重庆市各区2021年中考模拟数学试题汇编：图形的变化解答题

重庆市各区2021年中考模拟数学试题汇编:

图形的变化解答

1.(2021•九龙坡区校级模拟)在△45。中，/期。=90°,点E为/。上一点，AB

=AE,AGX.BE,交于点H,交BC于点G,点〃是BC边上的点.

(1)如图1,若点〃与点G重合，AH=2,BC=-^,求CE的长；

(2)如图2,若连接ZHMG=ZMAH,求证：AM=2MHM;

(3)如图3,若点“为的中点，作点4关于力〃的对称点M连接/IMMN、

EN,请直接写出N/MAANAE.N〃八石之间的角度关系.

2.(2021•万州区模拟)如图，点B,C,。在同一条直线上，44。户和△48都是等

腰直角三角形.连接DF,延长。尸交于点E.

(1)如图1,若AD=BD,OE是△/2。的平分线，BC=1,求。。的长度；

(2)如图2,连接CE,求证：DE=®CE+AE;

(3)如图3,改变△夕。户的大小，始终保持点尸在线段力。上(点尸与点力,。不重

合).将即绕点后顺时针旋转90°得到呼.取的中点。，连接。尸.当/。=2

时，直接写出。尸长度的最大值.

图1图2图3

3.(2021•九龙坡区校级模拟)在△ASC和尸中，AAFE=AABC=90°,£AEF

=/月。石=30°,AE=^AC,连接EC,点G是E。中点，将△4E1尸绕点/顺时针旋

转.

(1)如图1,若后恰好在线段力。上，力8=2,连接尸G,求尸G的长度；

(2)如图2,若点尸恰好落在射线CE上，连接BG,证明：GB=J^AB+GC;

(3)如图3,若48=3,在△/珊旋转过程中，当GB-/G。最大时，直接写出直线

AB,AC,BG所围成三角形的面积.

4.(2021•沙坪坝区校级模拟)如图1,在四边形力B8中，AC交BD于点、E,XADE

为等边三角形.

(1)若点E为BD的中点,AD=4,8=5,求△BCE的面积；

(2)如图2,若BC=CD,点尸为8的中点，求证：AB=2AF;

(3)如图3,若ABDCD,ABAD=90°,点P为四边形/BC。内一点，且2月0D

=90°,连接4尸，取8P的中点Q,连接CQ.当AB=6近,AD=4五,tan/ZlBC

=2时，求。°+叵石。的最小值.

5.(2021•沙坪坝区校级模拟)如图，已知△4B。中，N/1BC=45°,8是边力B上

的高线，E是力。上一点，连接班，交8于点足

(1)如图1,若N/8E=15°,BC=«+\,求分的长；

(2)如图2,若BF=AC,过点。作。G,BE于点G,求证：BE=CE+2DG-,

(3)如图3,若K为射线BA上的一个动点，以BR为斜边向外作等腰直角△与

M为RH的中点.在(2)的条件下，将绕点。旋转，得到尸，E,歹的对

应点分别为E,F,直线”少与直线48交于点P,tan//18=/,直接写出当MF

取最小值时Y?一的值.

rr

6.(2021•北硝区校级模拟)在△/BC中，NC43=90°,AC=AB.若点。为/。上

一点，连接由，将AD绕点3顺时针旋转90°得到6后，连接CE,交于点足

(1)如图1,若/43E=75°,BD=4,求力。的长；

(2)如图2,点G为8。的中点，连接尸G交于点H.若/ABD=30°,猜想线

段。。与线段“G的数量关系，并写出证明过程；

(3)如图3,若/B=4,。为/。的中点，将绕点5旋转得△/'BD',连接

A'aA'D,当4D^-A'。最小时，求SMBC.

7.(2021•渝中区校级二模)如图1,在Rt^AB。与Rt△力中，/_ACB=AADB=

90°,/历1。=60°,CELAB交AB于前E,AE=AD,点尸在线段由上，连接

AF.

(1)若/。=4,求线段由的长;

(2)如图2,若NN4尸=60°,点〃为线段与尸的中点，连接CM,证明：2cM=

BF+检C;

(3)如图3,在(2)的条件下，将尸绕点/旋转得△/〃’F,连接B尸，点

M为线段B亍的中点，连接。'M,当。'〃长度取最小时，在线段43上有一动点

N,连接MN,将线段绕点M逆时针旋转60°至,连接。’M,若AC=4,

请直接写出(2MN'N')的最小值.

