概率论与数理统计（陈希孺）课件 概率的定义

概率的定义概率是随机事件发生的可能性大小的一种度量对于不同的事件，概率应如何规定？统计定义古典定义几何定义公理定义概率的统计定义随机事件的频率A=“出现正面”随机试验抛掷一枚均匀的硬币试验总次数n

将硬币抛掷n次随机事件随机事件的频率事件A出现次数出现正面次德.摩根试验者抛掷次数n出现正面的频率204810610.518蒲丰404020480.5069

皮尔逊1200060190.5016

皮尔逊24000120120.5005维尼0.49981499430000

抛掷硬币的试验历史纪录出现正面的次数m

随机事件A在相同条件下重复多次时，事件A发生的频率在一个固定的数值p附近摆动，随试验次数的增加更加明显频率和概率

频率的稳定性

事件的概率

事件A的频率稳定在数值p，说明了数值p可以用来刻画事件Ａ发生可能性大小，可以规定为事件A的概率当试验次数足够大时，可以用事件A发生的频率近似的代替事件A的概率

定义：对某一事件Ａ，在相同的条件下重复进行n次试验，事件Ａ发生的频率，随着试验次数n的增大而稳定地在某个常数p

附近摆动，那么称p为事件Ａ的概率，即P(A)=p性质

（1）（2）（3）若A，B互斥，则

再分析一个例子，为检查某种小麦的发芽情况，从一大批种子中抽取10批种子做发芽试验，结果如下表发芽率发芽粒数种子粒数2510701303107001500200030002496011628263913391806271510.80.90.8570.8920.9100.9130.8930.9030.905

可看出，发芽率在0.9附近摆动，随着n的增大，将逐渐稳定在0.9这个数值上.频率稳定于概率概率的古典定义

有限性每次试验中，每一个基本事件发生的可能性相同，即其中,.古典概型

每次试验中，所有可能发生的结果只有有限个，即基本事件空间Ω是个有限集

等可能性除基本事件外的其他事件，概率如何确定？

确定事件A包含的基本事件数古典概型的概率定义事件Ａ由

个基本事件组成性质（1）（2）（3）若A，B互斥，则专题：古典概率的计算需要计算总的基本事件数和特定事件包含的基本事件数抛掷一颗匀质骰子,观察出现的点数,求“出现的点数是不小于3的偶数”的概率．Ａ=“出现的点数是不小于3的偶数”抛掷骰子事件A试验抛掷一颗匀质骰子,观察出现的点数样本空间={4，6}Ω

={1，2，3，4，5，6}n=6m=2事件A的概率划拳确定基本事件空间确定每个事件所包含的基本事件的个数甲乙两人，等可能地伸出0,1,2,3,4或5个手指，同叫出0到10中的某一个数。若有一人叫出的数字等于两人伸出的手指数之和即赢得该回合。那个数胜出的可能最大？二维数组（x,y）记甲乙伸出的手指数，共6x6=36种{和数为0}={(0,0)}，1{和数为1}={(1,0),(0,1)}，2……{和数为5}5+1=6{和数为5}的概率为：6/36=1/6。最大实际上问题比理想的情形复杂，涉及条件概率{和数为6}6+1-(6-5)*2=5……{和数为10}10+1-(10-5)*2=1抽签10个学生，以抽签的方式分配3张音乐会入场券，抽取10张外观相同的纸签，其中3张代表入场券.求A={第五个抽签的学生抽到入场券}的概率。基本事件总数包含基本事件数第五个学生抽到入场券另外9个学生抽取剩下9张在这样的抽签方式下，概率与抽签的次序是无关的抽签4个学生，以抽签的方式分配2张音乐会入场券，抽取4张外观相同的纸签，其中2张代表入场券.求A={第三个抽签的学生抽到入场券}的概率。基本事件总数包含基本事件数第三个学生抽到入场券另外3个学生抽取剩下3张有放回抽样和无放回抽样

设在10件产品中，有2件次品，8件正品．A=“第一次抽取正品，第二次抽取次品”

第一次抽取后，产品放回去

第一次抽取后，产品不放回去

＝0.192数字排列用1，2，3，4，5这五个数字构成三位数，可以重复使用

没有相同数字的三位数的概率

没有相同数字的三位偶数的概率个位百位十位解：总的基本事件数为事件A“甲乙相邻”的基本事件数为所求概率为例：包括甲，乙在内的10个人随机地排成一行，求甲与乙相邻的概率。另外一种求事件数的观点：将甲乙“捆绑”这种捆绑的思维经常用来简化事件数的计算解：总的基本事件数为排成圈时，事件B“甲乙相邻”的基本事件数为所求概率为例：包括甲，乙在内的10个人随机地排成一圈，求甲与乙相邻的概率。思考题：n个男孩，m个女孩（m<n+2）随机地排成一列。问事件A“任意两个女孩都不相邻”的概率是多少？若排成一个圆圈结果又如何？古典概率的计算核心在于确定事件包含的基本事件数，本质上是要解决排列组合的问题。古典概型总结古典概率的计算补充例题古典概率的计算：投球入盒

把3个小球随机地投入5个盒内。设球与盒都是可识别的。A=“指定的三个盒内各有一球”B=“存在三个盒，其中各有一球”abcde

古典概率的计算：生日问题某班有50个学生，求他们的生日各不相同的概率（设一年365天）分析此问题可以用投球入盒模型来模拟50个学生365天50个小球365个盒子相似地有分房问题房子盒子人小球生日问题模型某班有n个学生，则他们的生日各不相同的概率为至少有两人生日相同的概率为n1020233040500.120.410.510.710.890.97匹配问题

