典型方程与定解条件

典型方程与定解条件第一页，共五十五页，2022年，8月28日参考书目梁昆淼.数学物理方法（第三版）.

高等教育出版社，1998。李元杰.数学物理方程与特殊函数.高等教育出版社，2009。彭芳麟.数学物理方程的MATLAB解法与可视化.清华大学出版社，2005。石辛民.数学物理方程及其MATLAB解算.清华大学出版社，2011。王元明.数学物理方程与特殊函数（第四版）.高等教育出版社，2012。第二页，共五十五页，2022年，8月28日课程内容：研究数学物理方程的建立、求解方法和解的物理意义的分析。

第三页，共五十五页，2022年，8月28日第一章典型方程和定解条件的推导第四页，共五十五页，2022年，8月28日根据系统边界所处的物理条件和初始状态列出定解条件；主要内容从不同的物理模型出发，建立三类典型方程；提出相应的定解问题。第一章典型方程和定解条件的推导第五页，共五十五页，2022年，8月28日§1.1基本方程的建立导出数学物理方程的一般方法：

确定所研究的物理量；建立适当的坐标系；划出研究单元，根据物理定律和实验资料写出该单元与邻近单元的相互作用，分析这种相互作用在一个短时间内对所研究物理量的影响，表达为数学式；简化整理，得到方程。第一章典型方程和定解条件的推导第六页，共五十五页，2022年，8月28日例1.弦的微小横振动

设有一条拉紧的弦，长为l，平衡位置与x轴的正半轴重合，且一端与原点重合,确定当弦受垂直外力作用后的运动状态。假设与结论：（1）横振动坐标系oxu，位移u(x,t)

x1x2T(x1)

T(x2)ux

（2）微小振动第一章典型方程和定解条件的推导第七页，共五十五页，2022年，8月28日（3）弦柔软、均匀.张力沿切线方向,密度为常数；第一章典型方程和定解条件的推导建立方程：取微元

，研究在水平方向和铅垂方向在不受外力的情况下的运动情况。uxT(x)

Mxx+dx第八页，共五十五页，2022年，8月28日牛顿运动定律：F=m·a作用在弧段上的水平方向的力为

倾角很小，即

近似得

垂直方向的力为（1）第一章典型方程和定解条件的推导于是等式（1）变成由微积分知识可知，在时刻t有（2）等式（2）可以写成uxT(x)

MM’xx+dx由于令，取极限得略去重力，可得方程其中。(3)弦振动方程（3）中只含有两个自变量和，其中表示时间，表示位置。由于它们描述的是弦的振动或波动现象，因而又称为一维波动方程。第九页，共五十五页，2022年，8月28日注1：如果弦上还受到一个与振动方向相同的外力，且外力密度为F(x,t)，外力可以是压力、重力、阻力，则弦的强迫振动方程为F。第十页，共五十五页，2022年，8月28日例2.膜的振动研究平面柔软均匀薄膜的微小振动。第一章典型方程和定解条件的推导待研究物理量:位移u(x,y,t),第十一页，共五十五页，2022年，8月28日第一章典型方程和定解条件的推导第十二页，共五十五页，2022年，8月28日

例3.声学方程

第一章数学物理方程的导出和定解问题Lapalce算子三维波动方程第十三页，共五十五页，2022年，8月28日

如果空间某物体内各点处的温度不同，则热量就从温度较高点处到温度较低点处流动，这种现象叫热传导。

考虑物体G

内的热传导问题。函数u(x,y,z,t)

表示物体G

在位置M(x,y,z)以及时刻t的温度。通过对任意一个小的体积元V内的热平衡问题的研究，建立方程。假设：假定物体内部没有热源，物体的热传导系数为常数，即是各向同性的，物体的密度以及比热是常数。热场

例4.热传导方程第一章典型方程和定解条件的推导第十四页，共五十五页，2022年，8月28日热场傅立叶实验定律:物体在无穷小时段dt内沿法线方向n流过一个无穷小面积dS的热量dQ与时间dt,面积dS,物体温度沿曲面dS法线方向的方向导数成正比.从时刻到时刻经过曲面S流入区域V

的热量为高斯公式第一章典型方程和定解条件的推导第十五页，共五十五页，2022年，8月28日流入热量使物体内温度变化，在时间间隔中物体温度从变化到所需吸收热量为比热密度由于所考察的物体内部没有热源,根据能量守恒定律可得第一章典型方程和定解条件的推导由于时间,和区域V

都是任意选取的,并且被积函数连续,于是得(非均匀的各向同性体的热传导方程)对于均匀的各向同性物体，k为常数，记则得齐次热传导方程:三维热传导方程第十六页，共五十五页，2022年，8月28日若物体内部有热源F(x,y,z,t),则热传导方程为其中第一章典型方程和定解条件的推导第十七页，共五十五页，2022年，8月28日在上述热传导方程中,描述空间坐标的独立变量为,所以它们又称为三维热传导方程.当考察的物体是均匀细杆时,如果它的侧面绝热且在同一截面上的温度分布相同,则可以得到一维热传导方程

类似,如果考虑一个薄片的热传导,并且薄片的侧面绝热,可以得到二维热传导方程第一章典型方程和定解条件的推导第十八页，共五十五页，2022年，8月28日二维热传导方程―维热传导方程三维热传导方程第一章典型方程和定解条件的推导第十九页，共五十五页，2022年，8月28日

