可微性与偏导数

可微性与偏导数第一页，共四十七页，2022年，8月28日一、可微性与全微分

定义1

设函数内有定

义.对于若

f

在的全增量

(1)其中A,B是仅与点有关的常数,的高阶无穷小量,则称

f

在点可微.并称

(1)式中关于第二页，共四十七页，2022年，8月28日由(1),(2)可见,当充分小时,全微分

这里(4)(2)为的全微分,记作可作为全增量的近似值,于是有近似公式:在使用上,有时也把(1)式写成如下形式：(3)第三页，共四十七页，2022年，8月28日例1考察解f

在点处的全增量为由于第四页，共四十七页，2022年，8月28日二、偏导数由一元函数微分学知道:若则

现在来讨论:当二元函数在点可微

时,(1)式中的常数A,B应取怎样的值？为此在

(4)

式中先令第五页，共四十七页，2022年，8月28日

(5)

容易看出,(5)式右边的极限正是关于x的一元函数类似地,又可得到

(6)它是关于

y的一元函数二元函数当固定其中一个自变量时,它对另一个自第六页，共四十七页，2022年，8月28日变量的导数称为该函数的偏导数,一般定义如下:则当极限存在时,称此极限为关于x的偏导数,

记作定义2(7)第七页，共四十七页，2022年，8月28日类似地可定义关于y的偏导数:记作注1第八页，共四十七页，2022年，8月28日注2在上述定义中,存在对x(或y)显然，在定义域的内点处总能满足这种要求，而在界点处则往往无法考虑偏导数．若函数在区域D上每一点都存在

对x

(

或对y

)

的偏导数,则得到在D上

对x(或对y)的偏导函数(也简称偏导数),记作第九页，共四十七页，2022年，8月28日偏导数的几何意义:的几何图象通常是

三维空间中的曲面,设为此曲面上一

点,其中曲面相交得一曲线：第十页，共四十七页，2022年，8月28日如图17-1所示，偏导数的几何意义为:在平面上,曲线C在点P0处的切线与x轴

正向所成倾角的正切，即图17-1

第十一页，共四十七页，2022年，8月28日可同样讨论偏导数的几何意义(请读者自

行叙述)．由偏导数的定义还知道,多元函数f对某一个自变量求偏导数,是先把别的自变量看作常数,变成一元函数的求导.因此第五章中有关求导数的一些基本法则,对多元函数求偏导数仍然适用.例2

于x和关于y的偏导数.解先求f在点(1,3)处关于x的偏导数.为此,令第十二页，共四十七页，2022年，8月28日y

=

3,得到求它在x

=

1的导数,则得再求f在(1,3)处关于y的偏导数.为此令x=1,得求它在y=

3处的导数,又得通常也可先分别求出关于x和y的偏导函数:第十三页，共四十七页，2022年，8月28日然后以(x,y)=(1,3)代入,也能得到同样结果.例3求函数的偏导数.解把依次看成幂函数和指数函数,分别求得例4求三元函数的偏导数.解把y和z看作常数,得到第十四页，共四十七页，2022年，8月28日把z,x看作常数,得到把x,y看作常数,得到第十五页，共四十七页，2022年，8月28日三、可微性条件由可微定义易知:若.这表明:

“连续是可微的一个必要条件．”此外,由(5),(6)两式又可得到可微的另一必要条件:定理17.1若二元函数f在其定义域内一点(x0,y0)处可微,则f在该点关于每个自变量的偏导数都存在．此时,(1)式中的第十六页，共四十七页，2022年，8月28日于是,函数的全微分

(2)

可惟一地表示为与一元函数一样,若约定自变量的增量等于自变量的微分，即则全微分又可写为第十七页，共四十七页，2022年，8月28日若函数f在区域D的每一点(x,y)都可微,则称函数f在区域D上可微，且f在D上的全微分为(8)定理17.1的应用:对于函数由于它们分别在都不可导，即故第十八页，共四十七页，2022年，8月28日再看一个例子:在原点的可微性．例5考察函数解按偏导数的定义先求出第十九页，共四十七页，2022年，8月28日同理可得若f

在原点可微,则却不存在(第十六章§2例3),故此

f(x,y)

在原点不可微.第二十页，共四十七页，2022年，8月28日以前知道，一元函数可微与存在导数是等价的．而这个例子说明:对于多元函数,偏导数即使都存在,该函数也不一定可微．现在不禁要问:当所有偏导数都存在时,还需要添加哪些条件,才能保证函数可微呢?请看如下定理:定理17.2