8.(2021•渝中区校级三模)如图1,等腰中，N840=90°,月6=月。=8,

AD平分ZBAC交BC于点D,点E、尸分别是线段/C、/口上两点，且AE=AF,连

接BE交AD于点Q,过点少作FG1BE交BE于氤P,交BC于点G.

(1)若BF=2,求。。的长;

(2)求证：V2AC-2AQ=BG;

(3)如图1,/£=4,连接后五，将△区4歹绕点力顺时针旋转，点M为EF中点,连

接BM,CM,以为直角边构造等腰Rt4BMN,过点N作NRLBC交BC于点R,

连接RM,当八次最小时，直接写出的长度.

9.(2021•重庆模拟)如图，正方形/BCD的对角线/C,助交于点。，以正方形的边

长3。为斜边在正方形内作Rt^BEGABEC=9Q°.

(1)求证：BE-CE=MOE;

(2)若。£=3,BE=4,

①的面积为(直接写出结果)；

②点尸为3。边上的动点，则△。/五周长的最小值为(直接写出结果).

备用图

10.(2021•铜梁区校级一模)△4BC为等边三角形，将线段C4绕点。顺时针旋转60°

得到线段8,斤为平面内一点.接3斤，作N/3斤的角平分线交。户延长线于点£连

接DE.

(1)如图1,连接助，若点尸恰好在线段加上，CE]_BC,BC=2,求斯的长度；

(2)如图2,若乙FBC=22ECD,证明：BE+DE=&EC;

(3)如图3,当BC=2,N/CE=45°时，以CE为斜边构造直角△取C,Q为CP

中点，连接力。.当月。最大时，求△/1C。的面积.

E

E

11.(2021•重庆模拟)如图，在RtZXABC中，N/3C=90°,NA4C=30°,点。在

直线3。上运动，连接AD,以为斜边在直线AD的右侧作RIAADE,其中/力助

=90°,NN4H=30°.

(1)如图1,点。运动到点B的左侧时，与4B相交于点。，当力。平分/D4E

时，若。。=6,求40的长；

(2)如图2,点。沿射线8。方向运动过程中，当助=/8时，连接8E,过点3作

用工与反交区4的延长线于点F,取8的中点G,连接EG.求证：DE+AE=^EG;

(3)如图3,点。沿射线CS方向运动过程中，连接BE,将线段AE绕点E顺时针方

向旋转60°,得到线段皿连接CH.若/B=6,当。/吟取得最小值时，

请直接写出A/BE的面积.

图1

图2图3

12.(2021•两江新区模拟)如图，△力C归和均为等腰直角三角形，/_ACB=/_

DCE=q。。,AC=BC,DC=EC.现将△〃四绕点。旋转.

(1)如图1,若4D、反三点共线，AD=®求点B到直线CE的距离；

(2)如图2,连接力区BD,点b为线段的中点，连接。尸，求证：AELCF-,

(3)如图3,若点G在线段上，且月。=8,AG=7版,在AACG内部有一点O,

请直接写出堂。。+如。4+噂OG的最小值.

13.(2021•沙坪坝区校级一模)如图1,在Rt△力BC中，NR4c=90°,AB=AC,点

。是BC边上一动点，连接把4?绕点/顺时针旋转90°,得到力H,连接。民

(1)如图1所示，若BC=4,在。点运动过程中，当tan/8A£=鲁时，求线段8

的长；

(2)如图2所示，点户是线段。后的中点，连接B尸并延长交CA延长线于点M,连

接。河，交.AB于兼N,连接。尸，AF,当点"在线段CN上时，求证：AD+BF=CF-,

(3)如图3,若AB=2&,将△/B。绕点力顺时针旋转得△/吕'C',连接C。'，

尸为线段。上一点，且。C'=加尸。'，连接刀尸，将改绕点B顺时针旋转60°

得到8。，连接尸。，K为PQ的中点,连接。&请直接写出线段次的最大值.

14

一动点，连接力。，将线段49绕点/逆时针旋转90°得到线段力区连接。打交力。

于点足

(1)如图1,若/力。。=60°,求证：DF=AF+EF;

(2)如图2,在点。运动的过程中，当是锐角时，点”在线段。C上，且4M

=AD,连接板，猜想线段板，MD,力。之间存在的数量关系，并证明你猜想的结论;

(3)在点。运动的过程中，当是钝角时，点N是线段。反上一动点，连接av,

若CF=^AF=m,请直接用含m的代数式表示2cma的最小值.

