微积分旋转体体积

第四节微积分基本公式一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系

当前1页，总共66页。当前2页，总共66页。当前3页，总共66页。当前4页，总共66页。当前5页，总共66页。当前6页，总共66页。当前7页，总共66页。当前8页，总共66页。当前9页，总共66页。当前10页，总共66页。当前11页，总共66页。变上限积分的求导公式当前12页，总共66页。当前13页，总共66页。当前14页，总共66页。定积分的换元法当前15页，总共66页。当前16页，总共66页。当前17页，总共66页。当前18页，总共66页。当前19页，总共66页。当前20页，总共66页。当前21页，总共66页。当前22页，总共66页。当前23页，总共66页。当前24页，总共66页。第五节广义积分当前25页，总共66页。当前26页，总共66页。当前27页，总共66页。当前28页，总共66页。当前29页，总共66页。当前30页，总共66页。当前31页，总共66页。当前32页，总共66页。当前33页，总共66页。当前34页，总共66页。◆定积分的元素法复习曲边梯形的面积计算方法（演示）定积分的元素法分析（演示）定积分的元素法（演示）应用定积分的元素法解决问题时，关键在于确定积分元素f(x)dx和积分区间[a,b]。一般地：若所量U与变量的变化区间[a,b]有关，且关于[a,b]具有可加性，在[a,b]中的任意一个小区间[x,x+dx]上找出部分量的近似值dU=f(x)dx,得所求量的定积分表达式这种方法叫做定积分的元素法。dU=f(x)dx称为所求量U的元素。当前35页，总共66页。◆直角坐标系下的平面图形的面积（演示）1、由x=a，x=b,y=0及y=f(x)所围成的平面图形的面积为2、由x=a，x=b,y=f(x)及y=g(x)所围平面图形的面积为3、由y=c，y=d,x=0及x=φ(y)所围平面图形的面积为当前36页，总共66页。

◆平面图形的面积例题选举例1计算由及所围成的图形的面积。例2计算由曲线和所围成的图形的面积。例3计算由和所围成的图形的面积。例4求椭圆的面积。解当前37页，总共66页。练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。（1）（2）轴（3）当前38页，总共66页。练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。（4）（5）当前39页，总共66页。一般地：如右图中的阴影部分的面积为练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。（6）或当前40页，总共66页。12法一：以y作积分变量法二：以x作积分变量（7）练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。当前41页，总共66页。例4求由下列给定曲线所围成的图形面积。星形线解由图形的对称性可得ab当前42页，总共66页。旋转体的概念——平面图形绕同一平面上某一定直线（旋转轴）

旋转一周所得的立体（演示）。可选取适当坐标系，使旋转轴为轴或轴。最基本的情形是曲边梯形绕轴或轴旋转的情形。◆旋转体的体积示例：圆锥、圆柱、圆台、球等都是旋转体（演示）。当前43页，总共66页。aby=f(x)dcx=g(y)◆旋转体的体积计算公式1、旋转轴为x轴（演示）由x=a,x=b，y=0,y=f(x)（a<b,f(x)>0)所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积为由y=c,y=d,x=0,x=g(y)（c<d,g(y)>0)所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的旋转体的体积为2、旋转轴为y轴（演示）当前44页，总共66页。oxyP(h,r)◆旋转体的体积计算公式例1连接坐标原点O及点P(h,r)的直线，直线x=h及x轴围成一个直角三角形，将它绕x轴旋转构成一个底半径为r，高为h的圆锥体，计算圆锥体的体积。xx+dx解如图所示任取，形成区间体积元素为直线OP的方程为所求体积为当前45页，总共66页。返回例3计算由曲线y=x2

与x=y2所围成的平面图形绕y轴旋转一周而成的立体的体积。解如图所示V2V1当前46页，总共66页。◆练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式x1y=x31xy=x31绕x轴旋转一周绕x轴旋转一周当前47页，总共66页。◆练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式绕x轴旋转一周当前48页，总共66页。1y=x31y轴轴◆练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式绕y轴旋转一周绕y轴旋转一周1y=x3y当前49页，总共66页。21◆练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式绕y轴旋转一周当前50页，总共66页。例4求由曲线及所围成的图形绕直线旋转一周而构成的旋转体的体积。yo-223x4当前51页，总共66页。问题的提出返回当前52页，总共66页。定积分元素法分析返回当前53页，总共66页。定积分元素法返回当前54页，总共66页。平面图形的面积（直角坐标）返回当前55页，总共66页。求面积例题1返回当前56页，总共66页。面积例题2返回当前57页，总共66页。求面积例题3返回当前58页，总共66页。例4求椭圆面积返回当前59页，总共66页。旋转体概念返回当前60页，总共