二步，判断x与3的大小.若x>3,则费用为机=5+(x-3)X1.2；若xW3,则费用

为m—5.

第三步，输出

18.分析：先写出算法，画出程序框图，再进行编程.

程序框图：程序：

结束

19.解:

用当型用直到型

x=10000x=10000

r=11.25/100y=0

y=0r=11.25/100

WHILEx<20000Do

y=y+iy=y+i

x=x+r*xx=x+r*x

WENDLoopUNTILx>=20000

PRINTyPRINTy

ENDEND

20.解析：由91=49X1+42,得

42=91-49X1.

因为余数42W0,所以由辗转相除法，得

49=42X1+7,即7=49-42X1；

42=7X6,即0=42-7X6.

所以，91和49的最大公约数等于7.

第二章统计(精讲)

我们生活在一个数字化的时代，时刻都与数据打交道，如：产品的合格率，电视台的收

视率等，这些数据是怎么来的呢？我们通常只考虑总体中的•个样本，通过样本来了解总体

的情况，在保证样本估计总体达到一定精确度的前提下，样本中包含的个体数越少越好。

那么，怎样从总体中抽取样本使之代表总体呢？这就是我们下面要讨论的问题。

①简单随机抽样

(1)简单随机抽样的定义

一般地，设一个总体有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(〃4N).如果每

次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样，这样

抽取的样本,叫做简单随机样本.

简单随机抽样必须具备下列特点：

①简单随机抽样要求被抽到的样本的总体个数N是有限的；

②简单随机样本n小于等于样本总体的个数N;

③简单随机样本是从总体中逐个抽取的；

④简单随机抽样是一种不放回的抽样；

n

⑤简单随机抽样的每个个体入样的可能性均为—.

N

⑵抽签法和随机数法

①抽签法的定义

一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在•个容器中,

搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本.

抽签法的一般步骤：

a.将总体中的个体编号；

b.连续抽签获取样本号码.

②随机数法

利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样，叫随机数法。这里仅介绍

随机数表法。

怎样利用随机数表产生样本呢？

下面通过例子来说明。

假设我们要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标。现从800袋牛奶中抽取

60袋进行检验。利用随机数表抽取样本时，可以按照下面的步骤进行。

第一步,先将800袋牛奶编号，可以编为000,001,799.

第二步，在随机数表中任选一个数。例如选出第8行第7列的数7。

F面是随机数表的第6行至第10行:

162277943949544354821737932378-

844217533157245506887704744767-

630163785916955567199810507175-

332112342978645607825242074438-

576086324409472796544917460962-

第三步，从选定的数7开始向右读（读数的方向可以是向左、向上、向下等），得到•个三

位数785,由于785<799,说明号码785在总体内，将它取出；继续向右读，得到916,由于916>799,

将它去掉.

按照这种方法继续向右读,又取出567,199,507,--依次下去,直到样本的60个号码全部

取出，这样我们就得到一个容量为60的样本.

例1某车间加工一个轴100件,为了了解这种轴的直径,要从中抽取10件在同一条件下测

量,如何采用简单随机抽样抽取样本？

解析:简单随机抽样一般采用两种方法:抽签法和随机数表法.

解法1（抽签法）将100件轴编号为1,2,100,并做好大小、形状相同的号签放在一起,

进行均匀搅拌，接着连续抽取10个号签，然后测量这个10个号签对应轴的直径。

解法2：（随机数表法）将100件轴编号为00,01,02,…,99。在随机数表中选定一个起

始位置，如取第21行第一个数开始。选取10个为68,34,30,13,70,55,74,77,40,

44,这10件即为所要抽取的样本。

小结：

（1）简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法，简单随机抽样有两种选取个体的

方法；放回和不放回，我们在抽样调查中用的不放回抽样，常用的简单随机抽样方法有抽签

法和随机数法。

（2）抽签法的优点是简单易行，缺点是当总体的容量非常大时，费时费力，又不方便，

如果标号的签搅拌得不均匀，会导致抽样不公平；随机数表法的优点与抽签法相同，缺点是

当总体容量较大时.，仍然不是很方便，但是比抽签法公平，因此这两种方法只适合总体容量

较小的抽样类型。

（3）简单随机抽样每个个体入样的可能性都相等，但是这里一定要将每个个体入样的可

能性、第n次每个个体入样的可能性、特定的个体在第n次被抽到的可能性这三种情况区分

开，避免在解题中出现错误。

②系统抽样

一般地，要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均衡的若干部分然后

按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样的方法叫做系统

抽样.