某人写了4封信和4个信封，现随机地将信装入信封中，求全部装对的概率。解设“全部装对”为事件A总的基本事件数为4！A所包含的基本事件数为1所以概率的几何定义几何概型

将古典概型中的有限性推广到无限性，而保留等可能性，就得到几何概型。事件A发生就是点落在Ω中的可度量图形G中

几何度量--------指长度、面积或体积

特点

有一个可度量的几何图形Ω（基本事件空间）随机试验可看成往Ω中随机地投掷一点（基本事件）例：一个质地均匀的陀螺的圆周上均匀地刻有[0,5)上诸数字，在桌面上旋转它，求当它停下来时，圆周与桌面接触处的刻度位于区间[2,3]上的概率。=[2,3]几何概型的计算

甲乙二人相约定7点到8点在预定地点会面，先到的人要等候另一人20分钟后，方可离开。求甲乙二人能会面的概率（假定他们在7:00-8:00内的任意时刻到达预定地点的机会是等可能的）。几何概型的计算：会面问题

解设甲乙二人到达预定地点的时刻分别为x及y（分钟）,则二人会面60602020yx

几何概型性质（1）（2）（3）若A，B互斥，则思考题解以A为起点，逆时针方向为正，

A至B的曲线距离为x，A至C的曲线距离为y，则∆ABC为锐角三角形或一个圆的所有内接三角形中，问是锐角三角形的概率是多少？ABCOy分情况讨论，x<y或x>y∆ABC为锐角三角形

所求概率为直角三角形？钝角三角形？古典概率和几何概率计算共同的特点确定基本事件空间；所求事件包含的基本事件的数目。想一想不难发现，概率的统计，古典，几何定义具有如下性质（1）（2）（3）若A，B互斥，则是否有一种统一的定义方式？概率的公理化定义定义本身大家简单了解即可，关键是会使用性质

基本事件空间（Ω）

设Ω为一些事件构成的集合，如果每次试验有且仅有Ω中的一个事件发生，则称Ω为基本事件空间（或样本空间），而称Ω中的事件为基本事件（或样本点）基本事件空间是所有基本事件构成的集合基本事件之间互不相容其他事件是Ω的一个子集，包含若干个基本事件。事件A发生A中的一个基本事件发生

事件域（F）

设Ω为基本事件空间，F是Ω的一些子集所构成的集合，且满足下列条件：则称F为事件域，并称F中的元素（即Ω的某一子集）为事件事件域的例子掷骰子，基本事件空间A={出现的点数为奇数}，B={出现的点数为偶数}C={出现的点数小于3}，D={出现的点数大于3}E={出现的点数大于等于3}是事件域不是事件域

概率测度（P）

给定一个随机试验，Ω是它的样本空间，对于任意一个事件Ａ∈F，赋予一个实数，如果满足下列三条公理，非负性：

规范性：Ｐ(Ω)=1

可列可加性：Ｐ(Ａ)≥0两两互不相容时则称P为事件域F上的概率测度，称P(A)为事件Ａ的概率．

概率空间通常,针对研究的某一随机现象,都要首先确定立基本事件空间，事件域和概率测度。将三者视为整体证明由概率的可列可加性，有所以概率的性质不可能事件的概率为零注意事项但反过来，如果P（A）=0，未必有A=Φ

例如：一个质地均匀的陀螺的圆周上均匀地刻有[0,5)上诸数字，在桌面上旋转它，求当它停下来时，圆周与桌面接触处的刻度为2的概率等于0，但该事件有可能发生。设A1，A2，…,An两两互不相容，则证明

在可列可加性中,取Ａi=（i=n+1,n+2,…）.

有限可加性证明由于Ａ与其对立事件互不相容，由规范性，可加性有

而

所以

补事件的概率若AB，则有P(A)≤P(B)，且P(B\

A)=P(B)－P(A)

Ｐ(Ｂ\Ａ)＝Ｐ(Ｂ)－Ｐ(Ａ)

单调性和可减性对任意两个随机事件Ａ、Ｂ，有

加法公式上两式联立即得加法公式BCA

加法公式推广也可由加法公式推导出，具体见习题加法公式及其推广可以把复杂事件的概率转化为简单事件的概率之和及差

上（下）连续性故由概率的可列可加性，有（下连续性）：A1⊂A2⊂…⊂An⊂…，故A1,(A2\A1),(A3\A2),…,(An\An-1),…等事件互不相容，且证明几种概率定义的关系统计，古典，几何概率都包含在公理化定义的框架内对公理化定义成立的性质，对之前三种概率定义也都成立反过来，可以从三种具体的定义来理解公理化定义的含义专题：概率性质的应用例：一个箱子中装有36只灯泡,其中32只为一等品,4只为二等品,现从中任取3只,试求取出的3只灯泡中至少有1只为二等品的概率.记A={取出的3只灯泡中至少有1只为二等品},

方法１（用互不相容事件和的概率等于概率之和）记Bi={取出的3只灯泡中恰有i只为二等品}Ｐ(A)=Ｐ(B1∪B2∪B3)=Ｐ(B1)＋Ｐ(B2)＋Ｐ(B3)解

方法２

（利用对立事件的概率关系）

则B1,B2,B3互不相容,且A=B1∪B2∪B3.

例：

甲、乙两人同时向目标射击一次，设甲击中的概率为0.85，乙击中的概率为0.8．两人都击中的概率为0.68．求目标被击中的概率．

解：设Ａ表示甲击中目标，Ｂ表示乙击中目标，Ｃ表示目标被击中，则

＝0.85＋0.8－0.68＝0.97思考题：在1到9这