5

图1图2备用图

15.(2021•潼南区一模)如图1.ZX/BC为等边三角形，。为力。右侧一点，且/C=

AD,连接8。交/。于点延长ZM、C归交于点?

(1)若/期户=30°,AF=2^,求力。；

(2)证明：CF=AF+AE-,

（3）如图2.若＞18=4,G为BC中点，连接力G,M为月G上一动点,连接。“，将

CN绕着"点逆时针旋转90°得到MV,连接/MCN,当4N最小时，直接写出4

。放V的面积.

图1图2

参考答案

1.【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质以及勾股定理解

答即可；

(2)根据等腰直角三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质解答即可；

(3)根据对称的性质和三角形内角和解答即可.

【解答】解：(1)-：ABAC=90Q,AB=AE,

.,.△A4E为等腰直角三角形，

•：AGVBE,

.,.月”是△A4E的中线，

；.BE=2AH=4,

ABEA=45°,

：.ABEC=135°,

在△BCE中，过点。作交BE的延长线于点D,如图1,

•:NDEC=45°,

.•.△AEC是等腰直角三角形，

设ED=x,则。C=x,

在RtZ\38中，BC2=BZ>2+Z;C2,

即（V26）2=（4+x）2+x2）

；.的=1或w=-5（舍去），

:.CE=M；

(2)如图2,过H作他交AM于点D,连接助,

图2

■：AB=AE,NBAC=90°,

△力与£是等腰直角三角形，

■：AGVBE,

.•.△/BA为等腰直角三角形，

：.BH=AH,ZBAN=45°,/BHA=9G°,

：./_BAM=ABMA,

■：ZHMG=ZMAH,

/BAM-ZMAH=/BMA-ZHMG,

即/A4H=N4l〃7=45°,

■：HDVHM,

：.△OHM为等腰直角三角形，

:乙DHM=9G°,

•••ZBHD=ZBHA+ZAHD,ZAHM=ZDHM+ZAHD,

：.ZBHD=ZAHM,

在ABHD与AAHM中,

<BH=AH

<ZBHD=ZAHM,

DH=MH

:ABHD94AHM〈SAS),

ZDBH=ZMAH,BD=AM,

:.NBHA=/BDA=9G°,

是/”的中点，

：.AM=2DM=2MHM,

即AM=2近HM;

(3)•.”是BE的中点,M是的中点，

；.MH是4BCE的中位线,

.-.MHIICE,

：./_AMH=/.MAC,

■：ABAC=90a,

：.AM=BM,

：.ZMAB=ZABM,

•.•点B与点TV关于线段对称，

ZABM=ZANM,AB=AN,

：.AE=AN,

：./_AEN=LANE,

在△/£7V中，ANAE+2^ANE=180°①，

•••ZANE=ZANM+ZMNE,ZABM=ZANM=ZMAB=90°-/LMAC,

：.AANE=90°-^MAC+/.MNE,

；.4ANE=90°-/.AMH+/_MNE®,

将②代入①，得：ZNAE+2X(90°-/,AMH+AMNE)=180°,

NN4E+180°-2NAMH+2£MNE=18G°,

ZNAE+2ZMNE=2ZAMH.

2.【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质，求出户C=8C=1,再判断出24=咫，即

可得出结论；

(2)先判断出△月Bg△。尸。，得出NBAC=N8"进而判断出△4CE9

得出AE=DH,CE=CH,即可得出结论；

(3)先判断出OE=OQ=2,再判断出△。££94。5尸，进而求出PQ=OD=®即

可得出结论.

【解答】(1)解：•••△3。尸和都是等腰直角三角形，

：.AC=CD,FC=BC=1,FB=®

■；AD=BD,是△/即的平分线，

•・•。瓦垂直平分AS,

:.FA=FB=\[^,

：.AC=FA+FC=-/2+^

CD=M+1;

(2)证明：如图2,过剧C作CH_LCE交ED于点H,

•••2X4。尸和都是等腰直角三角形，

：.AC=DC,FC=BC,NACB="CF=9G°;

:AAB8XDFC〈SAS),

ZBAC=ZCDF,

AECH=90°,

：.AACE+Z.ACH=90°,

■：^ACD=90°,

Z.DCH+^ACH=90Q,

：./_ACE=/_DCH.

在△力CE和△。次中，

fZBAC=ZCDF

<AC=DC,

ZACE=ZDCH

：.1\ACE^^DCH(ASA),

：.AE=DH,CE=CH,

:.EH=®CE.

•；DE=EH+DH=®CE+AE;

(3)解：如图3,连接OE,将OE绕点、E顺时针旋转90°得到EQ,连接OQ,PQ,

贝ljOQ=42OE.