系统抽样有以下特征：

①当总体容量N较大时，采用系统抽样；

②将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，因此，系统抽

样又称等距抽样，这时间隔般为人=—:

_n_

③预先制定的规则指的是，在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始号码，在此编号

的基础上加上分段间隔左的整数倍即为抽样编号。

(2)系统抽样的般步骤：

①将总体的N个个体编号；

②将整体按编号进行分段，确定分段间隔女；

③在第1段用简单随机抽样确定起始个体的编号

1(1eN,1Wk)；

④按照一定的规则抽取样本，通常是将起始编号/加上间隔％得到第2个个体编号

(/+%),再加上火得到第3个个体编号(/+2A),这样继续下去，直到获取整个样本。

从系统抽样的步骤可以看出，系统抽样是把一个问题划分成若干个部分分块解决，从而

把复杂问题简单化，体现了数学转化的思想。

例2某校高中三年级的295名学生已经编号为1,2,295.为了了解学生的学习情况,

要按1：5的比例抽取一个样本，用系统抽样的方法进行抽取，并写出过程。

解析：按1：5分段，每段5人，共分59段，每段抽取一人，关键是确定第一段的编号。

解：按照1：5的比例，应该抽取的样本容量为295+5=59,我们把295名同学分成59组,

每组5人，第一组是编号为1〜5的5名学生，第2组是编号为6~10的5名学生，依次下去,

59组是编号为291〜295的5名学生。采用简单随机抽样的方法，从第一组5名学生中抽出一

名学生，不妨设编号为

k(l<k<5),那么抽取的学生编号为女+学(/=0,1,…,58),得到59个个体作为样本,如当

)=3时的样本编号为3,8,13,288,293。

例3某单位有118名员工，为了完成本月的生产任务，现要从中随机抽取16人加班，请用系

统抽样法选出加班的人员。

解：(1)对这U8名员工进行编号；

11Q

(2)计算间隔女=匕£=7.375,由于女不是一个整数，我们从总体中随机剔除6个样本，再

16

来进行系统抽样。例如我们随机剔除了3,46,59,57,112,93这6名员工，然后再对剩余

的112位员工进行编号，计算间隔k=7。

(3)在1〜7之间随机选取一个数字，例如选5,将5加上间隔7得到第2个个体编号

12,再加上7得到第3个个体编号19,依次进行下去，直到获取整个样本。

评注：当对总体结构有一定了解时，充分利用已有信息对总体单位进行排对后再抽样，

可提高抽样效率。

小结：

(1)在抽样过程中，当总体中个体较多时，可采用系统抽样的方法进行抽样，系统抽样

的步骤为：

①采用抽样的方法将总体中个体编号；

②将整体编号进行分段，确定分段间隔乂〃GN);

③在第一段内采用简单随机抽样的方法确定起始个体编号/;

④按照事先预定的规则抽取样本。

(2)在确定分段间隔攵为整数，当二不是整数时，、应采用等可能剔除的方法剔除部分

n

个体，以获得整数间隔人。

③分层抽样

(1)分层抽样的定义

一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽

取一定数量的个体，将各层取出地的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫分层抽样。

分层抽样又称类型抽样，应用分层抽样应遵循以下要求：

①分层：将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵

循不重复，不遗漏的原则。

②分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本

与每层个体数量的比与样本数量与总体容量的比相等。

(2)分层抽样的步骤：

第一步：分层：按某种特征将总体分成若干部分；

第二步：按比例确定每层抽取个体的个数；

第三步：各层分别按简单随机抽样的方法抽取；

第四步：综合每层抽样，组成样本。

分层抽样时注意：

①分层需遵循不重复、不遗漏的原则；

②抽取比例由样本占总体的比例确定；

③各层抽样按简单随机抽样进行。

(3)简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的比较

类别共同点各自特点联系适用范围

简单随机抽样①抽样过程中每从总体中逐个抽总体个数较少

个个体被抽取的取

系统抽样可能将总体均分成几在起始部分抽总体个数较多

性相等部分，按预先确样时采用简单

②每次抽出个体定的规则在各部随机抽样

后不再将它放分抽取

分层抽样回，即不放回抽将总体分成几在各层抽样时总体由差异明

样层，分层进行抽采用简单随机显的几部分组

取抽样或系统抽成

样

例4某商场有男售货员56人，女售货员42人，用分层抽样的方法从全体售货员中抽出

一个容量为28的样本。

2

解：全体售货员的总人数是56+42=98（人），要得到28人的样本，占总体的比例为一，

7

2

于是，应该在男售货员中随机抽取56x—=16人，在女售货员中随机抽取28-16=12人。这样

7

我们就可以得到一个容量为28的样本。

评注：在这个问题中，总体是该商场的所有售货员的总数。并且已知知道人数的分布情

况，因此可以利用分层抽样的方法抽取样本。

例5某高中共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现

采用分层抽样抽取容量为45的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为（）

A.15,5,25B.15,15,15C.10,5,30D.15,10,20

解析:因为300:200:400=3:2:4,于是将45分成3:2:4三部分,设三部分各抽取的个体分别

为3x,2x,4x,由3x+2x+4x

=45得》=5,故高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为15,10,20.选D.

例6一个地区共有5个乡镇，人口3万人,其中人口比例为3:2:5:2:3,从3万人中抽取一个300

人的样本，分析某种疾病的发病率.已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什

么样的方法?并写出具体过程.

