数列的性质-2023年高考数学核心压轴题（新高考地区专用）

专题51数列的性质

【方法点拨】

1.数列是定义在正整数集或其有限子集上的函数，数列的函数性主要涉及数列的单调

性(判断数列的增减性和确定数列中最大(小)项，求数列最值等)等；

2.数列中的恒成立问题较函数中恒成立问题更难，但方法是想通的，一般都要分离参数,

一般都要转化为研究单调性，但由于数列定义域是离散型变量，不连续，这给研究数列的单

调性带来了难度，其一般解决方法是作差或作商.

【典型题示例】

例1若不等式工+工+…+丁上7>。一7对一切正整数”都成立，则正整数。的最大

n-r1〃十23〃十1

值为.

【答案】8

【分析】要求正整数。的最大值，应先求a的取值范围，关键是求出代数式-7+士+…

〃十I〃十2

十丁\的最小值，可将其视为关于〃的函数，通过单调性求解.

3〃十1

【解析】令危)=Ai+力+.”+JHSGN*),

对任意的“eN*,加+1)-&)=/%+—+得%一击=

_________2_________

3(〃+1)(3〃+2)(3"+4)>'

所以加0在N*上是增函数.

又11)=胃13，对一切正整数",火〃)>“一7都成立的充要条件是号13>a—7,

所以。甫97，故所求正整数”的最大值是8.

点评：

本题是构造函数法解题的很好的例证.如果对数列求和，那就会误入歧途.本题构造函

数f(n),通过单调性求其最小值解决了不等式恒成立的问题.利用函数思想解题必须从不

等式或等式中构造出函数关系并研究其性质，才能使解题思路灵活变通.

例2已知常数220,设各项均为正数的数列｛为｝的前〃项和为S”,满足：％=1,

Saw=%45"+”.3"+1)。,向(〃eN*).若%+|<1勺对一切“eN*恒成立，则实数4的

'2

取值范围是.

【答案】2>-

3

【分析】已知条件5,用=%45“+（，3"+1）〃用中含“项、和”，需抓住特征，实施消和.

【解析】..•5,向=也5,,+（九3"+1卜~«„>0,

%

巳"一以=/1-3"+1

a

%+1n

则丛一色=丸.3+1,邑_*=丸.32+1,=(n>2)

aaa

2%。32n%

c

相力口，得j—l=X(3+32+...3"T)+〃一l

则S,,=b?+〃q（〃22）

上式对〃=1也成立，

...S〃=+nq(nNN)③

、2)

'q〃+l_Q\

S=2-----+n+l•〃/"NN').®

I，7

•Z2>0,/.2-+n>0,2^^+/i>0.

22

；a"+1<对一切neN*恒成立，

3〃_3]3〃+i-3

•\2----+n<—(2------+〃)对一切〃eN*恒成立.

222

即2>上一对-切〃eN*恒成立.

3"+3

.,,2n.,,InIn+2（4«-2）-3"-6

,>h—n[illh—h—_____________=_1_____L_______

"3"+3'",,+l3"+33,,+1+3（3n+3）（3n+l+3）

当〃=1时-，bn-bll+]=0；

当〃22时，bn-bn+]>0

/.4=%=g是｛〃J中的最大项.

综上所述，2的取值范围是几>,.

3

例3已知数列｛4｝满足4=0,。,用="一、，则生。”=

J3%+1

A.0B.一石C.百D.—

2

【答案】A

【分析】通过“列数”，发现其周期性求解.

[解析]q=0,a~,=----=一6,=一出,a-,=----=布,

'岛+1''岛+1

生=6，4=>=0,…由上述可知，数列｛4｝是每三项一次循环的数列,

43a3+1

则有“2023=4=°故选A.

【巩固训练】

1.已知数列｛%｝中，则在数列4=匕圾(〃6双*)则数列｛g｝的前50项中最小项为

V8O

第______项，最大项为第一项.

2.等比数列｛4｝的首项4=1000,公比q=；,设p“=q•生•%…一%(〃eN*),则

6,2，A，…,匕,…(〃eN*)中第项最大.

3.已知可二式？(〃GN"),则在数列｛4｝的最大项为第项.

4.若不等式4T+出+…+就>。一7对一切正整数"都成立,则正整数a的最大值为

5.数列｛a"｝满足/=l,«n+,—7+4=1,记S”=a：+a；H-若S2„+1—Sn<—对

"''30

任意nGN*恒成立，则正整数m的最小值为.

6.已知数列｛©,｝的前〃项和S,=3"Q—〃)一6,若数列｛a“｝单调递减，则2的取值范围是

A.(—oo,2)B.(—oo,3)C.(—co,4)D.(—oo,5)

7.己知数列｛勺｝的前〃项和S”满足S“=2%-1.若对任意正整数n都有2S,+「S,,<0恒

成立，则实数2的取值范围为()

A.(-oo,l)B.^-00--JC.「0°，§JD.8，］

8.已知数列｛a,J的通项公式为4=总)仔)-1,则数列｛a,｝中的最小项为().

