传输原理边界层理论

传输原理边界层理论第一页，共四十九页，2022年，8月28日边界层理论本章主要内容1.介绍边界层的基本概念及特点；2.平面层流边界层微分方程及其求解；3.平面层流边界层积分方程及其求解；4.平板绕流摩擦阻力的计算

第二页，共四十九页，2022年，8月28日边界层理论

理论形成的背景：实际流体流动方程是非线性偏微分方程，难以求解；人们注意到大多数实际流体的流动都可以分为两个区域，即靠近壁面、速度梯度较大的一薄层（边界层）和大部分远离壁面、速度梯度较小的区域。对速度梯度较小的区域可以利用理想流体的欧拉方程和伯努利方程求解；对很薄的边界层可以通过简化后再求解。这样就将整个区域求解问题转化为主流区的理想流体的流动问题和靠近壁面边界层内的流动问题。当然，与此同时就有一个区域的划分问题或者说有一个边界层厚度的确定问题。第三页，共四十九页，2022年，8月28日边界层理论

意义：粘性流体流动理论应用于实际问题，明确了研究理想流体流动的实际意义，在流体力学的发展中起了非常重要的作用。第四页，共四十九页，2022年，8月28日第一节边界层的基本概念一、边界层的定义边界层：流体在流经固体壁面时，在固体壁面形成速度梯度较大的流体薄层。边界层的厚度：流速相当于主流区速度的99%处，到固体壁面的距离称为边界层厚度。二、边界层的形成与特点为什么会形成边界层？因为流体内部存在粘附力或粘性力。我们已经知道：流体流过管道时，其流动形态是通过雷诺数来判别的。Re=dυρ/η第五页，共四十九页，2022年，8月28日第一节边界层理论的基本概念当Re<Recr时，流动为层流；Re>Recr

时，流动为湍流。对于流体掠过平板的流动，流动形态仍然可通过雷诺数来判别，不过此时的雷诺数用Rex=xν0ρ/η计算。其中：x

为流体进入平板的长度，又称进流深度；ν0为主流区流体速度。对于光滑平板而言：Rex<2×105时为层流；Rex>3×106时为湍流；2×105<Rex<3×106为层流到湍流的过渡区。第六页，共四十九页，2022年，8月28日

第一节边界层理论的基本概念（1）层流区：x<xc

（xc为对应于Rex=2×105的流进深度。）（2）过渡区：随着流进深度的增长，当x>xc

，使得Rex>2×105，且Rex<3×106时。在这一区域内，边界层的厚度随着流进尺寸的增加而迅速增加。（3）湍流区：随着流进尺寸的进一步增加，使得Rex>

3×106，这时边界层内的流动形态已进入湍流状态，边界层的厚度随流进长度的增加而迅速增加。第七页，共四十九页，2022年，8月28日第一节边界层理论的基本概念应特别强调的是：无论过渡区还是湍流区，其边界层最靠近壁面的一层始终都是作层流运动，此即所谓的层流底层。注意：层流底层和边界层的区别与联系层流底层是根据有无脉动现象来划分；边界层则是根据有无速度梯度来划分。边界层内的流体可以是层流流动，也可以是作湍流流动。第八页，共四十九页，2022年，8月28日第一节边界层理论的基本概念第九页，共四十九页，2022年，8月28日第二节平面层流边界层微分方程（普朗特边界层微分方程）一、微分方程的建立对于二维平面不可压缩层流稳态流动，在直角坐标系下满足的控制方程为连续性方程x方向动量传输方程y方向动量传输方程第十页，共四十九页，2022年，8月28日第二节平面层流边界层微分方程（普朗特边界层微分方程）考虑不可压缩流体作平面层流（二维流场），此时质量力对流动产生的影响较小，则有方程组连续性方程x方向动量传输方程y方向动量传输方程因为是一个无穷小量，所以是一个高价无穷小，可以略去不计。第十一页，共四十九页，2022年，8月28日第二节平面层流边界层微分方程（普朗特边界层微分方程）于是，

x方向动量传输方程可简化为关于y轴方向上的动量传输方程，因为边界层厚度δ很小，第三式中的Vy对x和y的各项偏导数与x轴方向上的动量传输相比均属无穷小量，可略而不计。因而，第三式可以简化为第十二页，共四十九页，2022年，8月28日第二节平面层流边界层微分方程（普朗特边界层微分方程）对主流区中的同一y值，不同的x值其伯努利方程可写为由于ρ与υ0皆为常数，故p为常数，即dp/dx=0因此第十三页，共四十九页，2022年，8月28日第二节平面层流边界层微分方程（普朗特边界层微分方程）

