传热学非稳态导热

传热学非稳态导热第一页，共九十五页，2022年，8月28日１、重点内容：

①非稳态导热的基本概念及特点；②集总参数法的基本原理及应用；③一维非稳态导热问题。

2、掌握内容：

①确定瞬时温度场的方法；②确定在一时间间隔内物体传导热量计算方法。

第二页，共九十五页，2022年，8月28日3.1非稳态导热的基本概念物体的温度随时间而变化的导热过程为非稳态导热。自然界和工程上许多导热过程为非稳态，t=f()冶金、热处理与热加工中工件被加热或冷却；锅炉、内燃机等装置起动、停机、变工况；自然环境温度；供暖或停暖过程中墙内与室内空气温度。1定义第三页，共九十五页，2022年，8月28日2非稳态导热的分类周期性非稳态导热：物体的温度随时间而作周期性的变化非周期性非稳态导热（瞬态导热）：物体的温度随时间不断地升高（加热过程）或降低（冷却过程），在经历相当长时间后，物体温度逐渐趋近于周围介质温度，最终达到热平衡。物体的温度随时间的推移逐渐趋近于恒定的值着重讨论瞬态非稳态导热。第四页，共九十五页，2022年，8月28日第五页，共九十五页，2022年，8月28日非稳态导热过程中在热量传递方向上不同位置处的导热量是不同的；不同位置间导热量的差别用于（或来自）该两个位置间内能随时间的变化，这是区别与稳态导热的一个特点。对非稳态导热一般不能用热阻的方法来作问题的定量分析。第六页，共九十五页，2022年，8月28日

3温度分布第七页，共九十五页，2022年，8月28日4几个同的阶段依据温度变化的特点，可将加热或冷却过程分为三个阶段。第八页，共九十五页，2022年，8月28日不规则情况阶段(右侧面不参与换热

)：温度分布显现出部分为非稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布，即：在此阶段物体温度分布受初始温度分布的影响较大。必须用无穷级数描述。

第一阶段第九页，共九十五页，2022年，8月28日正常情况阶段(右侧参与换热)当右侧面参与换热以后，物体中温度分布不受初始温度的影响，主要取决于边界条件及物性，此时非稳态导热过程进入到正规状况阶段。环境的热影响已经扩展到整个物体内部，即物体（或系统）不再受到初始温度分布影响的阶段。可以用初等函数描述第二阶段第十页，共九十五页，2022年，8月28日建立新的稳态阶段，理论上需要无限长时间物体各处的温度达到新的稳态第三阶段两类非稳态导热的区别：瞬态导热存在着有区别的三个不同阶段，而周期性导热不存在。

第十一页，共九十五页，2022年，8月28日5热量变化Φ1－－板左侧导入的热流量Φ2－－板右侧导出的热流量各阶段热流量的特征：不规则情况阶段段：Φ1急剧减小，Φ2保持不变；正常情况阶段：Φ1逐渐减小，Φ2逐渐增大。

第十二页，共九十五页，2022年，8月28日在规定的初始条件及边界条件下求解导热微分方程式，是本章主要任务。非稳态导热问题的求解实质三个不同坐标系下导热微分方程式，用矢量形式统一表示为：温度的拉普拉斯算子第十三页，共九十五页，2022年，8月28日初始条件的一般形式简单特例

f(x,y,z)=t0边界条件：着重讨论第三类边界条件第十四页，共九十五页，2022年，8月28日学习非稳态导热的目的：(1)温度分布和热流量分布随时间和空间的变化规律(2)非稳态导热的导热微分方程式：第十五页，共九十五页，2022年，8月28日(3)求解方法：分析解法、近似分析法、数值解法分析解法：分离变量法、积分变换、拉普拉斯变换近似分析法：

集总参数法、积分法数值解法：有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法、分子动力学模拟第十六页，共九十五页，2022年，8月28日1）定义：2）Bi

物理意义：物体内部单位导热面积上的导热热阻与单位表面积上的对流换热热阻之比。Bi的大小反映了物体在非稳态条件下内部温度场的分布规律。

3）特征数（准则数）：表征某一物理现象或过程特征的无量纲数。

4）特征长度：是指特征数定义式中的几何尺度。无量纲特征数（准则数）

-毕渥数第十七页，共九十五页，2022年，8月28日第三类边界条件下Bi数对平板中温度分布的影响在第三类边界条件下，确定非稳态导热物体中的温度变化特征与边界条件参数的关系。

