几个特殊函数

几个特殊函数第一页，共十八页，2022年，8月28日

一维矩形函数几何图形如图，它的物理意义是:一个宽度为ａ的单缝。缝内透过率为１，缝外为0。当自变量代表时间时,光学中可以用矩形函数来描述照相机快门，式中的a便是曝光时间。00第二页，共十八页，2022年，8月28日第三页，共十八页，2022年，8月28日

二维矩形函数几何图形如右图，可以描述一个无限大不透明屏上有一个方孔。yx0•x0•y0第四页，共十八页，2022年，8月28日第五页，共十八页，2022年，8月28日二.sinc函数

sinc函数在x=x0处有最大值，其值为1，两个第一级零值之间的宽度(称为sinc函数的主瓣宽度)为2b．光学中单缝夫琅和费衍射的振幅分布函数是sinc函数，并且主瓣宽度与单缝缝宽成反比．sinc函数和矩形函数(单缝)之间的这一紧密联系，使sinc函数在傅里叶变换中经常用到．对于x0=0，b=1的情况，记作sinc(x)。bx0-b•••••••x0第六页，共十八页，2022年，8月28日Sinc(x)Sinc2(x)0.51第七页，共十八页，2022年，8月28日三.符号函数和阶跃函数符号函数的定义为阶跃函数的定义为Step(x)第八页，共十八页，2022年，8月28日四.三角状函数第九页，共十八页，2022年，8月28日五.园域函数第十页，共十八页，2022年，8月28日六.函数函数是一个广义函数，函数描写一种极限状态。这里就信息光学中所要用到的函数的有关内容作扼要介绍.

如图，L是一个理想会聚透镜,平行光通过L后变成一会聚光束,在L后放一与光轴垂直的平面P,当透镜孔径的衍射可以忽略时,P上得到一个界线清晰的圆形亮斑.随着P向后焦面趋近,亮斑的直径越来越小,照度A越来越大.在P与后焦面重合这种极限情况下,屏上的照度已无法用普通函数来描述了,它在焦点处的值为无穷,在焦点以外其值为零,也就是后焦面上的照度A满足以下两个方程:第十一页，共十八页，2022年，8月28日

如果通过透镜的光通量是一个单位,则后焦面上的照度可以用函数描写

函数定义1:第十二页，共十八页，2022年，8月28日

当然无限窄的脉冲只是一种理想情况,实际的物理状态况是只能无限趋近这种理想情况.单位能量的瞬间电脉冲用时间为变量的(t)描写.

空间变量的(x)可以描写下面这些物理量：

单位电量的点电荷的电荷密度;

单位质量的质点密度;

单位光通量的点光源的面发光度.

这些物理量都满足函数的定义式.也就是在这些脉冲所在内的任意范围内的积分等于1.函数用来描写脉冲这样一类物理现象：第十三页，共十八页，2022年，8月28日函数的定义2.如果函数列fn(x)的表达式为:

其中n是不为零的正数.当n逐渐变大时,fn(x)不为零的范围逐渐变小,而在此范围内fn(x)的值变大.不论n为何值,图象的总面积均为1,不难想象,当n→∞时,fn(x)的极限是符合函数的定义1的,因此可用普通函数序列的极限来定义函数.xfn(x)0n=1n=2n=3n=4n=5n=6aa/21/2a1/a3/2a2/a5/2a3/aa/3a/4a/6a/5第十四页，共十八页，2022年，8月28日

定义2:若存在函数序列fn(x,y)，它满足方程则:fn(x,y)或fn(x)的具体形式多种多样：高斯函数矩形函数

sinc函数园域函数贝塞尔函数第十五页，共十八页，2022年，8月28日第十六页，共十八页，2022年，8月28日六.梳状函数x(x)0xComb(x)0第十七页，共十八页，2022年，8月28日1.以X0=2为中心线宽度为2的平行狭缝.2以X0=2,y0=-1为中心,边长为X=3,Y=1的矩孔.3以原点为中心半径为2的园