(

可微的充分条件

)

若函数在

点的某邻域内存在偏导数

且它

们在点连续,则可微.第二十一页，共四十七页，2022年，8月28日在第一个方括号里的是函数关于x

的增量;在第二个括号里的是函数关于y

的增量.第二步对它们分别应用一元函数的拉格朗日中值定理,则使得证第一步把全增量

写作第二十二页，共四十七页，2022年，8月28日(9)第三步由于因此有第四步将(10),(11)代入(9)式,得到由可微定义的等价式

(4),便知

(11)(10)第二十三页，共四十七页，2022年，8月28日定理17.２的应用容易验证例2中的函数满足定理17.2的条件,故在点(1,3)可微(且在上处处可微);

上满足定理17.2的条件,亦在其定义域上可微；例4中的函数注意偏导数连续并不是可微的必要条件，例如第二十四页，共四十七页，2022年，8月28日它在原点

(0,0)

处可微,但却在该点不连续

(见本节习题7，请自行验证).所以定理17.2是可微的充分性定理．若的偏导数都连续,则

连续可微．

在定理17.2证明过程中出现的(9)式,实际上是二第二十五页，共四十七页，2022年，8月28日元函数的一个中值公式,将它重新写成定理如下:

(12)的某邻域内存在偏定理17.3设函数和第二十六页，共四十七页，2022年，8月28日四、可微性的几何意义及应用

一元函数可微，在几何上反映为曲线存在

不平行于y轴的切线.对于二元函数而言,可微性

则反映为曲面与其切平面之间的类似关系.为此需要先给出切平面的定义,这可以从切线定义中获得启发.在第五章§1中,我们曾把平面曲线S在其上某一的切线PT定义为过点P的割线PQ当Q沿S趋近P时的极限位置(如果存在的话).这时,第二十七页，共四十七页，2022年，8月28日PQ与PT的夹角也将随Q

→P而趋于零

(参见图17-2).用h和d分别表示点Q到直线PT的距离和点Q到点P的距离,由于图17-2

第二十八页，共四十七页，2022年，8月28日定义3

设曲面S上一一个平面,S上的动点仿照这个想法,我们引进曲面S在点P的切平面的定义(参见图17-3).图17-3

点P,Π为通过点P的Q到定点P和到平面Π的距离分别记为d和h.若当Q在S上以任意方式趋近于P时,恒有第二十九页，共四十七页，2022年，8月28日

则称Π

为曲面S在点P的切平面,称P为切点.

定理17.4

曲面存在不平行于

z轴的切平面的充要条件是:函数在点可微.

证

(充分性)若函数在P0可微,由定义知道第三十页，共四十七页，2022年，8月28日讨论过点的平面Π:

其中X,Y,Z是平面上点的流动坐标.下面证明它就

是曲面的切平面.由于S上动点到的距离为现在第三十一页，共四十七页，2022年，8月28日P到Q的距离为第三十二页，共四十七页，2022年，8月28日根据定义3便知平面即为曲面P的切平面．(必要性)

若曲面存在不平行于z轴的切平面第一步

设Q(x,y,z)是曲面上任意一点,由Q到这

个平面的距离为

第三十三页，共四十七页，2022年，8月28日由切平面的定义知道,当时,有因此对于充分接近的P与Q,有由此则得令第三十四页，共四十七页，2022年，8月28日第二步分析:要证明在点可微,事实上就是需证第三十五页，共四十七页，2022年，8月28日因此,若能证得当则有第三步先证可推得故有第三十六页，共四十七页，2022年，8月28日第四步

由上式进一步可得

根据第二步的分析，这就证得在点可微.

第三十七页，共四十七页，2022年，8月28日定理

17.4说明:函数在点可微,则曲面

处的切平面方程为

(13)过切点P与切平面垂直的直线称为曲面在点P的法线.由切平面方程知道，法向量为于是过切点P的法线方程为

(14)第三十八页，共四十七页，2022年，8月28日二元函数全微分的几何意义:如图17–4所示,当自的全微分而在点变为时,函变量由是z轴方向上的一段NQ;的增量

数则是切平面上相应的那一段增量NM.于而趋于零,而且是较高阶的无穷小量.是,与dz之差是MQ那一段，它的长度将随着第三十九页，共四十七页，2022年，8月28日图17–4

第四十页，共四十七页，2022年，8月28日例6