由(2)知，ZAED=ZABC+ZCDF=ZABC+ABAC=90°,

在Rt^AED中，点。是斜边AD的中点，

OE=OD=—AD=^-AC=X2=75，

222r2，

OQ=MOE=&X&=2,

在△OED和△QE'尸中，

"OE=QE

<ZOED=ZQEP,

DE=PE

：.^OED^/\QEP(S4S),

；.PQ=OD=M.

-：OP<OQ+PQ=2-^/2,当且仅当。、P、。三点共线时，取“=”号,

的最大值是2地.

图2

3.【分析】(1)如图1中，过点户作FHLAE于H.解直角三角形求出FH,GH,再

利用勾股定理求解即可.

(2)如图2中，取/C的中点M,连接BM,GM,BF.证明AA4m△3MG(S4S),

推出N4囱』NMSG,BF=BG,推出/£SG=/4BM=60°,可得尸G是等边三

角形，推出8G=FG,可得BG=EF+EG=®AE+CG=®AB+CG.

22

(3)如图3中，取/C的中点M,连接BM,GM,BF.在"C上取一点。，使得MD

=±MG,连接DG,BD.证明△M?Gs^"GG推出器=罂=焉,推出DG=±CG,

2GCMG22

推出GB/CG=GB-DGWBD,推出当D,G共线时，3G-/cG的值最大，

最大值为助的长.

【解答】（1）解：如图1中，过点尸作FH1AE于H.

图1

在RtZXABC中，/4C3=90°,AB=2,ZC=30°,

：.AC=2AJ3=4,BC=yf^AB=2M，

•：AE=EC=^AC=2,EG=GC,

：.EG=CG=1,

•；NAFE=9G°,AAEF=30a,

.'.EF=AE*cos30°=遂，

:.FH=^EF=^,HE=gFH=a，

5

：.GH=HE+EG=^,

...FG=JFM+HG2=J(年产+得)2=A

(2)证明：如图2中，取/C的中点”，连接B〃，GM,BF.

图2

•：AM=MC,AABC=90°,

：.BM=AM=CM,

-：AC=2AB9

.\AB=AM=BM9

/.zBAM=zAMB=ZABM=60°,

••・/或纥=120°,

-：AE=2AF9/孙尸=60°,

•••/84斤=120°+AEAC,

'：AM=MC,EG=GC,

/.GM=^AE=AF,GMIIAE,

・•.ZCMG=ZEAC,

：.ABMG=120°+/CMG=120°/_EAC=/_BAF,

:.'BAmXBMC(SAS),

・・・ZABF=ZMBG,BF=BG,

：,Z_FBG=/_ABM=60°,

.•・△E尸G是等边三角形，

：.BG=FG,

・•.BG=EF+EG=CG=®AB+CG.

22

(3)解：如图3中，取ZC的中点/，连接BN,GM,BF.在上取一点。，使

图3

同法可证：△氏4通△BMG(SAS),

：.AABF=/_MBGyBF=BG,

/.ZFBG=ZABM=60°,

.,.△BFG是等边三角形,

：.BG=FG,

■：AM=CM,EG=CG,

：.MG=^AE,

-：AB=3,Z.ABC=90°,N/CB=30°,

：.AC=2,AB=6,AM=CM=3,

13

-：AE=—AC=3,MG=—,

22

13

：.MD=—MG=—,

24

ZDMG=/_GMC,

MCMG2

:.XMDGSXMGC,

.DG_=MD=1

,•而一而一T

：.DG=—CG,

2

GB-/CG=GB-DG<BD,

.•.当B,D,G共线时，4G-/CG的值最大，最大值为的长,

直线/夕，AC,5G围成的三角形为△/年>,

315

­/AD=AM+DM=3+—=—

44

15y3734573

4216

.•.当G54G。最大时，直线极AC,BG所围成三角形的面积为空1.

216

4.【分析】(1)如图1中，过点。作于〃，设利用勾股定理构建方

程求出为即可解决问题.

(2)如图2中，延长/斤到G,使得力户=3，连接。G,CG,延长GC交囱?于T,

过点。作CH18Z?于想办法证明△力(SAS),可得结论.

(3)如图3中，取力。的中点。，连接OP,OB,OC,取的中点J,连接QJ,

CJ,过点。作。尸14S于尸，在㈤上取一点T,使得JT=爷，连接QT,TC.想办

5

法证明△QJTS^BJQ,推出襄=口=夸=堡，推出QT=^~BQ,推出

BQJQ逅"1010

C0率归Q=COQ7>CT,求出CT,可得结论.