已知：平板厚2、初温t0、表面传热系数h、平板导热系数，将其突然置于温度为t∞的流体中冷却。

第十八页，共九十五页，2022年，8月28日平板中温度场的变化会出现以下三种情形：

第十九页，共九十五页，2022年，8月28日（1）表面对流换热热阻几乎可以忽略，因而过程一开始平板的表面温度就被冷却到t∞

随着时间的推移，整体地下降，逐渐趋近于一致第二十页，共九十五页，2022年，8月28日（2）平板内部导热热阻几乎可以忽略，因而任一时刻平板中各点的温度接近均匀，随着时间的推移，整体地下降，逐渐趋近于t∞第二十一页，共九十五页，2022年，8月28日平板中不同时刻的温度分布介于上述两种极端情况之间。（3）与

的数值比较接近

两个热阻的相对大小对于物体中非稳态导热的温度场的变化具有重要影响。引入表征这两个热阻比值的无量纲数毕渥数。第二十二页，共九十五页，2022年，8月28日3.2零维问题的分析法－集总参数法

定义：忽略物体内部导热热阻、认为物体温度均匀一致的分析方法。此时，，温度分布只与时间有关，即，与空间位置无关。因此，也称为零维问题。工程上把Bi﹤0.1作为该情况的判据近似分析法第二十三页，共九十五页，2022年，8月28日集总参数法的简化分析如果物体的导热系数很大，或几何尺寸很小，或表面换热系数极低，其导热问题都可能属于这一类型的非稳态导热问题。

第二十四页，共九十五页，2022年，8月28日3.2.1

集总参数法温度场的分析解h,tAφcΔΕρ,c,V,t0一个集总参数系统，其体积为V、表面积为A、密度为、比热为c，初始温度为t0，突然放入温度为t、换热系数为h的环境中冷却。求物体温度随时间变化的依变关系

第二十五页，共九十五页，2022年，8月28日数学模型建立利用两种方法根据导热微分方程的一般形式进行简化；利用能量守恒热平衡关系：内热能随时间的变化率ΔΕ＝通过表面与外界交换的热流量φ。第二十六页，共九十五页，2022年，8月28日方法一导热微分方程：

物体内部导热热阻很小，忽略不计。物体温度在同一瞬间各点温度基本相等，即t仅是τ的一元函数，与坐标x、y、z无关，即:第二十七页，共九十五页，2022年，8月28日qv可视为广义热源，而且热交换的边界不是计算边界（零维无任何边界）界面上交换的热量应折算成整个物体的体积热源，即：

物体被冷却，φ应为负值适用于本问题的导热微分方程式h,tAφΔΕρ,c,V,t0第二十八页，共九十五页，2022年，8月28日当物体被冷却时（t>t）,由能量守恒可知方法二适用于本问题的导热微分方程式物体与环境的对流散热量=物体内能的减少量

h,tAφcΔΕρ,c,V,t0第二十九页，共九十五页，2022年，8月28日初始条件控制方程方程式改写为：导热微分方程:第三十页，共九十五页，2022年，8月28日

积分过余温度比其中的指数：温度呈指数分布傅立叶数第三十一页，共九十五页，2022年，8月28日应用集总参数法时，物体过余温度随时间的变化关系是一条负自然指数曲线，或者无因次温度的对数与时间的关系是一条负斜率直线

第三十二页，共九十五页，2022年，8月28日导热体在时间0－内传给流体的总热量：当物体被加热时(t<t)，计算式相同。3.2.2导热量计算式、时间常数与傅立叶数1、导热量计算瞬时热流量第三十三页，共九十五页，2022年，8月28日方程中指数的量纲：2、时间常数即与的量纲相同第三十四页，共九十五页，2022年，8月28日上式表明：当传热时间等于时，物体的过余温度已经达到了初始过余温度的36.8％。称为时间常数，也称弛豫时间，用表示。第三十五页，共九十五页，2022年，8月28日如果导热体的热容量（cV

）小、换热条件好（hA大），那么单位时间所传递的热量大、导热体的温度变化快，时间常数(Vc/hA)小时间常数反映了系统处于一定的环境中所表现出来的传热动态特征，与其几何形状、密度及比热有关，还与环境的换热情况相关。同一物质不同的形状其时间常数不同，同一物体在不同的环境下时间常数也是不相同。