解析:采用分层抽样的方法.

解：因为疾病与不同的地理位置及水土有关系，所以不同乡镇的发病情况差异明显，因而采

用分层抽样的方法,具体过程如下：

（1）将3万人分为5层,一个乡镇为一层.

（2）按照样本容量的比例随机抽取各乡镇应抽取的样本.

300x3=60（人），300x—2=40（A）,300x—5=100（人），300x2—=40（人），

15151515

3

300x—=60（A）.

15

因此各乡镇抽取人数分别为60人、40人、100人、40人、60人.

（3）将300人组到一起，即得到一个样本。

第二章统计（精练）

一、选择题

1.某校有40个班，每班有50人，每班选派3人参加“学代会”，在这个问题中样本容

量是（）.

A.40B.50C.120D.150

2.要从J编号（1-50）的50枚最新研制的某型号导弹中随机抽取5枚来进行发射试验,

用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5枚导弹的编号可能是（）.

A.5,10,15,20,25B.3,13,23,33,43

C.1,2,3,4,5D.2,4,8,16,32

3.某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们身体状况的某项

指标，需从他们中抽取一个容量为36的样本，适合抽取样本的方法是（）.

A.抽签法B.系统抽样C.随机数表法D.分层抽样

4.为了解某年级女生的身高情况，从中抽出20名进行测量，结果如下：（单位：cm）

149159142160156163145150148151

156144148149153143168168152155

在列样本频率分布表的过程中，如果设组距为4cm,那么组数为（）.

A.4B.5C.6D.7

5.右图是由容量为100的样本得到的频率分布直方图.其中前4组的频率成等比数列,

后6组的频数成等差数列，设

最大频率为a,在4.6到5.0

之间的数据个数为b，则。，b

的值分别为（）.

A.0.27,78

B.0.27,83

C.2.7,784

D.2.7,83

6.在方差计算公式/=，"［（X］—20尸+（必一20）2H-FGio—20尸］中，数字10和20分

别表示（）.

A.数据的个数和方差B.平均数和数据的个数

C.数据的个数和平均数D.数据组的方差和平均数

7.某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下:

行业名称计算机机械营销物流贸易

应聘人数2158302002501546767457065280

行业名称计算机营销机械建筑化工

招聘人数124620102935891157651670436

若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中

的数据，就业形势一定是（）.

A.计算机行业好于化工行业B.建筑行业好于物流行业

C.机械行业最紧张D.营销行业比贸易行业紧张

8.从鱼塘捕得同一时间放养的草鱼240尾，从中任选9尾，称得每尾鱼的质量分别是1.5,

1.6,1.4,1.6,1.3,1,4,1.2,1.7,1.8（单位：千克）.依此估计这240尾鱼的总质量大约是（）.

A.300克B.360千克C.36千克D.30千克

9.为了考查两个变量x和y之间的线性关系，甲、乙两位同学各自独立作了10次和15

次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为h，已知两人得的试验数据中，变

量x和y的数据的平均值都分别相等，且值分别为s与3那么下列说法正确的是（）.

A.直线八和6一定有公共点（s，D

B.直线和?2相交，但交点不一定是（s,D

C.必有直线/1〃/2

D.直线/|和/2必定重合

10.工人工资（元）依相应产值（千元）变化的回归方程为9=50+80x,下列判断正确的是

（）.

A.产值为1000元时，工资为130元

B.产值提高1000元时，工资提图80元

C.产值提局1000兀时，工资提得130兀

D.当工资为250元时，产值为2000元

二、填空题：

11.某工厂生产A,B,C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5.现用分

层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号的产品有16件，那么此样本的容量n

12.若总体中含有1650个个体，现在要采用系统抽样，从中抽取一个容量为35的样

本，分段时应从总体中随机剔除个个体，编号后应均分为段，每段有

个个体.

13.管理人员从一池塘内捞出30条鱼，做上标记后放回池塘.10天后，又从池塘内捞出

50条鱼，其中有标记的有2条.根据以上数据可以估计该池塘内共有条鱼.

14.已知x,y之间的一组数据：

X1.081.121.191.28

y2.252.372.402.55

y与x之间的线性回归方程y^bx+a必过定点.

15.假设学生在初•和初二数学成绩是线性相关的.若10个学生初一数学分数⑺和初二

数学分数(y)如下:

X74717268767367706574

y76757170767965776272

初一和初二数学分数间的回归方程为.

16.一家保险公司调查其总公司营业部的加班程度，收集了10周中每周加班工作时间丫(小

时)与签发新保单数目x的数据如下表，则用最小二乘法估计求出的线性回归方程是

X825215107055048092013503256701215

y3.51.04.02.01.03.04.51.53.05.0

三、解答题：

17.某车间工人加工-•种轴100件，为了了解这种轴的直径，要从中抽取10件轴在同一

条件下测量，如何采用简单随机抽样的方法抽取样本？

18.某单位有118名员工