【解答】（1）解：如图1中，过点。作CH：LBD于H,设EH=x.

•・•△4DE是等边三角形,

.'.AD=DE=4,£AED=£CEH=6G°,

•"CHE=9G°,

/.CE=577*tan600=\[yc,

,:CU=Clf+Dff,

.1.25=3A2+(A+4)2,

.,.4A2+8X-9=0

”=匚手1或（舍弃），

22

.CJC/-V39-2V3

2

•••S△咏=*X4X标产=点一273.

解法二：过点B作BJ1/C交/。的延长线于J,过点。作ATI力后于T.

图1

证明反/=。7,求出。7,即可解决问题.

(2)证明：如图2中，延长力少到G,使得R7=/尸，连接。G,CG,延长GC交BD

于T,过点。作。〃1由于H.

•:AF=FG,CF=FD,

四边形/CG。是平行四边形，

：.ACIIDG,GCIIAD,

：.ACAD+AADG=180°,

•••△力。后是等边三角形，

：.AE=AD,ZAED=ZADE=ZEAD=60°,

：.AAEB=AADG=120°,

：./LCGD=AEAD=6G°=ZGDT,

.•.△Z?GT是等边三角形，

：.DG=DT,乙CTE=乙CET=6D°,

.♦.△CET是等边三角形，

:.CT=CE,CTE=乙CET=6b°,

•1,CB=CD,CHLBD,

：.BH=DH,TH=EH,

：.BT=DE,

：.BE=DT=DH,

:•△AEB^XADG(SAS),

：,AB=AG=2AF.

(3)解：如图3中，取4。的中点O,连接OP,OB,0G取。夕的中点J,连接

QJ,CJ,过点。作。尸148于5，在上取一点T,使得J7=零，连接。T,TC.

5

.\^ADC=90°,

CF_LAB9

：，ACFA=90°,

..・四边形是矩形，

：.AD=CF=4®,

CF

vtanZCSz4=—=2,

BF

BF=2yl"^,

：.AD=AF,

••・四边形4F8是正方形，

BC=7BF2+CF2=d(2加产+(蚯)2=2Tio，co=VOD2+CD2=

7(2V2)2+(4>/2)2=2^.OB=VOA2+AB2=4VS.

CB=CO,

•••CF=CD,ZCFB=ZCDO=900,

RtACFB^Rt^CDO（HL）,

ZBCF=ZDCO,

：.Z.BCO=Z.DCF=9GQ,

■：BJ=JO,

：.CJ=^OB=2yfs，

•-3历春？=/哈）2+（2粕）2=零，

,:BQ=QP,BJ=JO,

:,QJ=¥P=®

••,Qj=2,TJ・JB=^X2娓=2,

5

:.Qj=JDJB,

.QJ=JB

,\TTQ.T，

•/ZQJT=ZQJB,

△QJTSXBJQ、

.QT_jT_^-_Vio

■'BQTQ宕10'

QT=^^~BQ,

10

/.CQ^-^-BQ=CQ+QT>CT=^^-,

•・・嬖8Q的最小值为喳5.

105

5.【分析】（1）如图1中，过点户作FHLBC于H.设FH=CH=m,则BH=43^,

根据5。=«+1,构建方程求出m,即可解决问题.

(2)如图2中，连接。区过煎D作DHLDE交BE于■H.证明3〃=EC,ADHE

是等腰直角三角形即可解决问题.

(3)如图3中，过点“作儿。1反7于/过点尸作总16。于£.证明tan/〃R7

=斗=2,推出点〃的在射线B"上运动，推出当C,F',〃共线，且C701BN时，

D.I

F'〃的值最小.设想办法求出7?MPF可得结论.

【解答】(1)解：如图1中，过点尸作W1BC于H

图1

-：CD_LAB9

・・."。。=90°,

"EC=45°,

/.ZZ?CS=90°-45°=45°,

••,FHtCH,

.\^FHC=90°,

:.乙HFC=/_HCF=45°,

；.CH=FH,

设FH=CH=m,

•：AABE=15°,

••・/咫。=45°-15°=30°,

BH=^3222,

:

.\m=1,

・•.CF=MCH=®

■：CD=^-BC=,

22_

DF=CD-CF=^+^-&=瓜—近.

2N2

(2)证明：如图2中，连接。£,过点D作DH工DE交BE于H.