第三十六页，共九十五页，2022年，8月28日θ/θ0τ/τs0.386101当物体冷却或加热过程所经历的时间等于其时间常数时，即τ=τc，则τ=4τc，时工程上认为=4τc时导热体已达到热平衡状态第三十七页，共九十五页，2022年，8月28日3

物理意义无量纲热阻无量纲时间Fo越大，热扰动就能越深入地传播到物体内部物体，各点的温度就越接近周围介质的温度。Fo物理意义：表征非稳态过程进行深度的无量纲时间。第三十八页，共九十五页，2022年，8月28日3.2.3集总参数系统的适用范围

如何去判定一个任意的系统是集总参数系统？特征长度的取值特征长度第三十九页，共九十五页，2022年，8月28日工程计算中，物体中各点过余温度的差别小于5%对厚为2δ的无限大平板对半径为R的无限长圆柱对半径为R的球是与物体几何形状有关的无量纲常数没有考虑两端第四十页，共九十五页，2022年，8月28日对于一个复杂形体的形状修正系数时，可以将修正系数M取为1/3，即第四十一页，共九十五页，2022年，8月28日例题

一直径为5cm的钢球，初始温度为450℃，忽然被置于温度为30℃的空气中。设钢球表面与周围环境间的传热系数为24W/(m2.K)，试计算钢球冷却到300℃所需的时间。已知钢球的c=0.48kJ/(kg.K),h=7753kg/m3,=33W/(m.K)。解：首先检验是否可用集总参数法。为此计算Bi数：可以采用集总参数法。第四十二页，共九十五页，2022年，8月28日据式由此解得：第四十三页，共九十五页，2022年，8月28日例题：一温度计的水银泡呈圆柱状,长20mm,内径为4mm,初始温度为t0,今将其插入到温度较高的储气罐中测量气体温度.设水银泡同气体间的对流换热表面传热系数h=11.63W/(m2.K),水银泡一层薄玻璃的作用可忽略不计,试计算此条件下温度计的时间常数,并确定插入5min后温度计读数的过余温度为初始温度的百分之几?水银的物性参数如下:解:首先检验是否可用集总参数法。考虑到水银泡柱体的上端面不直接受热,故可以用集总参数法第四十四页，共九十五页，2022年，8月28日即经5min后温度计读数的过余温度为初始过余温度的13.3%。也就是说，在这段时间内温度计的读数上升了这次测量中温度跃升的86.7%如何减少温度计响应时间？？？第四十五页，共九十五页，2022年，8月28日例：一直径为5cm,长为30cm的钢圆柱体,初始温度为30℃,将其放入炉温为1200℃的加热炉中加热,升温到800℃方可取出。设钢圆柱体与烟气间的复合换热表面传热系数为140W/(m2.K),钢的物性参数取c=0.48kJ/(kg.K),=33W/(m.K)。问需多少时间才能达到要求。解:首先检验是否可用集总参数法.为此计算Biv可以采用集总参数法，又第四十六页，共九十五页，2022年，8月28日由此解得：第四十七页，共九十五页，2022年，8月28日§3.3典型一维物体非稳态导热的分析解工程上经常遇到内部热阻不能忽略的、第三类边界条件下的非稳态导热。数学分析法求解困难，一般用数值计算和比拟法求解几何形状和边界条件简单的可解微分方程，本节主要介绍诺模图（略去数学分析过程）第四十八页，共九十五页，2022年，8月28日厚度