当我们考察气体的扩散,液体的渗透,半导体材料中的杂质扩散等物理过程时,若用表示所扩散物质的浓度,则浓度所满足的方程形式和热传导方程完全相同.所以热传导方程也叫扩散方程.第一章典型方程和定解条件的推导第二十页，共五十五页，2022年，8月28日第一章典型方程和定解条件的推导

例5静电场的势方程

在区域内,静电场强度为,介电常数,电荷密度为,求静电场的势满足的方程即奥氏公式故第二十一页，共五十五页，2022年，8月28日第一章数学物理方程的导出和定解问题故即—Laplace方程—Poisson方程当内没有电荷时静电场是有势场，故存在势函数u,有第二十二页，共五十五页，2022年，8月28日波动方程—声波、电磁波、杆的振动；热传导方程—物质扩散时的浓度变化规律,

长海峡中潮汐波的运动，土壤力学中的渗透方程;Laplace方程—稳定的浓度分布,静电场的电位,流体的势.总结：第一章典型方程和定解条件的推导第二十三页，共五十五页，2022年，8月28日一维齐次波方程：一维齐次热方程：二维Laplace方程：第一章典型方程和定解条件的推导第二十四页，共五十五页，2022年，8月28日§1.2初始条件与边界条件

初始条件边界条件第二十五页，共五十五页，2022年，8月28日第一章典型方程和定解条件的推导……第二十六页，共五十五页，2022年，8月28日第二十七页，共五十五页，2022年，8月28日

一.初始条件及Cauchy问题

描述某系统或某过程初始状况的条件称为初始条件，初值条件与对应方程加在一起构成初值问题(或称Cauchy问题）。Ã%¶;ÃÁ'¶;#&Á*第一章典型方程和定解条件的推导第二十八页，共五十五页，2022年，8月28日初始位移、初始速度分别为,称波动方程的初值条件.

弦振动问题第一章典型方程和定解条件的推导

热传导方程称为热传导方程的初值条件.第二十九页，共五十五页，2022年，8月28日

不同类型的方程，相应初值条件的个数不同。初始条件给出的应是整个系统的初始状态，而非系统中个别点的初始状态。第一章典型方程和定解条件的推导第三十页，共五十五页，2022年，8月28日

例.长为l两端固定的弦，初始时刻将弦的中点拉起h()()xu0lh正确写法第一章典型方程和定解条件的推导第三十一页，共五十五页，2022年，8月28日（I）第一类边界条件*（II）第二类边界条件（III）第三类边界条件二.边界条件描述某系统或过程边界状况的约束条件称为边界条件.第一章典型方程和定解条件的推导第三十二页，共五十五页，2022年，8月28日例1.长为l的弦，一端固定，一端以sint规律运动

第一类边界条件第一章典型方程和定解条件的推导例2.长为l的杆，一端温度为0，一端温度为ξ

(t)第三十三页，共五十五页，2022年，8月28日弦振动问题：弦的一端（如x=l）可以在垂直x轴的直线上自由的上下滑动，且不受垂直方向的外力，我们称这种端点为“自由端”。第一章典型方程和定解条件的推导第二类边界条件在这一端点，边界上的张力沿垂直于x轴的方向的分量为0，因此在方程的推导中知,即第三十四页，共五十五页，2022年，8月28日当该点处的张力沿垂直x轴的方向的分量是t

的已知函数时，有*第一章典型方程和定解条件的推导第三十五页，共五十五页，2022年，8月28日热传导问题：如果物体和周围介质处于绝热状态，即在表面上热量的流速始终为0，则由方程推导过程可知，有边界条件当物体与外界接触的表面S

上各单位面积在单位时间内流过的热量已知时，由傅立叶定律，在S

上有，这表明温度沿外法线方向的方向导数是已知的，故边界条件可以表示为*第一章典型方程和定解条件的推导第三十六页，共五十五页，2022年，8月28日第三类边界条件

例(1)弦的振动（端点弹性连结）弹性力张力第一章典型方程和定解条件的推导第三十七页，共五十五页，2022年，8月28日(2)热传导问题（端点自由冷却）散失的热量内部流到边界的热量即第一章典型方程和定解条件的推导第三十八页，共五十五页，2022年，8月28日第一章典型方程和定解条件的推导其它附加条件（1）衔接条件第三十九页，共五十五页，2022年，8月28日（2）自然边界条件第四十页，共五十五页，2022年，8月28日弦振动的Cauchy问题第一章典型方程和定解条件的推导只包含初值条件的定解问题称为初值问题初值问题(Cauchy问题)第四十一页，共五十五页，2022年，8月28日包含初值条件和边界条件的定解问题称为混合问题

(初边值问题)热传导方程的混合问题第一章典型方程和定解条件的推导第四十二页，共五十五页，2022年，8月28日波动方程的混合问题只附加边界条件的定解问题称为边值问题.初值条件、边界条件统称为定解条件

.初值问题、边值问题、混合问题统称为定解问题.第一章典型方程和定解条件的推导第四十三页，共五十五页，2022年，8月28日§1.3

二阶线性偏微分方程的分类、化简及叠加原理第四十四页，共五十五页，2022年，8月28日一般线性二阶偏微分方程（n个自变量）两个自变量二阶线性偏微分方程的一般形式………

第一章典型方程和定解条件的推导第四十五页，共五十五页，2022年，8月28日第一章典型方程和定解条件的推导椭圆型抛物型第四十六页，共五十五页，2022年，8月28日第一章典型方程和定解条件的推导第四十七页，共五十五页，2022年，8月28