A.4B.a2C.%D.a4

9.己知数列｛%｝满足：q=a,a“+i=eN*),若对任意的正整数”，都有%>3,

则实数〃的取值范围()

A.(0,3)B.(3,+00)C.[3,4)D.[4,+00)

10.已知数列｛a,J满足q=3,*=3(〃+l)4(〃€N*),若m〃wN*，使得

nv7

。〃一3入4〃>0成立，则实数人的取值范围是()

A.[-ooqjB.（9,0]C,D.「oo，xj

11.数列｛《,｝中，4=1,%=3,«„+i=«„-«„_i（n>2,neN'）,那么出。身=

A.1B.2C.3D.-3

12.在数列｛%｝中，若q=1,g=2,并有4=。,+遮,1对〃>1且〃eN*恒成立；则

。2020+“2021=-----------------------------------------

13.设数列｛%｝满足％=2,且对任意正整数“，总有（令用一1）（1一q）=2。,,成立，则数列

｛2｝的前2019项的乘积为（）

A.—B.1C.2D..3

2

【答案与提示】

I.【答案】8、9

【提示】q"您二病+i,类比一次分式函数性质.

n-y/SO〃-痴

2.【答案】10

【提示】q=1000x（口，=«=1000xW,令4=1000*?]>1

⑴q⑶Pn_x⑶

解得〃211.

3.【答案】4、5

【提示】4利用对勾函数性质.

2J0

"n+20n+——

n

4.【答案】8

【分析】要求正整数a的最大值,应先求a的取值范围，关键是求出代数式士+一义-

〃十1〃十2

+*y的最小值，可将其视为关于”的函数，通过单调性求解-

【解析】令人〃尸Wr+表+…+-TT（〃GN*）,

对任意的〃GN*,火"+D-A〃）=高+—+就一共7

_________2_______

3〃+13〃+23〃+4>'

所以人”）在N*上是增函数.

1313

又贝1）=与，对一切正整数〃，<〃）>。一7都成立的充要条件是冷”一7,

所以。韦，故所求正整数“的最大值是8.

5.【答案】10

-1+4=1得工--1=4,」=4"-3,42=」_

【提示】VT

an+laja3%2*4/7-3

111

§2"+1—S“=a“+J+a„2+-••+。2"+：------1F…H仿上题求最大值.

+24n+l4〃+5-----8〃+1

6.【答案】A

11

［解析］an=S„-Sn_y=3'-(2A-2n-l),n>2,a,=32-9,

因为｛a,,｝单调递减，所以%-a,i<0,(〃22),

所以a”—a”_1=3"——1)<0,"23,且4—4=34—6<(),

所以只需％—〃一1<0，〃23,且几<2,

所以4<2,故选A.

7.【答案】C

【解析】当〃=1时,5=2《-1,即4=2%-1,得4=1：

当〃》2时，由S.=24-1,得S,i=2a,i-1,两式相减得见=2an-2a,一，得4=2%,

/匚=2,所以，数列｛4｝为等比数列，且首项为1，公比为2，...a“=lx2"T=2"T.

an-\

S„=2%-1=2X2"-1-1=2"-1,

.1

由”f<0，W<A_2"-1犷T)2=11

2=

+1,,+1

S〃+I2"-122(2-1)

S,2-111

所以，数列单调递增，其最小项为T=所以，几<二，

，一1J3

因此，实数;I的取值范围是(—8,；),故选C.

8.【答案】C

H-171-1

【解析】因为凡-140,(〃”)

BM-IH1)

所以一〃“=>0.

(7+1Y

所以—a“4Cr

24

7

当且仅当(1)

=1-=>n=log3-+1取

r42

乂因为3<log3：+l<4.

63

当〃=3时,。3

256

999

4096

所以数列｛4｝中的最小项为火•故选：C.

9.【答案】B

5u—85(tz—1)—33

【解析］4,+1=------=------：-=5------70>3),

an-\4,-1

3

又y=5-一二；在区间(3,+8)上单调递增，

x-1

・・・。向>4"->4=">3，二实数4的取值范围(3,+8),故选：B.

10.【答案】D

【解析】•••〃川=式”1旦•.也=32

n)川十1n

记々=?,则｛2｝是以4=3.g=3的等比数列,

b"=3",二an=n-3",

,/Bn^N*,an-3k-4">0.

等价于三〃eN*,即女<

1

阂max

⑶〃3丫3-n

力+1)-n一

<4?、4,

；•〃<3时,c,用>cn；n>4时，c„+l<cn.

：.c]<c2<c3=c4>c5>C6---,

(⑶"181

IUJI64

\/max

27(27

.♦.女〈二,实数上的取值范围为一叫二，故选：D

64I64J

11.【答案】B

由此发现数列

【解析】由题意，得%=2，%=-1，%=-3,«6=-2,%=1,｛4｝

是以6为周期的数列，乂2019=336x6+3,所以%(H9=%=2,故正确答案为B.

3

12.【答案】三

2

(解析】由条件凡=«„+1«„-1及an+l=all+2an,得an+2=—="+=——

aaaa

nn+\n-ln-\

=%(neN"),从而知6是