2

的无限大平壁，、a为已知常数；=0时温度为t0;突然把平板放到温度为t的介质中；壁表面与介质之间的表面传热系数为h。两侧冷却情况相同、温度分布对称。取中心为原点。1、平板加热/冷却第四十九页，共九十五页，2022年，8月28日导热微分方程：初始条件：第三类边界条件：(对称性)第五十页，共九十五页，2022年，8月28日第五十一页，共九十五页，2022年，8月28日采用分离变量法求解：与Fo数、Bi数及η有关具体过程参见教材P57~60第五十二页，共九十五页，2022年，8月28日可查表求部分Bi数下的μn值P59μn为超越方程的根：第五十三页，共九十五页，2022年，8月28日第五十四页，共九十五页，2022年，8月28日2、圆柱半径为R的一实心圆柱，、a为已知常数；初始温度为t0;初始瞬间把两侧介质温度降低为t并保持不变；圆柱表面与流体之间的表面传热系数h为常数。与Fo数、Bi数及η有关第一类贝塞尔函数查表P572附录14第五十五页，共九十五页，2022年，8月28日3、球半径为R的一实心球，、a为已知常数；初始温度为t0;初始瞬间把两侧介质温度降低为t并保持不变；圆柱表面与流体之间的表面传热系数h为常数。与Fo数、Bi数及η有关第五十六页，共九十五页，2022年，8月28日平板、圆柱与球中的无量纲过余温度与Fo数、Bi数及无量纲距离η有关。x/l0第五十七页，共九十五页，2022年，8月28日3.3.2非稳态导热正常情况阶段分析解的简化1、非稳态导热正常情况的物理概念和数学含义物理概念：非周期性的非稳态导热过程在进行到一定深度后，初始条件对物体中无量纲温度分布的影响基本消失，温度分布主要取决与边界条件的影响，非稳态导热的这一阶段称为正常情况阶段。数学含义：取无穷级数第一项。第五十八页，共九十五页，2022年，8月28日以平板为例进行说明特征值μn是Bi数的函数。在一定的Bi下，特征值μn随n的增加而迅速增长。当Bi＝1时，μn的前4个值：无穷级数第一项后各项随Fo数增大而迅速减小。数值计算表明，Fo>0.2后，略去无穷级数中的第二项及以后各项所得的计算结果与按完整级数计算结果的偏差小于1%。第五十九页，共九十五页，2022年，8月28日与时间无关，只取决于边界条件以平板为例进行分析平板中心处过余温度中心面x=0=f(Bi,x/l)第六十页，共九十五页，2022年，8月28日当Fo>0.2时，可采用上述计算公式求得非稳态导热物体的温度场及交换的热量，也可采用简化的拟合公式和诺模图求得。3.3.3正规热状况的实用计算方法=f(Bi,x/l)第六十一页，共九十五页，2022年，8月28日诺模图工程技术中，为便于计算，采用按分析解的级数第一项绘制的一些图线，叫诺模图。海斯勒图：诺模图中用以确定温度分布的图线，称海斯勒图。第六十二页，共九十五页，2022年，8月28日诺谟图三个变量，因此，需要分开来画以无限大平板为例，F0>0.2时，取其级数首项即可=f(Bi,x/l)第六十三页，共九十五页，2022年，8月28日P62图3-6第六十四页，共九十五页，2022年，8月28日P61图3-5第六十五页，共九十五页，2022年，8月28日定义无量纲的热量其中Qτ为0时间内传导的热量（内热能的改变量）

第六十六页，共九十五页，2022年，8月28日P62图3-7第六十七页，共九十五页，2022年，8月28日如何利用线算图a）由时间求温度的步骤为：计算Bi数、Fo数和x/δ

，从图3-5中查找θm/θ0

和从图3-6中查找θ/θm

，计算出，最后求出温度tb)由温度求时间步骤为：计算Bi数、x/δ和θ/θ0,从图3-6中查找θ/θm,计算θm/θ0然后从图3-5中查找Fo,再求出时间

。

c）平板吸收（或放出）的热量，可在计算Q0、Bi数、Fo数后，从图3-7中Q/Q0查找，再计算出第六十八页，共九十五页，2022年，8月28日目前，随着计算技术的发展，直接应用分析解及简化拟合公式计算的方法受到重视。

线算图法评述优点：简洁方便。缺点：准确度有限，误差较大。第六十九页，共九十五页，2022年，8月28日解的应用范围教材中的诺谟图及拟合函数仅适用恒温介质的第三类边界条件或第一类边界条件的加热及冷却过程，并且F0>0.2例题3-1P63例题3-2P64第七十页，共九十五页，2022年，8月28日无限长圆柱体和球体加热（冷却）过程分析1.无限长圆柱trt∞t∞t0hh0式中r0为无限长圆柱体的半径

类似有：和P71图13、图14、图15第七十一页，共九十五页，2022年，8月28日2.球体tt∞αrt00球体处理方法与无限长圆柱体完全相同，相应的线算图查相关参考书与手册。注意点：特征尺寸R为球体的半径，r为球体的径向方向。第七十二页，共九十五页，2022年，8月28日对分析解的讨论1.Fo准则对温度分布的影响Fo0.2时，进入正常情况阶段，平壁内所有各点过余温度的对数都随时间按线性规律变化，变化曲线的斜率都相等。θm/θ0随Fo增大而减小。Fo<0.2时是瞬态温度变化的初始阶段，各点温度变化速率不同第七十三页，共九十五页，2022年，8月28日2.Bi准则对温度分布的影响Bi（Bi=h/