普朗特边界层微分方程的解是由他的学生布拉修斯在1908年首先求出的，他首先引入了流函数的概念，得出边界层微分方程的解是一无穷级数。所以，原方程组就简化为

定解条件为第十四页，共四十九页，2022年，8月28日第二节平面层流边界层微分方程（普朗特边界层微分方程）边界层厚度δ与流进距离x和流速υ0的关系为式中：Cn为二项式的系数；A2为系数，可由边界条件确定。第十五页，共四十九页，2022年，8月28日第三节边界层内积分方程（冯—卡门方程）

一、

边界层积分方程的建立

前面将连续性方程与纳维尔～斯托克斯方程应用于边界层，并通过合理的简化处理，使方程的形式大为简化。但所得到的布拉修斯解仍然是一个无穷级数，使用时很不方便。而且还只能用于平板表面层流边界层。现在我们将直接从动量守恒定律出发，建立边界层内的动量守恒方程。第十六页，共四十九页，2022年，8月28日第三节边界层内积分方程（冯—卡门方程）

1）从AB面单位时间流入的质量记为mx、动量记为Mx

对如图所示的二维平面流动问题，取图示的控制体（单元体），断面为ABCD，垂直于图面方向（z轴方向）取单位长度。

第十七页，共四十九页，2022年，8月28日第三节边界层内积分方程（冯—卡门方程）2）从CD面单位时间流出的动量记为Mx+Δx，流出的质量记为mx+Δx

3）从BC面单位时间内流入的质量记为ml，流入的动量在x方向的分量记为Ml；而AD面没有流体的流入、流出。第十八页，共四十九页，2022年，8月28日第三节边界层内积分方程（冯—卡门方程）根据质量守恒定律，则有BC面在边界层之外，流体沿x方向的速度近似等于υ0，故此由BC面流入的动量在x方向的分量Ml4）AD面没有质量流入、流出，但有动量通量存在，其值为τ0，故此由AD面在单位时间内传给流体的粘性动量为τ0Δx。第十九页，共四十九页，2022年，8月28日第三节边界层内积分方程（冯—卡门方程）5）沿x方向一般情况下还存在着压力梯度。所以，由于作用在AB面和CD面上的压力差而施加给控制体的作用力为通过前面的推导我们已经知道所以，上式变为第二十页，共四十九页，2022年，8月28日第三节边界层内积分方程（冯—卡门方程）建立动量守恒方程如下化简后得第二十一页，共四十九页，2022年，8月28日第三节边界层内积分方程（冯—卡门方程）上式就是边界层积分方程，也称为冯～卡门方程。由前面的分析我们知道是一小量，可略去不计，这时方程进一步简化为

第二十二页，共四十九页，2022年，8月28日第三节边界层内积分方程（冯—卡门方程）上式即为简化后的冯～卡门方程，可以用于不同的流态，只要是不可压缩流体就可。二、层流边界层积分方程的解波尔豪森是最早解出冯～卡门方程的人，他分析了方程的特点，假设在层流情况下，速度的分布曲线是y的三次方函数关系，即υx=a+by+cy2+dy3式中的四个待定常数a、b、c、d

可由以下边界条件确定：第二十三页，共四十九页，2022年，8月28日第三节边界层内积分方程（冯—卡门方程）这些边界条件是条件1），2），3）是显而易见的;条件4）是由于y=0时，υx=υy=0；

再结合前面推导的普朗特微分方程而得到第二十四页，共四十九页，2022年，8月28日利用上述边界条件确定出：a=0，c=0，第三节边界层内积分方程（冯—卡门方程）因此，速度分布可表示为或者将上式联立冯-卡门方程，就可求出速度分布和边界层厚度δ

上式给出了边界层厚度δ与进流距离和速度的关系。第二十五页，共四十九页，2022年，8月28日第三节边界层内积分方程（冯—卡门方程）三、湍流边界层内积分方程的解在湍流情况下，冯-卡门积分方程中的τ0为一般的应力项，要想解上述方程也必须补充一个υx与δ之间的关系式，它不能由波尔豪森的三次方函数给出，此时要借助圆管内湍流速度分布的1/7次方定律用边界层厚度δ代替式中的R得到