A

图2

•；NADC=Z.FDB=90°,DB=DC,BF=AC,

.\RtABDF^Rt/\CDA(HL),

••.(DBF=/_ACD,

•・,ZBFD=ZCFE,

:.XBFDsXCFE、

.DF_BF

••丽一瓦’

.DF_EF

••丽―丽’

•.・/DFE=ZBFC,

:.RDFESRBFC,

；,/_DEF=乙BCF=45°,

•:DHIDE,

:"HDE=9N,

・•・2DHE=£DEH=45°,

••.DH=DE,

VZBDC=ZEDH=90°,

・•.ZBDH=ZCDE,

♦:DB=DC,DH=DE,

:.XBDH迫XCDE<SAS),

:.BH=EC,

♦:DH=DE,DG1EH,

：.GH=EG,

:.DG=^EH,

/.BE=BH+HE=EC+2DG.

(3)解：如图3中，过点〃作于/过点。作于K

图3

，：ABHR,△ABC都是等腰直角三角形，

ZDBC=ZHBR=45°,

：.£HBC=90°,

,:乙H=LHBJ=LMJB=90°,

••・四边形是矩形，

：.BH=MJ,HM=BJ,

■：BH=HR,HM=MR,

：.MJ=2BJ,

.♦.tan/〃R/=®l=2,

B.T

.••点”的在射线上运动，

.♦.当。，P,M共线，且。〃时，P〃的值最小.

设4O=m,

•：tanAACD=—=—,

3CD

：,CD=BD=3m,DF=AD=m,CF=CF'=2m,BC=3y[^m,

•：/.CMB=90°,tanZCSAf=—=2,

BM

・•.BM=亚如加血m,

55_

BJ=JM-BH=HR=^^m,

55

5

设BK=PK=n,CK=2n,

:.BK=PK=,CK=2yp^m,PC=y/~[Qm,

.-.PF'=PC-CF'=Ji而-2M,

.MR_3?m

,,pp---^=2——5--

6.【分析】(1)通过作辅助线，构造直角三角形，借助解直角三角形求得线段的长度；

(2)通过作辅助线，构造全等三角形，设AC=a,利用中位线定理，解直角三角形，

用a的代数式表示8和HG,即可得CD与HG的数量关系；

(3)构造阿氏圆模型，利用两点之间线段最短，确定4(4)的位置，继而求得相关三

角形的面积.

【解答】解：(1)过。作。G_L5C,垂足是G,如图1:

•.•将由绕点B顺时针旋转90°得至ijBE,

：.AEBD=90°,

•：NABE=75°,

.­.^ABD=15°,

J/ABC=45°,

：.ADBC=30°,

在直角amG中有。G4BD=2,BG=V3DG=2/3,

••,//C6=45°,

在直角△OCG中，CG=DG=2,

：.BC=BG+CG=2+2V3>

-,AC=^BC=42^

(2)线段。C与线段的数量关系为：HG=4CD，

证明：延长C4,过后作垂直于C4的延长线，垂足是M连接加，ED,过G作

GMIAS于如图:

B

图2

：.£END=9G,

由旋转可知/后m=90°,

：.LEDB=4S°

:.(END=£EBD=9G°,

.--E,B,D,N四点共圆，

:.(BNE=/_EDB=45°,ANEB+/_BDN=

■：ZBDC+ZBDN=1800,"8=45°,

ZBEN=ZBDC,

:.LBNE=45°=ZBCD,

在XBEN郑XBDC中，

，ZBNE=ZBCD

"ZBEN=ZBDC,

BE=BA

：./\BEN^/\BDC(AAS),

：.BN=BC,

■：ABAC=90°,

在等腰△EVC中，由三线合一可知84是GV的中线,

,:乙BAC=/.END=90°,

:.ENHAB,

・.•/是CW的中点，

，尸是EC的中点，

••・G是BC的中点，

.•.RG是△跳？。的中位线，

••,FGIIEE,FG=^BE,

♦：BE1BD,

:.FG1BD,

•・,ZABD=30。,

・・.NBbG=60°,

•.240。=45°,

/.ZFGF=75°,

设AC=a.,则AJ3=a,

在RtZi4B。中，AD=®a，BD=BE=^^a，

33

：.FG=—BE,

2

；.FG=乌软,

3

•/GMLAB,

.♦.△BG"是等腰三角形，

■.MG=MB=^QJ1x|BC=^-x1x^AC-|a.