）表征了给定导热系统内的导热热阻与其和环境之间的换热热阻的对比关系。当Bi时，意味着表面传热系数h

，对流换热热阻趋于0。平壁的表面温度几乎从冷却过程一开始，就立刻降到流体温度t

。第七十四页，共九十五页，2022年，8月28日当Bi0时，意味着物体的热导率很大、导热热阻

0（Bi=h/

）。物体内的温度分布趋于均匀一致。可用集总参数法求解.第七十五页，共九十五页，2022年，8月28日求解非稳态导热问题的一般步骤：1、先校核Bi是否满足集总参数法条件，若满足，则优先考虑集总参数法；若性质属于h或δ未知，可先假设，然后校核；2、如不能用集总参数法，则尝试用诺谟图或近似公式；3、若上述方法都不行则采用数值解。4、确定温度分布、加热或冷却时间、热量。非稳态导热求解方法第七十六页，共九十五页，2022年，8月28日第七十七页，共九十五页，2022年，8月28日第七十八页，共九十五页，2022年，8月28日答：红砖的导热系数小，以致Bi(Bi=h/)较大，即在非稳态导热现象中，内部热阻较大，当一块被烧至高温的红砖被迅速投入一桶冷水中后，其内部温差较大，从而产生较大的热应力，则红砖会自行破裂。例：一块被烧至高温(超过400℃)的红砖，迅速投入一桶冷水中，红砖自行破裂，而铁块则不会出现此现象。试解释其原因。第七十九页，共九十五页，2022年，8月28日例：一块厚200mm的大钢板，钢材的密度为ρ=7790kg/m3，比热容cp=170J/(kg·K)，导热系数为43.2W/(m·K)，钢板的初始温度为20℃，放入1000℃的加热炉中加热，表面传热系数为h=300W/(m2·K)。试求加热40分钟时钢板的中心温度。解：根据题意，δ=200/2=100mm=0.1m

☆毕渥数为：第八十页，共九十五页，2022年，8月28日傅里叶数为

查图3-5可得

钢材的热扩散率为

第八十一页，共九十五页，2022年，8月28日§3-4二维及三维问题的求解对于二维及三维典型几何形状物体的非稳态导热问题的分析解，可以利用一维非稳态导热问题的分析解的组合求得。例如：长方柱体、短园柱体及短方柱体。1、无限长方柱体的非稳态导热问题已知：初始温度t0，过程开始时被置于t∞、h的流体中。求温度场。P72第八十二页，共九十五页，2022年，8月28日无限长方柱体可以看成是厚度为2x和厚度为2y两块无限大平壁垂直相交形成的，其温度场为两块无限大平壁温度场的乘积：第八十三页，共九十五页，2022年，8月28日短圆柱体长为2l、半径为r的短圆柱体可以看成厚度为2l的无限大平壁与半径为r无限长圆柱体垂直相交得到，其温度表达式：第八十四页，共九十五页，2022年，8月28日短方柱体短方柱体（2δ1×2δ2×2δ3）的解是三个厚度分别为2δ1×2δ2×2δ3的大平板解的乘积。例题3-5P73第八十五页，共九十五页，2022年，8月28日§3-5半无限大的物体1.半无限大物体的概念半无限大物体是非稳态导热研究中的一个特有的概念。其特点是从x=0的界面开始可以向正的x方向及其他两个坐标（y,z）方向无限延伸。

第八十六页，共九十五页，2022年，8月28日现实中不存在这样的半无限大物体，但是在研究物体中非稳态导热的初始阶段，则有可能把实际物体当作半无限大物体来处理。例如：初始温度均匀的有限厚度的平板，其一侧表面突然所到热扰动、或者壁温突然升高到一定值并保持不变，或者突然受到恒定的热流密度加热，当扰动的影响还局限在表面附近而尚未深入到平板内部中去时，就可有条件地把该平板视为一“半无限大物体”。第八十七页，共九十五页，2022年，8月28日

高斯误差函数2第一类边界条件下半无限大物体的理论求解（1）温度场的求解:一个半无限大物体初始温度均匀（t0），在τ=0时刻，x=0的一侧