相似对角化矩阵及其求法

相似对角化矩阵及其求法当前1页，总共39页。

等价关系：二、相似矩阵与相似变换的性质１．相似矩阵相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好的性质。当前2页，总共39页。性质：直接由定义容易推出当前3页，总共39页。２．相似变换与相似变换矩阵这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对角矩阵的运算．

相似变换是对方阵进行的一种运算，它把A变成，而可逆矩阵称为进行这一变换的相似变换矩阵．当前4页，总共39页。证明:当前5页，总共39页。此结论只是当前6页，总共39页。推论若阶方阵A与对角阵当前7页，总共39页。证明三、利用相似变换将方阵对角化当前8页，总共39页。当前9页，总共39页。命题得证.当前10页，总共39页。

如果阶矩阵的个特征值互不相等，则与对角阵相似（充分条件

)．推论1不能对角化的矩阵一定具有多重特征值。说明

如果的特征方程有重根，此时不一定有个线性无关的特征向量，从而矩阵不一定能对角化，但如果能找到个线性无关的特征向量，还是能对角化．当前11页，总共39页。设是n阶矩阵A的互异特征值，即称是特征值的代数重数；所对应的线性无关特征向量的个数称为的几何重数。结论：几何重数代数重数。推论2

n阶矩阵A可对角化的充要条件是当前12页，总共39页。当前13页，总共39页。例1

判断下列实矩阵能否化为对角阵？解当前14页，总共39页。解之得基础解系当前15页，总共39页。求得基础解系当前16页，总共39页。解之得基础解系故A不能化为对角矩阵.几何重数

<代数重数,当前17页，总共39页。A能否对角化？若能对角化，例2解当前18页，总共39页。解之得基础解系当前19页，总共39页。所以

可对角化.当前20页，总共39页。注意即矩阵P

的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应．可见

P未必唯一。当前21页，总共39页。例3三阶方阵A的三个特征值且对应的特征向量分别是解：当前22页，总共39页。当前23页，总共39页。利用对角矩阵计算矩阵多项式k个当前24页，总共39页。

利用上述结论可以很方便地计算矩阵A

的多项式

.当前25页，总共39页。当前26页，总共39页。解

(1)

可对角化的充分条件是

有

个互异的特征值．下面求出

的所有特征值．当前27页，总共39页。当前28页，总共39页。当前29页，总共39页。§5.3Jordan标准形介绍定理：任意n方阵A都存在n阶可逆矩阵P，使得-----Jordan矩阵。其中称为Jordan块矩阵。为A的特征值,可以是多重的。当前30页，总共39页。例如称为Jordan块.称为子Jordan阵。当前31页，总共39页。Jordon标准形相似变换矩阵P的求法以三阶矩阵为例来分析说明：设A相似于由当前32页，总共39页。分别取解得这里仅

X1是A对应于的特征向量。例3求可逆阵P和Jordan阵，使得解：令当前33页，总共39页。A有特征值（二重）.即对于求解：即先取（特征向量）。再取当前34页，总共39页。于是注意：P，J不唯一。亦可取则（非特征向量）。当前35页，总共39页。方阵A的Jordan标准形的结构有以下特点：1.J中子Jordan阵的个数等于A互异特征值的个数；2.每个子Jordan阵的阶数等于对应特征值的代数重数；3.每个子Jordan阵中Jordan块的个数等于对应特征值的