在RtZ\A/FG中，£MFG=60°,

；FMF=MG,

：.BF=BM+MF=a,

6&

在RtZ\3酬中，ABFG=60°,

■.FH=^=^^a,

乙

：.HG=FG一吁与a-^~a=,仁1)a,

又；CD=a~^~a=^-(F-l)a'

oo

CD

'•,前=一_L

&

.・.〃G=-D；

4

(3)设AB=a,则BC=g,取BC的中点N,连接A'D,A'C,A'N,连接

DN,如图3,

图3

由旋转可知/'B=AB=a,

a

•.9=启=后,工=运=

BN芋a72，£§a

.A7B_BC

BN=AyB^r2,

又乙ABN=£CBA,

.•.△4BN^^CBA',

.A7N_AyB_V2

"A7C"BCT，

,-.AN=^AC,

2

根据旋转和两点之间线段最短可知，A'DC最小，即是47V最小，此时D、

4、N共线，即4在线段ZW上,

设此时4落在4处，过力作4/1/8于入连接44”，如图4,

■.-D,N分别是月。，BC的中点,

.,.£W是△力B。的中位线，

：.DNHAB,

■：AB]_AC,

：.DN]_AC,

•."/=/4"=/4力力=90°,

•••四边形4'胆。是矩形，

：.AF=A'D,A'F=AD=2,

•.•又4归=45=4,

设/斤=x,

在直角三角形用中，Al'Bi=A''f2+BFz,

,-.42=22+(4-x)2,

解得x=4-2A/3.

,此时S^BC=S▼BC-S^..AC=jAB-AC-^AB-A'F-1AC^D=^X4

X4-yX4x2-yX4X(4-273)=4«-4.

7.【分析】(1)利用30°角求出力B和5后的长度，4E即为工。长度，利用勾股求出

BD长度;

(2)构造两个120°的等腰三角形，底边郎=西4尸=百4。,得出西4。+咫=尸3,

根据S4S证得FB=BF,由中位线得M户=2CM,即可得证结论；

(3)延长歹〃，便。尸=。尸’，由〃、〃分别为中点，得DM=FB,当F\4B三

点共线时广。最小，则。M最小，确定此时点〃在上，过〃作力。平行线〃产，

易得△〃次为等边三角形，由△MAW是等边三角形，根据S4s证二△RVW,

可得N"O7V=NMW=60°=LPDM,即确定了"运动轨迹在直线DP±,

2MN+MDN,可转化为等腰直角三角形得斜边和直角边数量关系，最后根据三角形两

边之差《第三边(共线时取等号)求出最小值即可.

【解答】解：(1)••,//。3=90°,"AC=6G°,AC=4,

：.AB=AC^cos60°=8,

•JCE1AB,

AE^2C・cos60°=2,

.\AD=AE=29

•・•/月。3=90°,

22=22=2

•1-BD=7AB-ADVS-2Vl5；

(2)延长也至少，使DF=DF,延长8。至B使C3=CB,连接收、AB.AF,

•:DF=DF,CB=CB,/ADF=NACB=90°,

：.AF=AF,AB=AB,

•；NCAB=NDAF=60°,

:.NBAB=NFAF=120°,

ZBAB+LFAB=ZFAF+AFAB,

即/9力4/A4斤，

:AABF^AABF(SAS),

：.BF=BF,

•：C.〃分别是BE、FB的中点,

：.BF=2CM,

■：AC=2AE,AF=2AD,AD=AE,

：.AC=AF,

•：AF=AF,/必F=120°,

；.FF=■J^AF=yf^AC,

：.BF+42AC=BF+FF=BF=BF=2CM,

即2cM=BF+4^AC;

(3)延长尸。至尸'，使歹'。=少〃

••・〃、”分别为尸歹、尸4中点，

：.DMIIF'3且DM=¥'B,

当F在线段上时，斤’3最小(如右图3),

此时〃在线段/。上，此时〃〃最小=景归=分4=2=4〃，

过点〃作MP///G交48于点尸，

连接。P,DN,

■：MPIIAD,APIIDM,AD=DM=2,

四边形力〃MP是菱形，

■：ACAB=60°,

.•.△0MP是等边三角形，2MPN=60。，

MN绕点M旋转60：

是等边三角形，

△DMN94PMN(SSS),

：.£MDN=£MPN=6G°=ZPDM,

即N运动轨迹在DP上,

以ON为斜边作等腰直角三角形ODN,

则ON=^DN,

2

,r(2MN-&DN)=2(MN-与DN)=2(MN-ON),

•：MN-ONaMO,

・•・当"OAf三点共线时MN-CW最小为OM,

•；ZNDM=60°,ZTV270=45°,

/.ZOZ7M=15°,

作NGMD=ZGDM=15°,则N/GZ?=30°,

设OM=x,OG=、［^x,GM=DG=2x,DO=2x^yf^x,

•；DCP+MCP=DA^,

/.(2x+«x)2+9=22,

解得X=李_①，

22

(2MN-DN)最小值=2。”=戈-亚.