用它来代替波尔豪森多项式的速度分布，根据圆管湍流阻力的关系式，得出壁面切应力τ0为

第二十六页，共四十九页，2022年，8月28日第三节边界层内积分方程（冯—卡门方程）代入积分方程可得到将它和积分后得第二十七页，共四十九页，2022年，8月28日第三节边界层内积分方程（冯—卡门方程）由边界条件由此可见：湍流边界层厚度（δ∝x4/5），比层流边界层厚度（δ∝

x1/2）随进流距离增加而增厚要快得多。从而得到湍流边界层厚度的分布第二十八页，共四十九页，2022年，8月28日第四节平板绕流摩擦阻力计算

对于实际流体掠过平板作层流流动，由于流体粘性的作用，使得流体和平板之间存在着相互作用力，即根据上式，如果我们知道流体在边界层内的速度分布υx和流体的动力粘度η，则平板对流体的作用力就可以很方便地通过上式求出。第二十九页，共四十九页，2022年，8月28日第四节平板绕流摩擦阻力计算一、不可压缩流体作层流掠过平板表面流动时的摩擦阻力

通常定义摩擦阻力系数Cf为对于长度为L、宽度为B的平板，其总阻力S为我们注意到第三十页，共四十九页，2022年，8月28日第四节平板绕流摩擦阻力计算即可求出层流条件下掠过平板表面的摩擦阻力系数Cf请注意：讲义中此处应补充以下内容霍华斯（Howarth)对微分方程通过数值计算给出。其中第三十一页，共四十九页，2022年，8月28日第四节平板绕流摩擦阻力计算

另一方面，由边界层积分方程的解，也可以计算出层流平面绕流摩擦阻力，所以，总阻力即由和可得到注意：原教材中该部分多处有误！请参照改正。（P71）第三十二页，共四十九页，2022年，8月28日第四节平板绕流摩擦阻力计算以上的推导可见：无论从边界层微分方程出发还是从边界层积分方程出发，都可以求出固体壁面与流体之间的摩擦力，其结果相差不大。所以联立式同样可求得层流条件下掠过平板表面的摩擦阻力系数Cf第三十三页，共四十九页，2022年，8月28日第四节平板绕流摩擦阻力计算二、不可压缩流体作湍流流动掠过平板表面时的摩擦阻力计算湍流掠过平板表面时，流体与平壁之间的摩擦阻力不仅与分子粘性有关，而且还与湍流的脉动有关。此时在边界层内借助速度的1/7次的经验公式，即把它代入冯•卡门方程可得第三十四页，共四十九页，2022年，8月28日第四节平板绕流摩擦阻力计算此时δ由湍流边界层公式给出，即

对于长度为L、宽度为B的平板，其总阻力S

为第三十五页，共四十九页，2022年，8月28日这时平板摩擦阻力系数可由下式给出上式适用于105<ReL<

107，若将系数0.072改成0.074与实验结果更吻合。第四节平板绕流摩擦阻力计算第三十六页，共四十九页，2022年，8月28日第五章例题讲解【例5-1】运动粘度的空气以速度掠过一平板，试求：1、进流深度为50cm处的边界层厚度；2、进流深度为50cm、板面上方距板面5mm处空气的流速；3、相同的进流深度、板面板面上方距板面15mm处空气的流速。解：1）先计算Re，判别流态。

第三十七页，共四十九页，2022年，8月28日第五章例题讲解3）对该处，处于边界层外。2）因进流深度50cm处的边界层厚度为7.3mm，求解处位于层流边界层内，该处空气的流速为：故该处空气的流速第三十八页，共四十九页，2022年，8月28日【例5-2】如图所示，η=0.73Pa•s、ρ=925kg/m3的流体以0.6m/s的速度平行地流过一块长0.5m的光滑平板。试求：1）求边界层的最大厚度δ＝？2）求A点（位于壁面处）、B点（板上方50mm处）和C点（板面上方90mm处）三处x方向的速度以及它们在y方向的速度梯度第五章例题讲解

解：①先计算Re，判别流态。第三十九页，共四十九页，2022年，8月28日第五章例题讲解边界层的最大厚度

在平板的最右端。解：②设在x=200mm处的边界层厚度为δ，先计算该处的Re，判别流态。(层流)第四十页，共四十九页，2022年，8月28日第五章例题讲解A点处：y=0根据层流边界层内的速度分布公式第四十一页，共四十九页，2022年，8月28日第五章例题讲解B点处：C点处：第四十二页，共四十九页，2022年，8月28日【例5-3】设空气从宽为40cm的平板表面流过，空气的流动速度v0=2.6m/s;空气在当时温度下的运动粘度ν=1.47×10-5m2/s。试求：流入深度x=30cm处的边界层厚度，以及距板面高y=4.0mm处的空气流速及板面