顺义区2021-2022 学年高三数学第一学期期末试卷

顺义区2021-2022学年第一学期期末练习

高三数学

本试卷共9页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷

上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项。

2i

1.在复平面内，复数对应的点在

1−i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.已知集合A=−2,−1,0，B=xx21，则AB=

A.−1B.−1,0C.−2,−1D.−2,0

3.下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是

1

A.y=B.y=2xC.y=logxD.y=sinx

x2

4.已知a=b=1，且a⊥(a+3b)，则向量a,b夹角的余弦值为

1111

A.−B.−C.D.

3553

5.在等差数列a中，a−a=2，a=1，a=

n73412

A.5B.4C.3D.2

1

1

6.已知xR，则“1”是“x1”的

x

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.已知过BD的平面与正方体ABCD−ABCD相交，分别交棱AA，CC于M,N.则下列

1111111

关于截面BMDN的说法中，不正确的是

1．．．

A.截面BMDN可能是矩形B.截面BMDN可能是菱形

11

C.截面BMDN可能是梯形D.截面BMDN不可能是正方形

11

8.已知两点M(−5,0)，N(5,0)，若直线上存在点P，使得PM−PN=8成立，则称该直线

为“单曲直线”.下列直线，“单曲直线”是

31

①y=x+2；②x=4；③y=x；④y=x−1

42

A.①②B.①③C.②③D.②④

9.如图，△OBA，△ABA是全等的等腰直角三角形，B,B为直角顶点，O,A,A三点共

111221212

线.点P,P分别是边AB，AB上的动点（不含端点）.记m=OBOP，n=OBOP，则

1211221121

A.mnB.mn

C.m=nD.m,n大小不能确定

10.为弘扬传统文化，某中学举办了主题为“琴、棋、书、画”的传统文化知识竞赛.现有

四位选手进入到决赛.决赛按“琴、棋、书、画”的主题分为四个环节，规定每个环节的第

一名到第四名的得分依次为4,3,2,1分，四个环节结束后统计总分.若总分第一名获得14分，

总分第二名获得13分.有下列结论：

①总分第三名不超过9分②总分第四名可能在某一个环节的比赛中拿到3分

③总分第四名不超过6分④总分第三名可能获得某一个环节比赛的第一名

其中，所有正确结论的序号是

A.①②B.①④C.①②③D.②③④

2

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

11.函数f(x)=2−x+lg(x+1)的定义域为________.

1

12.在(x2+)5的展开式中，x的系数为________.（用数字作答）

x

13.将直线l:x−y+2=0绕着点A(1,3)按逆时针方向旋转15，得到直线l，则l的倾斜角为

11

________，l的方程是________.

1

14.若实数a,b满足a=b−1，则使得0ab2成立的一个a的值是________.

15.城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，乘坐出租车往往不能沿直线到达目的地，

只能按直角拐弯的方式行走.在平面直角坐标系中，定义d(P,Q)=x−x+y−y为两点

1212

P(x,y)，Q(x,y)之间的“出租车距离”.

1122

给出下列四个结论：

①若点O(0,0)，点A(1,2)，则d(O,A)=3；

②到点O(0,0)的“出租车距离”不超过1的点的集合所构成的平面图形面积是π；

③若点A(1,2)，点B是抛物线y2=x上的动点，则d(A,B)的最小值是1；

④若点A(1,2)，点B是圆x2+y2=1上的动点，则d(A,B)的最大值是3+2.

其中，所有正确结论的序号是________.

3

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

16.（本小题14分）

如图，在长方体ABCD−ABCD中，AD=AA=1，AB=2，点E在线段AB上.

11111

（Ⅰ）证明：DE⊥AD；

11

（Ⅱ）当点E是AB中点时，求AD与平面DEC所成角的大小.

11

4

17.（本小题14分）

在△ABC中，a=1，csinA=3acosC.

（Ⅰ）求C的大小；

（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，判断△ABC是否存

在，若不存在，说明理由；若存在，求出△ABC的面积.

2

条件①：cosAcosC=；

4

条件②：b2−c2=ac；

条件③：a,b,c成等差数列.

注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

5

18.（本小题14分）

某单位4人积极参加本地区农产品的网购活动，共有A、B两种农产品供选择，每人

只购其中一种.大家约定：每人通过掷一次质地均匀的骰子决定自己去购买哪种农产品.若

掷出点数为1或2，购买农产品A，若掷出点数大于2，则购买农产品B.

（Ⅰ）求这4个人中恰有1人购买农产品A的概率；

（Ⅱ）用,分别表示这4个人中购买农产品A和B的人数，记X=，求随机变量X的

分布列与数学期望E(X).

6

19.（本小题14分）

1a−2

已知函数f(x)=ax+(a0)

22x

（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

（Ⅱ）若对任意x1,+)，都有f(x)lnx，求实数a的取值范围.

7

20.（本小题15分）

x2y23

已知椭圆W:+=1过点A(0,−1)，且离心率e=.

a2b22

（Ⅰ）求椭圆W的方程；

（Ⅱ）点B在直线x