B

图3

8.【分析】(1)过点£作助12。于点H,根据等腰直角三角形的性质求出力。=助

=CD=4瓜由EHLBC可得出EH=HC=g^CE=近,则BH=BC-CH=7®

证出40//EH,可得ABDQS^BHE,根据相似三角形的性质即可得。。的长；

(2)过点/作/K1BE交BC于点K,延长氏4至点R,使得力7?=力E,连接CR,

延长8E交CR于点T,利用4S4证明△A4g△力CK(4S4),根据全等三角形的性

质得/。=。《，再证445£9/\/。/?(SAS),得//B反可得出N£TC=

90°,则AKUCR,根据平行线分线段成比例定理可得GK=CK,贝l]BC=®C=

BG+CG=BG+2CK=BG+2AQ,即可得出结论；

(3)解：连接力"，过点"作"SIR。于点S,根据等腰直角三角形的性质求出

*EF=2®则点〃在以Z为圆心，2加为半径的。月上移动，利用44s证明△

MB24BNR〈AAS),可得BS=JVR,MS=BR,则当7W?最小时，即6s最小，由

图可得当且仅当MS与。/相切时，AS取得最小值，此时，AM=ME=2如，点E落

在线段月B上，AE=BE=4,BS=ES=2正,在RtAMSR中，根据勾股定理即可求

解.

【解答】(1)解：过点E作EHLBC于点H,

■：AB=AC=8,/54。=90,

：.BC=yf^AB=8近,ABC=AACB=450,

,.,2。平分NA4G

：,AD]_BCyAD=BD=CD=4y[2^

-：AE=AF9

：,AB-AF=AC-AE,

：.BF=CE=2,

•・,EH1BC,

：.ADIIEH,NEHC=9N,

:./_HEC=Z_HCE=45°,

HE=HC=堂CE=&,

：.BH=BC-CH=7近,

■：ADIIEH,

：.4BDQS4BHE,

.BD.DQ_W2_4

一丽同一7加7，

:.DQ=9HE=^&；

77

(2)证明：过点力作力43E交BC于点K,延长氏4至点尺使得/欠=4E,连接

CR,延长BE交CR于点T,

••,AD平分/期C,NBAC=9G°,

NBAD=45°,

:./_BAD=^ACB,

■：AKVBE,

：.AABQ^ABAK=90a,

•・•NA4aNG4K=90°,

在XABQXC4K中，

'NABQ:NCAK

<AB=CA,

ZBAQ=ZACK=45"

：./\BAQ^[\ACK(ASA),

:.AQ=CK9

在和△4C7?中，

'AB=AC

<ZBAE=ZCAR=90",

AE=AR

:.XABE^XACR〈SAS),

・・.ZABE=ZACR,

^ABE+AAEB=90°,/_AEB=/_CET,

.\/_ACR+ACET=90°,

AETC=90°,

即CR_LBE,

,,AKIBE,

：,AK\\CR、

•••2£=2尸=月??,

・•.GK=CK,

•・•BC=y/2AC=CG=BE2CK,

：,BG+2AQ,

2AQ=BG\

(3)解：连接Z",过点〃作“S1GC于点S,

A

■：AE=AF=4,NEAF=90°,

；.EF=y[^AE=4M,

•.・点〃是E户的中点，

：.AM=^EF=2y/2,

.,.点”在以/为圆心，2料为半径的。力上移动,

••・是等腰直角三角形，

：.BM=BN,/.MBN=9G°,

：.ANBR+/_MBS=90°,

•：NRVBC,MSLBC,

：.ZNRB=ZBSM=90°,

：.Z.NBR+/LBNR=9Q°,

ZMBS=ZBNR,

在△A®S和△B7VR中，

，ZMBS=ZBNR

<ZBSM=ZNRB,

BM=NB

：./\MBS^^BNR(AAS),

：.BS=NR,MS=BR,

当八次最小时，即AS最小，

如图当且仅当MS与。/相切时，BS取得最小值,

此时，AM=ME=2近,点E落在线段A8上，AE=BE=4,BS=ES=2版,

：.MS=BR=ME+ES=4®

SR=BR-BS=2yj'^,

在RtZXAf